高中数学知识点总结39721

1、理科数学归纳法知识总结一 基本概念1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可二 易错点 1.归纳起点易错（1）n未必是从n=1开始例 用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为点拔：本题的归纳起点n=3（2） n=1时的表达式例 用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）A. 1 B. C. D. 点拨 n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B2.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法例1 用数学归纳法证明：错证：（1）当n=1时，左=右=1，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，则当n=k+

2、1时，综合（1）（2），等式对所有正整数都成立点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设3 从n=k到n=k+1增加项错误例1 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立点拨：因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选例2 用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是 点拨：求即可当 n=k时， 左边，n=k+1时，左

3、边,故左边增加的式子是，即三 知识应用用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 1 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明等式：证明：（1）当n=1时，左=右，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即则n=k+1时当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立例2 用数学归纳法证明：证明：（1）当n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立（2）假设n=k时，等式成立，即：则当n=k+1时当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立2 用数学归纳法证明不等式例1 用数学归纳法证明不等

4、式证明：（1）当n=1时，左边=，右边=2，不等式成立（2）假设当n=k时不等式成立，即则当n=k+1时当n=k+1时， 不等式也成立综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立注意（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面例2证明不等式 (nN)证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=2左边<右边，不等式成立（2）假设n=k时，不等式成立，即则当n=k+1时，当n=k+1时， 不等式也成立综合（1）（2），不等式对所

5、有正整数都成立3 用数学归纳法证明整除问题例1 求证：能被6 整除.证明：（1）当时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；（2）假设时命题正确，即能被6整除，则当时，两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，能被6整除，即当时命题也正确，当n=k+1时， 命题也成立综合（1）（2），命题对所有正整数都成立例2 证明：能被整除证明：（1）当n=1时，能被整除；（2）假设n=k时命题成立，即能被整除可设（其中为次多项式）则当n=k+1时，能被整除当n=k+1时， 命题也成立综合（1）（2），命题对所有正整数都成立4 用“归纳猜想证明”解决数列问题 例1 在数列中，（1）写出；（2）求数列

6、的通项公式解：（1），猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立（2）假设n=k时猜想成立，即则n=k+1时 当n=k+1时， 猜想也成立综合（1）（2），猜想对所有正整数都成立例2 在数列中，其中，求数列的通项公式解：，.由此可猜想出数列的通项公式为.以下用数学归纳法证明：(1) 当n=1时，,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，即.则当n=k+1时，当n=k+1时， 猜想也成立综合（1）（2），数列的通项公式5用“归纳猜想证明”解决几何问题例1n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？

7、分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证 当n=2时，由图(1)两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22当n=3时，由图(2)三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32由n=4时，由图(3)三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2用数学归纳法证明如下：（1）当n=2时，上面已证（2）设n=k时，猜想成立，即f (k)=k2，则当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半

8、圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧 f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧当n=k+1时， 猜想也成立综合（1）（2）知 满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧四 练习巩固1.用数学归纳法证明：1(n2-1)+2(n2-22)+n(n2-n2)=(nN*).2.用数学归纳法证明：1·2·3+2·3·4+n(n+1)(n+2)=(n+1)·( n+2)·(n+3)(nN*).3.当n>1，nN*时，求证：4.用数学归纳法证明：(nN*)5.用数学归纳法证明 49n+16n-1能被64整除(nN*)6.用数学归纳法证明 mn+2+(m+1)2n+1能被m2+m+1整除(nN*)7.在数列中，an>0,且Sn=1/2(an+)(1)求a1、a2、a3；(2)猜测出an的关系式并用数学归纳法证明。