高中三角极值问题在物理中应用

1、高中三角极值问题在物理中的应用摘要：本文讨论了两个常见的三角函数及的极值在物理解题中的应用，总结了利用数学知识解决物理问题的基本方法。关键词：三角函数 极值 物理解题方法高中三角函数中，形如及的极值问题在物理题中有着广泛的应用，部分学生对数学知识在解物理题中的作用不够重视，从而无法做到灵活运用。本文通过详细的推导和配套的例题，展开讨论，说明用法。一、的极值应用 极值推导在三角函数中形如的最值求法其理论依据为两角和与差的正余弦公式。为求的最值，我们将其变形为设，进而有 当且仅当时，即时，函数取最大值 范例解析mgFfFFN图 1例1 一物体质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为，用力拉物体在水平面

2、上匀速滑动，求最小拉力及最小拉力的条件。解：设用与水平成角的外力F拉物体，其受力分析如图1所示.由于物体匀速，则水平：， 竖直： 要讨论F的取值，就需要讨论的取值，由上可知，当时，此时y有最大，此时，F有最小值例2 如图2所示，质量为m的金属杆，跨放在相距L的两水平轨道上，金属杆与轨道动摩擦因数为。现由一轨道向另一轨道输送电流I，使杆向右匀速滑动，求所需的最小磁感应强度的大小。图 2F安mgFf图 3解析：设安培力方向与水平方向成角,如图3所示，有解得当时，此时y有最大，此时，有最小值例3 有一斜面，其底边固定且水平，斜面的倾角可在内变化，一物体在斜面上以一定的初速度向上运动，问当多时，物体沿

3、斜面向上运动位移有最小值？最小值为多少？设物体与斜面间的动摩擦系数始终为解：假设物体在如图4所示倾角为的斜面上运动，mgFNFf图 4受力分析，建立坐标系由于物体匀速，则x轴： y轴： 因此根据匀变速直线运动的规律有由前面结论可得，二、的极值应用 极值推导在三角函数中形如的最值求法其理论依据三角最基本的公式和代数中一基本定理：若干个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。为求的极值，我们将其两边平方得，进而有 上式中等号成立的条件是，即时，有最大值，就有y的最大值，即的最大值。 范例解析例4 一小球用轻绳悬挂在某固定点，现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球。考虑小球由静止开始运动到最低位置

4、的过程中（ ）A. 小球在水平方向的速度逐渐增大B. 小球在竖直方向的速度逐渐增大C. 到达最低位置时小球线速度最大D. 到达最低位置时绳中的拉力等于小球重力解：因轻绳对小球拉力的水平方向分量始终没反向，故小球在水平方向的加速度没反向，使小球在水平方向的速度逐渐增大，以致小球到达最低点位置时的线速度最大。选A、C。由小球到达最低位置时的受力情况，根据向心力的计算易得拉力应大于小球重力，故D错。对于选择项B，因小球到达最低位置时，在竖直方向的速度为零，故B错。现在需要探讨的是，小球落到什么位置时，在竖直方向的速度最大？最大值是多少？如图5，设质量为的小球被长为的轻绳系住，悬挂在固定点。将轻绳拉直

5、至水平位置，把小球从静止释放。设小球运动到使轻绳与水平方向成角时，小球的速度为。由机械能守恒定律，有即得等式Oy图 5我们将速度正交分解为竖直方向的和水平方向的，易得，两边平方后将式代入有因时，有最大值，由式得竖直方向速度的最大值为，且竖直方向速度的最大值在时取得。对于本题，我们还可导出小球摆动过程中竖直方向和水平方向加速度的变化情况。小球下落至A点时的受力情况如图6所示。Omg图 6FT由机械能守恒定律和向心力公式，有由、得。我们规定向下为正方向，有 当，即时，小球在竖直方向的加速度，此时正好正好达到最大值。事实上，达到最大值的条件与达到的条件是相同的。我们再规定向左为正方向，有很显示，当时

6、，达到最大值PQABO图 7例5 如图7所示，P、Q是两个电量（数值为）相等的正点电荷，它们连线的中点是O，A、B是中垂线垂线上的两点，用、分别表示A、B两点的场强和电势，则（ ）A. 一定大于，一定大于B. 不一定大于，一定大于C. 一定大于，不一定大于D. 不一定大于，不一定大于解 因P、Q是两个等量的正的点电荷，故距它们较近的A点的电势大于距它们较远的B点的电势，即。PQO图 8ME1EE2对于A、B两点场强大小的比较，我们利用点电荷的场强公式，其中是到点电荷Q的距离，如图8。点电荷P在点M处的场强为，点电荷Q在点M处的场强为。因P、Q两个正的点电荷电量相等，即设，由场强的矢量和得出点M处的合场强为因，有最大值，此时两个点电荷的合场强取得最大值由易得到图7或图8两个点电荷在中垂线上合场强最大的点到O点的距离为。而图7中的A、B两点分别在合场强的最大值点两侧，故和的大小不能确定。选B。涉及三角函数极值的物理问题求解不