直线的参数方程

1、直线的参数方程一、源于教材课本第二册（上）P55.设直线经过点，是直线的一个方向向量（如图）。是上的任一点，向量与共线， 即这就是直线的参数方程。二、高于教材 参数方程中的的几何意义不代表有向距离，用处不大。如果直线的方向向量来确定，则参数方程为，这时表示定点，表示定点到动点的有向距离，（即有方向又有大小）。的意义用处就大了。三、直线参数方程在高考中的应用1、（05全国21）P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。（命题组给出的参考答案）解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且，直

2、线PQ，MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F(0,1)，故PQ方程为。将此式代入椭圆方程得。设P、Q两点的坐标分别为，则从而： 亦即（1） 当时，MN的斜率为，同上可推得， 故四边形面积令得。因为，当时，。且S是以为自变量的增函数。所以。（2） 当时，MN为椭圆长轴， 综合（1）、（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为。解2：今设PQ方程：（t为参数），代入椭圆，整理得： 同理：答：2、(07全国卷21) 已知椭圆的左右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P（）设P点的坐标为，证明：；（）求四边形ABCD的面积的最

3、小值。（命题组给出的参考答案）证明：（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为 解2：3、(07重庆16）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP|FQ|的值为_.（命题组给出的参考答案）利用直线的参数方程(t为参数) 代入 整理得命题立意: 本题若用直线的一般方程跟双曲线方程联立, 则运算量很大. 用上直线的参数方程能明显减少运算量.四、老题新做4、（课本题

4、）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，求证：证：设直线的参数方程为 (t为参数)代入抛:（想一想这个证法与前面的证法有哪一点是优于前法的？）5、（导与练 P66例3）已知直线经过点P(2,3)且被两条平行直线截得的线段长为3，求直线的方程。 (x-7y+19=0 7x+y-17=0)五、强化训练 6、（07全国1理11文12）抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，垂足为K，则AKF的面积是A4 B C D8 7（07山东文9理13）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 （ ）A. B C. D. 8、（07重庆文2

5、1）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定 (8)9、（07重庆理22) 中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程； (3x2+4y2=108)（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明为定值，并求此定值。10（07安徽文18）设F是抛物线G:x2=4y的焦点.(1) 过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程： (y=±2x-4)(2) 设A、B为抛物线G上异于原点的两点

6、，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值 .(32) 11(06年山东）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 (32) 12( 06湖南文理）过双曲线M: 的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )A B. C. D. 13（06福建）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； ( )（II理）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线

7、段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。( )（II文）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=0上, 求直线AB的方程. (y=0或x-2y+1=0)14（06年江西）椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点(1) 求点P的轨迹H的方程(2理) 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0<q£ ），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？(2文) 在Q的

8、方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0<q£）. 设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N, 当q为何值时,MNF为一个正三角形?(b2x2a2y2b2cx0; 当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大;) 15（06天津理）以椭圆 的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点连结交小圆于点设直线是小圆的切线（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标; M(0,a)（2）设直线交椭圆于、两点，证明 16(06天津文）双曲饯的离心率为,F1、F2分别为左、右焦点,M为左准线与渐近线在弟二象限内的交点,且(1) 求双

9、曲线的方程; (x2-4y2=1)(2) 设A(m,0)和B(,0)(0<m<1)是x轴上的两点,过点A作斜率不为0的直线,使得交双曲线于C、D两点,作直线BC交双曲线于另一点E,证明直线DE垂直于X轴. ()17、求经过点P(2,3)且被两平行直线截得线段长为的直线方程。 (x-2y+4=0或11x-2y-16=0)18、已知双曲线的右焦点为F，过F作一动直线和双曲线右支相交于A、B两点。（1）如果的斜率存在，求的取值范围。（2）求证：，并说明等号何时成立。（3）如果存在动弦AB的某个位置，使得AB的中点在轴上的射影C满足条件试求此时双曲线离心率的取值范围。(1)k<- (

10、3) 1<e<六、直线的普通方程与参数方程可互化.19、顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线所得弦长|AB|=，求抛物线方程。(y2=4x或y2=-36x)20、求以（1，-1）为中点的抛物线的弦所在的直线方程。 (4x+y-3=0)21、已知椭圆1（）过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设（1）求f(m)的解析式；（2）求f(m)的最值。22、椭圆1，直线：1， P是上的点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且|OQ|OP|=|OR|，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（9526高考题） (2(x-1)2+3(

11、y-1)2=5)七、一道题中可灵活选用普通法和参数法23（05广东17）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标系原点O的两不同动点A，B满足AOBO（如图所示）（1）求ABO的重心G的轨迹方程（2）ABO的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在说明理由(1)x+2y-4=0 (2)x+y-3=0 24、直线过点P(2,1)且分别交轴、轴的正半轴于A、B两点，O为原点。（1）当面积最小时，求的方程。（2）当取得最小值时，求的方程。 二次曲线上最短路线作图（支招11） 二次曲线中的最值问题，内容十分丰富，联系及为广泛，包含众多基础知识，容纳许多解题技巧。这里就其中的一类问题最短路线作图及距

12、离作介绍： 题1 已知抛物线，定点|PA|+|PF|（F为抛物线焦点）的最小值为 ( )A1 B.2 C D. 题2已知抛物线。点A（0，1）在抛物线上求一点P，使P到A的距离和它到Y轴距离之和为最小，并求最小值。 题3 设双曲线16x2-9y2=144的右焦点为F2，点A（9，2）,在双曲线上求一点M，使得|MA|+|MF2|的值为最小. 题4 长度为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，线段AB的中点M，求M到Y轴的距离的最小值d。 题5 设A(-2，),椭圆3x2+4y2=48的右焦点F，在椭圆上求一点P，使得|PA|+2|PF|取得最小值，并求这个最小值。 综合1，3，5，你会得出什么结论？ 题6 设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过顶点（a,0）及（0,b）的直线为 ，在上求一点P，使|PF1|+|PF2|取得最小值。并求这个最小值。 题7 F为抛物线的焦点，点A（4，2）为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值是8.（1）求抛物线方程（2）是否存在定点M，使过M的动直线与抛物线相交于B、C两点，且BOC=90&#