高中数学教程__数列专题

1、数列专题一、 证明等差等比数列1 等差数列的证明方法： （1）.定义法：(常数) （2）.等差中项法：2等比数列的证明方法：（1）.定义法：(常数) （2）.等比中项法：例1.设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn解：设等差数列an的公差为d，则Sn=na1n（n1）dS77，S1575，即解得a12，d1a1（n1）d2（n1），数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn2n例2设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn（2t+3）Sn1=3t（t0，n=2，3，4，）求证：数列an是等比数列；解：（1）由a1=S1=

2、1，S2=1+a2，得a2=又3tSn（2t+3）Sn1=3t3tSn1（2t+3）Sn2=3t得3tan（2t+3）an1=0，（n=2，3，）所以an是一个首项为1，公比为的等比数列.练习：(2006年山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；答案.(2),;二通项的求法（1）.利用等差等比的通项公式(2).累加法：例3已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，（3）.构造等差或等比

3、或例4（2006年福建卷）已知数列满足求数列的通项公式；解：是以为首项，2为公比的等比数列。即例5已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以练习.已知数列满足，且。（1）求；（2）求数列的通项公式。解：（1）（2）（4）利用例6若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数，.求数列的通项公式；解：2分 当 当4分练习：1. 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得

4、10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2)当a1=3时，a3=13，a15=73a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n32（2006年全国卷I）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：解：（I），解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得：（其中n为正整数）（II）所以：（5）累积法 转化为，逐商相乘.例7已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，练习：1.已知，求。解：

5、。2（2004，全国I,理）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，即，又，将以上n个式子相乘，得（6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。例8：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。解：取倒数：是等差数列，练习：已知数列an满足：a1，且an求数列an的通项公式；解：将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）三数列求和1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、错位相减法求和 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例9 求和：解：由题可知，设（设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求

6、和公式得：。练习： 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设得4、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例10求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得又由可得：.+得： 5、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例11 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a1时，（分组求和）当时，6、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项

7、法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）（1）为等差数列，（2）例12 求数列的前n项和.解：设，则 例13 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 数列bn的前n项和： 练习：1（理）已知数列的前项和为，且满足 。（1）求数列的通项公式；（2）(理)若，且，数列的前项和为，求 （文）若，且，数列的前项和为，求证Tn3/4解：（1）数列的前项和为，且满足则 （）相减得： （） 又当n=1时， ， 是以为首项，公比的等比数列 （）（2）=2已知数列：求证数列为等差数列，并求它的公差设，求的和。解：由条件，；故为等差数列，公差又知3已知点列在直线l：y = 2x + 1上，P1为直线l与 y轴的交点，等差数列an的公差为. （）求an、bn的通项公式； （）（理）若数列满足：