高二数学培优讲义导数的概念与运算

1、第十讲 导数的概念与运算教学目标：1、了解导数概念的实际背景 2、理解导数的几何意义 3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1、 知识回顾 课前热身知识点1、导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函

2、数f(x) 为f(x)的导函数知识点2、几种常见函数的导数(C) 0 (C为常数)；(xn) nxn1 ；(nQ)(sinx) cos_x ； (cosx) sin_x ； (ex) ex ； (ax) axln_a ；(lnx) .(logax) 知识点3、导数的运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)知识点4、复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积2

3、、 例题辨析 推陈出新例1、求下列函数的导数(1)y(1)； (2)y； (3)ytan x； (4)y3xex2xe.解答(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)·ex3xex2xln 2(ln 31)·(3e)x2xln 2.若将本例(3)中“tan x”改为“sin ”如何求解？解：ysin sin cos sin x ycos x 变式练习1求下列函数的导数(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y；(4)y.解：(1)yxx3，y(x)(x3)(x2sin

4、x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y，y.(4)ycos xsin x，ysin xcos x.例2、 求下列复合函数的导数：(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yln(2x5)解答(1)设u2x3，则y(2x3)5由yu5与u2x3复合而成，yf(u)·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y由yu与u3x复合而成yf(u)·u(x)(u)(3x)u(1)u.(3)设yu2，usin v，v2x，则yxyu·

5、;uv·vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(4)设yln u，u2x5，则yxyu·ux，y·(2x5).变式练习2求下列复合函数的导数：(1)y(1sin x)2；(2)yln ；(3)y；(4)yx .解：(1)y2(1sin x)·(1sin x)2(1sin x)·cos x.(2)y(ln )·( )·(x21)·(x21).(3)设u13x，yu4.则yxyu·ux4u5·(3).(4)y(x )x·x .3、 归纳总结 方法在

6、握归纳1、求导之前，应先对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量；归纳2、复合函数求导必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系4、 拓展延伸 能力升华例1、(1)(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_(2)已知曲线yx3. 求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求斜率为4的曲线的切线方程解答(1)y，yx，y|x44，y|x22.点P的坐标为(4,8)，点Q的坐标为(2,2)，在点P处的切线方程为y84(x4)，即y4x8.在点Q处的切线

7、方程为y22(x2)，即y2x2.解得A(1，4)，则A点的纵坐标为4.(2)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.设切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx4，x0±2.切点为(2,4)或，切线方程为y44(x2)或y4(x2)，即4xy40或12x3y200.若将本例(2)中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？解：设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率ky|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yx·xx. 点P(2，4)在切

8、线上，42xxf(4,3)，即x3x40.xx4x40. x(x01)4(x01)(x01)0.(x01)(x02)20.解得x01或x02. 故所求的切线方程为4xy40或xy20.变式练习3已知函数f(x)2 (x>1)，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线l分别交x轴和y轴于A，B两点，O为坐标原点(1)求x01时，切线l的方程；(2)若P点为，求AOB的面积解：(1)f(x)，则f(x0)，则曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)的切线方程为yf(x0)(xx0)，即y .所以当x01时，切线l的方程为xy30.(2)当x0时，y；当y0时，xx02. SAOB，SAO

9、B.例2、已知a为常数，若曲线yax23xln x存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是()A.B. C. D.解答由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a<0时，需满足0，解得a<0. 综上，a.答案A归纳:导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为

10、k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解变式练习4若函数f(x)sin(0<<)，且f(x)f(x)是奇函数，则_.解析：f(x)sin，f(x)cos.于是yf(x)f(x)sincos2sin2sin2cos(x)，由于yf(x)f(x)2cos(x)是奇函数，k(kZ)又0<<，. 答案：练习1曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.解析：y，故y.曲线在点M处的切线的斜率为. 选B2已知函数f(x)x3fx2x，则函数f(x)的图象在点处的切线方程是_解析：由f(x)x3fx2x，可得f(x)3x22fx1，f3×22f×

11、1，解得f1，即f(x)x3x2x.则f32，故函数f(x)的图象在处的切线方程是y，即27x27y40. 答案：27x27y405、 课后作业 巩固提高1曲线y在点M(，0)处的切线方程是_答案：xy02如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.解析：由题意知f(5)1，f(5)583，f(5)f(5)312. 答案：23(2013·永康模拟)函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是()解析：选D据函数的图象易知，x<0时恒有f(x)>0，当x>0时，恒有f(x)<0.4若函数f(x)cos x2xf，则f与f

12、的大小关系是()AffBf>f Cf<f D不确定解析：选C依题意得f(x)sin x2f，fsin 2f，f，f(x)sin x1，当x时，f(x)>0，f(x)cos xx是上的增函数，注意到<，于是有f<f.5已知t为实数，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，则t等于()A0 B1 C. D2解析：选Cf(x)3x22tx4，f(1)32t40，t.6曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为()Ay3x1 By3x1 Cy3x1 Dy2x1解析：选A依题意得y(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线的斜率为y|x0，故曲线yxex

13、2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即y3x1.7设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是()Af(x)>0 Bf(x)<0 Cf(x)>x Df(x)<x解析：选A由已知，令x0得2f(0)>0，排除B、D两项；令f(x)x2，则2x2x4x2>x2，但x2>x对x不成立，排除C项8已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4.f(0)4.答案：49已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示

14、，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.答案：xy2010若曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，即f(x)0有正实数解又f(x)5ax4，方程5ax40有正实数解5ax51有正实数解a<0.故实数a的取值范围是(，0)答案：(，0)11已知函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为x2y50，求yf(x)的解析式解：由已知得，12f(1)50，f(1)2，即切点为(1

15、，2)又f(x)，解得f(x).12如右图所示，已知A(1,2)为抛物线C：y2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：xa(a<1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求ABD的面积S1.解：(1)由条件知点A(1,2)为直线l1与抛物线C的切点y4x，直线l1的斜率k4.所以直线l1的方程为y24(x1)，即4xy20.(2)点A的坐标为(1,2)，由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，点D的坐标为(a，4a2)，ABD的面积为S1×|2a2(4a2)|×|1a|(a1)3|(a1)3.13如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k1,2，