鲁教版五四制八年级上分式与分式方程21认识分式 知识点精讲与练习

1、分式知识点精讲与练习1、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。说明：（1） 分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。例如可以表示(ab)(a+b)；（2） 分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。（3） 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。例如：对于来说，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。2、分式有意

2、义、无意义，分式的值为零的条件（1）分式有意义的条件是分式的分母不为0；（2）分式无意义的条件是分式的分母为零；（3）分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。说明：（1） 分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。（2） 分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有意义的。（3） 分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。例如在分式中隐含着，即，这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。3、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(

3、或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。说明：（1） 运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必须满足2x+10。（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。（3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了。4、分式的变号法则一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。说

4、明：（1） 改变符号时应该是分子、分母整体的符号，而不是分子、分母中某一项的符号；（2） 一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何一个或三个，得到的分式成为原分式的相反数。5、 分式的约分与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。说明：（1） 约分的依据是分式的基本性质；（2） 约分的方法是：先把分子、分母分解因式（分子、分母是多项式时），然后约去它们的公因式；（3） 找公因式的方法：先分解因式，系数取最大公约数，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的最低次幂；（4） 约分要彻底，使分子、分母没有公因式，分子、分

5、母没有公因式的分式叫做最简分式。6、 分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。说明：（1） 通分的依据是分式的基本性质；（2） 通分的关键是寻求几个分式的最简公分母：最简公分母：几个分式进行通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母；寻求最简公分母应注意以下几点：()“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的；()如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；()

6、如果分母是多项式，一般应先分解因式。（3） 通分的方法是：先求各分式的最简公分母，然后以每个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘分式的分子、分母。7、 整式和分式（1） 有理式的概念：整式和分式统称为有理式。（2） 有理式的分类：（3）整式和分式的区别：分式的本质特征是分母中含有字母，而整式中不一定含有分母，如果整式中含有分母，那么分母就不能含有字母，只能是不为零的具体数。方法引导例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）； （2）； （3）； （4）难度等级：A解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）【知识体验】分式的本质特征是分母中含有字母，而整式中

7、不一定含有分母，如果整式中含有分母，那么分母就不能含有字母，只能是不为零的具体数。【搭配练习】判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？9x+4, , , , ，例2 当取什么值时，下列分式有意义？（1）； （2）难度等级：A解：（1）分母0，即1.所以，当1时，分式有意义.（2）分母20，即-.所以，当-时，分式有意义【知识体验】要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.【解题技巧】在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式中，a0；在分式中，mn.【搭配练习】1、 当x取何值时，下列分式有意义？（1） （2） （3）2、当x取何值时，下列分式无意义？（1） （2）

8、（3）例3 当m为何值时，分式的值为0？（1） （2） （3）难度等级：A解：（1）m=0 （2）m=2 （3）m=1【知识体验】分式的值为0时，必须同时满足两个条件：分母不能为零；分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解【搭配练习】1、当x为何值时，分式的值为0？（1） （2） (3)例4 填空：难度等级：A解：（1）（2）【知识体验】应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变【解题技巧】题（1）因为将分式的分子b乘a，才能得到ab，为保证这个分式的值不变，根据分式的基本性质，分母a也需要乘a；（2）因为将分式的分母乘2才能得到，为保证这个分

9、式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需要乘2【搭配练习】填空：(1) = (2) =（3) = (4) =例5 约分（1）；（2）难度等级：A解：(1）. （2）【知识体验】约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式。【解题技巧】首先要找出分子与分母的公因式，系数取最大公约数，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的最低次幂。【搭配练习】约分：（1） （2） （3） （4）例6 通分（1），；（2），； （3），难度等级：A解：（1）与的最简公分母为a2b2，所以（2）与的最简公分母为（x-y）(x+y

10、)，即x2y2，所以【知识体验】约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式【解题技巧】最简公分母的找法：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母【搭配练习】通分：（1）和 （2）和（3）和 （4）和例7 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.难度等级：B解：= ， =，=， =， =【知识体验】每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变。【解题技巧】统计出所有负号的个数，偶数个负号为“”，奇数个负号为“-”【搭配练习】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母

11、都不含“-”号.(1) (2) （3) (4) 例题讲解(一）题型分类全析例1当x取何值时，分式难度等级：B【思维直现】分式有意义，就可以了，先把因式分解，得出，由，可以知道，所以，解：由分母x2x20得x1，x2 所以当x1，x2时，原分式有意义【阅读笔记】分式有意义，就是分母不为零。但不能先把 约分.如果把分子和分母的公因式约去，会导致分母的取值范围扩大而发生错误【题评解说】本题主要考察分式的概念，只要紧紧扣住有意义的条件，分母不为零，其他的不用考虑。【建议】该题的解法要从因式分解讲起，不要变成一元二次方程的解法。【搭配练习】当x取什么值时，下列分式有意义：（1） (2) （3）例2：不改

12、变分式的值，把下列分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：（1） （2）难度等级：B【思维直现】要把分子与分母中各项的系数都化为整数，就要找到各项分母的最小公倍数，再利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以最小公倍数。解：（1）（2）【阅读笔记】分式的基本性质是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。这就说明不改变分式的值，分式的形式也是可以改变的。【题评解说】本题主要考查的是分式基本性质的运用。把的分子与分母中各项的系数都化为整数也就是要把各系数扩大倍数，又要保证分式的值不变，这种要求利用分式的基本性质就可以达到，分式的分子与分母同乘最小公倍数就可以完成

13、转换。【建议】分式的基本性质是分式运算的基础，约分和通分都是根据它的实现的，所以需要熟练掌握。【搭配练习】下列从左到右的变形正确的是（ ）A BC D例3 不改变分式的值，使下列各式的分子与分母按x的降幂排列，并使最高次项系数是正数：（1） （2） （3）难度等级：C【思维直现】按x的降幂排列，就是把各项的顺序打乱，然后按照指数高低重新排列。若最高次项系数为“-”时，则需要用到符号法则。解：（1）（2）（3）【阅读笔记】不改变分式的值、按x的降幂排列、使最高次项系数是正数，要满足三个条件，就要先满足一个条件，再满足第二个，最后满足第三个。【题评解说】本题是综合题，考查的知识点有多项式的降幂排列

14、，添括号法则和符号法则，正确的完成此题，需要整理清楚思绪，按要求一个一个满足。【建议】先按x的降幂排列，再用添括号法则使最高次项系数是正数，最后根据符号法则，判断正负。【搭配练习】1、2、如果把分式中的x,y都扩大10倍,那么分式的值一定( )A、扩大10倍 B、扩大100倍 C、缩小10倍 D、不变3、在分式（a、b为正数）中，字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值是原来的( )倍例4 求证：无论取何值时，分式总有意义难度等级：C【思维直现】分式有意义，就是解：即无论取何值时，分式总有意义【阅读笔记】分式总有意义，就说明分母中的字母取任何一个值，分母都不会为零，那么可以将进行变形，如果可以化为一个完全平方形式与一个常数的和，就可以大致确定分母的取值范围了。【题评解说】本题属于分式意义的提高题，解题时需要结合乘法公式，先拆项，再组合的方法，把变成来确定分母的取值。【建议】拆项的时候，一定要注意拆项后能否与前两项组合成完全平方式【搭配练习】1、求：同时使分式有意义，又使分式无意义的值。2、求分别取何值时，分式的值为零。（二）思维重点突破例5 解不等式。难度等级：C【思维直现】商要小于零