高考数学理二轮配套训练专题不等式选讲含答案

1、第3讲不等式选讲考情解读本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a；(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解2含有绝对值的不等式的性质|

2、a|b|a±b|a|b|.3算术几何平均不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a、b、c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立4不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等热点一含绝对值不等式的解法例1不等式|x3|2x1|<1的解集为_答案解析当x<3时，原不等式化为(x3)(12x)<1，解得x<10，x<3.当3x

3、<时，原不等式化为(x3)(12x)<1，解得x<，3x<.当x时，原不等式化为(x3)(2x1)<1，解得x>2，x>2.综上可知，原不等式的解集为.思维升华(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法 (1)若不等式|x1|x2|<a无实数解，则a的取值范围是_答案(，3解析由绝对值的几何意义知|x1|x2|的最小值为3，而|x1|x

4、2|<a无解，a3.(2)(2012·陕西)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_答案2,4解析利用绝对值不等式的性质求解|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.热点二不等式的证明例2求证下列不等式：(1)设ab>0，求证：3a32b33a2b2ab2；(2)a68b6c62a2b2c2；(3)a24b29c22ab3ac6bc.证明(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2·(ab)(ab)(3a22b2)ab>0，ab0,3a22b2>0.(ab)(3

5、a22b2)0.3a32b33a2b2ab2.(2)a68b6c633×a2b2c22a2b2c2，a68b6c62a2b2c2.(3)a24b224ab，a29c226ac，4b29c2212bc，2a28b218c24ab6ac12bc，a24b29c22ab3ac6bc.思维升华(1)作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式；与0比较；结论关键是代数式的变形能力(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明 (2013·课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22a

6、b，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.热点三不等式的综合应用例3(2013·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_答案2解析先化简式子，再利用基本不等式求解最值，注意等号取得的条件a，b，m，nR，且ab1，mn2，(ambn)(bman)abm2a2mnb2mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2ab·mn2(a2b

7、2)4ab2(a2b2)2(a2b22ab)2(ab)22，当且仅当mn时，取“”所求最小值为2.思维升华利用基本不等式求解最值时，有时需化简代数式，切记等号成立的条件 (2012·湖北改编)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则_.答案解析通过等式找出abc与xyz的关系由题意可得x2y2z22ax2by2cz，与a2b2c210相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令，则xyz2(abc)，即.1对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，

8、采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法2使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x2|x4|(x2)(x4)|6.3易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算术几何平均不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件.真题感悟1(2014·江西改编)对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为_答案3解析x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|3.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.2(2014·湖南)若关于x的不等式|ax

9、2|<3的解集为x|<x<，则a_.答案3解析|ax2|<3，1<ax<5.当a>0时，<x<，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a<0时，<x<，又不等式的解集为x|<x<，故a3.押题精练1已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，则实数a的值为_(2)若a2，且f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为_答案(1)2(2)(，5解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)

10、当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x<3时，g(x)>5；当3x2时，g(x)5；当x>2时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5方法二(1)同方法一(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，52设a，b，c均为正实数，试证明不等式，

11、并说明等号成立的条件解因为a，b，c均为正实数，所以，当且仅当ab时等号成立；，当且仅当bc时等号成立；，当且仅当ac时等号成立三个不等式相加，得，当且仅当abc时等号成立(推荐时间：40分钟)1如果关于x的不等式|xa|x4|1的解集是R，则实数a的取值范围是_答案(，53，)解析在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a5或a3.2(2014·重庆)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案1，解析设y|2x1|x2|当x<2时，y3x1>5；当2x<时，yx3>；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等

12、式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范围为1，3若不等式|ax2|<4的解集为(1,3)，则实数a_.答案2解析由4<ax2<4，得6<ax<2.当a>0时，<x<，与解集(1,3)不符；当a<0时，<x<，a2.4不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案1,4解析由绝对值的几何意义知，|x3|x1|的几何意义为数轴上点x到点3,1的距离的和，则|x3|x1|的最小值为4，不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，

13、解得1a4.a的取值范围为1,45已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，则集合AB_.答案x|2x5解析由|x3|x4|9，当x<3时，x3(x4)9，即4x<3；当3x4时，x3(x4)79恒成立；当x>4时，x3x49，即4<x5.综上所述，Ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，当且仅当t时取等号Bx|x2，ABx|2x56已知关于x的不等式|x1|xa|8的解集不是空集，则a的最小值是_答案7解析|x1|xa|x1|ax|a1|，要使关于x的不等式不是空集，则|a1|8，7a9，即a的最小值为7.7设f(x)x2bxc，不等式f(x

14、)<0的解集是(1,3)，若f(7|t|)>f(1t2)，则实数t的取值范围是_答案(3,3)解析x2bxc<0的解集是(1,3)，>0且1,3是x2bxc0的两根则函数f(x)x2bxc图象的对称轴方程为x1，且f(x)在1，)上是增函数，又7|t|7>1,1t21，则由f(7|t|)>f(1t2)，得7|t|>1t2，即|t|2|t|6<0，亦即(|t|2)(|t|3)<0，|t|<3，即3<t<3.8(2013·天津)设ab2，b>0，则当a_时，取得最小值答案2解析由于ab2，所以，由于b>0

15、，|a|>0，所以21，因此当a>0时，的最小值是1；当a<0时，的最小值是1.故的最小值为，此时即a2.9若T1，T2，则当s，m，nR时，T1与T2的大小为_答案T1T2解析因为s·0.所以T1T2.10设0<x<1，则a，b1x，c中最大的一个是_答案c解析由a22x，b21x22x>a2，a>0，b>0得b>a.又cb(1x)>0得c>b，知c最大11设x>0，y>0，M，N，则M、N的大小关系为_答案M<N解析N>M.12若a，bR，且ab，M，N，则M、N的大小关系为_答案M>N解析ab，>2，>2，>22，>.即M>N.13对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_答案5解析|x1|1，1x11，0x2.又|y2|1，1y21，1y3，从而62y2.由同向不等式的可加性可得6x