高二数学期末复习专题应用题答案

1、高二数学期末复习专题-应用题 答案1（2017湘西州模拟）如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）记AMN=（1）将AN，AM用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？【分析】（1）根据正弦定理，即可表示出AN，AM；（2）设AP2=f（），根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简f（）；根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值【解答】解：（1）AMN

2、=，在AMN中，由正弦定理得：=所以AN=，AM=（2）AP2=AM2+MP22AMMPcosAMP=sin2（+60°）+4sin（+60°）cos（+60°）=1cos（2+120°）sin（2+120°）+4=sin（2+120°）+cos（2+120°）+=sin（2+150°），（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°）=sin（+60°）当且仅当2+150°=270°，即=60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时

3、AN=AM=2故答案为：（1）AN=，AM=（2）AN=AM=2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小【点评】本题主要考查与三角函数有关的应用问题，利用正弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键2（2017江苏模拟）如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，CDP=60°且圆弧栈桥BP在CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（

4、km2），BOP=（1）求S关于的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cos的值，若不存在，说明理由【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S=（3cos+3sin1），根据两角和差的余弦公式即可求出【解答】解：（1）在COP中，CP2=CO2+OP22OCOPcos=106cos，从而CDP得面积SCDP=CP2=（53cos），又因为COP得面积SCOP=OCOP=sin，所以S=SCDP+SCOPS扇形OBP=（3sin3cos）+，00，cos0=，当DP所在的直线与半圆相切时，设取的最大值为0，此时在COP中，OP

5、=1，OC=3，CPO=30°，CP=6sin0，cos0=，（2）存在，S=（3cos+3sin1），令S=0，得sin（+）=，当00，S0，所以当=0时，S取得最大值，此时cos（0+）=，cos0=cos（0+）=cos（0+）cos+sin（0+）sin=【点评】本题考查了利用三角形有关知识解决实际问题，考查了转化思想，解决问题的能力，属于中档题3（2017滨海县校级二模）设ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c已知C=，acosA=bcosB（1）求角A的大小；（2）如图，在ABC的外角ACD内取一点P，使得PC=2过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂

6、足分别是M、N设PCA=，求PM+PN的最大值及此时的取值【分析】（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；（2）求出PM，PN可得PM+PN=2sin+2sin （+）=3sin+cos=2sin（+），即可求PM+PN的最大值及此时的取值【解答】解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A（0，），B（0，），所以有A=B或A+B= 3分又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，所以A=B，因此A= 6分（2）由题设，得在RtPMC中，PM=PCsin

7、PCM=2sin；在RtPNC中，PN=PCsinPCN=PCsin（PCB）=2sin（+）=2sin （+），（0，）8分所以，PM+PN=2sin+2sin （+）=3sin+cos=2sin（+）12分因为（0，），所以+（，），从而有sin（+）（，1，即2sin（+）（，2于是，当+=，即=时，PM+PN取得最大值216分【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN是关键4（2016南通模拟）如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路

8、至B点；在市中心正南方解放路上选取A点，在A、B间修建徐新路（1）如果在A点看市中心O和点B视角的正弦值为，求在点B处看市中心O和点A视角的余弦值；（2）如果AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为，A点距市中心的距离为3km，求南徐新路的长度；（3）如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定两点A、B的位置【分析】（1）由题意A0B=，BAO为锐角，sinBAO=，由于；OBA=BAO，故由差角公式求值即可；（2）如图在三角形AOB中用余弦定理求解即可（3）根据题设条件用余弦定理将南徐新路AB的长度表示出来，再结合基本不等式求最值即可【解答】解：（1）由

9、题可得A0B=，BAO为锐角，sinBAO=，故cosBAO=，cosOBA=cos（BAO）=（2）OA=3，S=OA×OB×sinBOA=OB×3×sin=，OB=5，由余弦定理可得=9+25+15=49，AB=7（3）BA×4=×OA×OB×sinBOA，OA×OB=AB=OA2+OB2+OA×OB3OA×OB=3×AB，AB8，等号成立条件是OA=OB=8答：当AB最短时，A，B距离市中心O为8公里【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数模型解决实

10、际问题，三角函数模型是一个非常重要的模型，在实际生活中有着很广泛的运用5（2017南京一模）如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且AOM=，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tan=2，cos=，AO=15km（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB【分析】（1）在AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；（2）由cos，且为锐角，可求sin，由正弦定理可得sinMAO，结合tan=2，可求sin，cos，sinABO，sin

11、AOB，结合AO=15，由正弦定理即可解得AB的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）在AOM中，A0=15，AOM=，且cos=，OM=3，由余弦定理可得：AM2=OA2+OM22OAOMcosAOM=（3）2+1522××15×=72所以可得：AM=6，大学M在站A的距离AM为6km6分（2）cos，且为锐角，sin=，在AOM中，由正弦定理可得：=，即=，sinMAO=，MAO=，ABO=，tan=2，sin，cos=，sinABO=sin（）=，又AOB=，sinAOB=sin（）=在AOB中，AO=15，由正弦定理可得：=，即，解得AB=30，即铁路A

12、B段的长AB为30km12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式，诱导公式的应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题6（2017江苏模拟）某校园内有一块三角形绿地AEF（如图1），其中AE=20m，AF=10m，EAF=，绿地内种植有一呈扇形AMN的花卉景观，扇形AMN的两边分别落在AE和AF上，圆弧MN与EF相切于点P（1）求扇形花卉景观的面积；（2）学校计划2017年年整治校园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形ABCD（如图2），其中BAD=，并种植两块面积相同的扇形花卉景观，两扇形的边都分别落在平行四边形ABCD的边上，圆弧都

13、与BD相切，若扇形的半径为8m，求平行四边形ABCD绿地占地面积的最小值【分析】（1）AEF中，由余弦定理可得EF，设扇形花卉景观的半径为r，则由EFr=AEAFsinEAF，得到r，即可求扇形花卉景观的面积；（2）设AB=xm，AD=ym，则BD=m，由平行四边形ABCD的面积得8=xy，求出xy的最小值，即可得出结论【解答】解：（1）AEF中，由余弦定理可得EF=10m设扇形花卉景观的半径为r，则由EFr=AEAFsinEAF，得到r=m，扇形花卉景观的面积S=；（2）设AB=xm，AD=ym，则BD=m，由平行四边形ABCD的面积得8=xy，=，xy8，即xy256，当且仅当x=y=16

14、时，xy的最小值为256，平行四边形ABCD的面积的最小值为128【点评】本题考查基本不等式的运用，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度中等7（2017松江区二模）如图所示，PAQ是某海湾旅游区的一角，其中PAQ=120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米（1）若规划在三角形ABC

15、区域内开发水上游乐项目，要求ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？【分析】（1）设AB=xm，AC=ym，则800x+400y=1200000，即2x+y=3000，表示面积，利用基本不等式，可得结论；（2）利用向量方法，求出AD，即可得出结论【解答】解：（1）设AB=xm，AC=ym，则800x+400y=1200000，即2x+y=3000，SABC=281250m3，当且仅当2x=y，即x=750m，y=1500m时等号成立，ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为750米和1500米；（2）在（1）的条件下，=+，=

16、250000，|=500，1000×500=500000元，即建直线通道AD还需要50万元【点评】本题考查三角形中面积的求法，考查向量知识的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题8（2017南通模拟）如图，摄影爱好者在某公园A处发现正前方B处有一根立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，设摄影爱好者的眼睛（S）离地面的高度为m（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN，绕其中点O在SA与立柱所在的平面内旋转摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由【分析】（1）摄影者眼部

17、记为点S，作SCOB于C，则有CSB=30°，ASB=60°SA=，在RtSAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，CSO=30°，在RtSCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系设M（cos，sin），0，2），则N（cos，sin），由（）知S（3，），利用向量的数量积的坐标表示可求cosMSN，1，结合余弦函数的性质可求答案【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SCOB于C，依题意CSB=30°，ASB=60°又SA=，故在RtSAB中，可求得BA=3，即摄影者到立柱的水平距离为3米（3分）由SC=3，CSO=30°，在RtSCO中OC=SCtan30°=，又BC=SA=，故OB