高中数学推理与证明 211 合情推理二 习题 苏教版选修22

1、2.1.1合情推理(二)明目标、知重点1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断1类比推理(1)类比推理的定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法(2)类比推理的思维过程2合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理情境导学春秋时代鲁班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子，他的思维过程为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的，因此

2、，它们形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的这就是类比推理探究点一类比推理阅读下面的推理，回答后面提出的思考：1科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等由此科学家猜想：火星上也可能有生命存在2对比圆和球，有类似特征：(1)完美对称；(2)都是到定点距离等于定长的点的集合；(3)形状相近根据“圆的圆心到其切线的距离等于半径”，我们猜想“球的球心到其切面的距离等于半径”思考1这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？答两个实例均是根据两个(或两

3、类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理思考2猜想正确吗？答不一定正确思考3类比圆的特征，填写下表中球的有关特征圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长球的表面积圆的面积球的体积圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(xx0)2(yy

4、0)2r2以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(xx0)2(yy0)2(zz0)2r2小结在进行类比推理时要注意对应关系：平面图形中的“线”对应空间图形中的“面”；平面图形中的“面”对应空间图形中的“体”；平面图形中的“边长”对应空间图形中的“面积”；平面图形中的“面积”对应空间图形中的“体积”探究点二平面图形与立体图形间的类比例1在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2AC2BC2”拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_答案设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂

5、直，则SSSS解析类比条件：两边AB、AC互相垂直侧面ABC、ACD、ADB互相垂直结论：AB2AC2BC2SSSS.反思与感悟类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)跟踪训练 1(1)如图所示，在ABC中，射影定理可表示为ab·cos Cc·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想(2)已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由解(

6、1)如图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：SS1·cos S2·cos S3·cos .(2)类比ABAC，ADBC，可以猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD.则.猜想正确如图所示，连结BE，并延长交CD于F，连结AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正确探究点三定义、定

7、理或性质中的类比例2在等差数列an中，若a100，证明等式a1a2ana1a2a19n(n<19，nN*)成立，并类比上述性质相应的在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立答案b1 b2bnb1b2b17n(n<17，nN*)解析在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n.若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n.相应地，类比此性质在等比数列bn中，可得b1b2bnb1b2b17n，(

8、n17，nN*)反思与感悟(1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)跟踪训练2设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_， 成等比数列答案1把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是_(填序号)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交；如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直；如果两条直线同时与第三条直线

9、相交，则这两条直线相交或平行；如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行答案解析推广到空间以后，对于均有可能异面2在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_答案18解析两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是相似的几何体，体积之比为相似比的立方，它们的体积比为18.3若数列cn是等差数列，则当dn时，数列dn也是等差数列，类比上述性质，若数列an是各项均为正数的等比数列，则当bn_时，数列bn也是等比数列答案4对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面

10、体的内切球切于四面各正三角形的_答案中心 呈重点、现规律1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程概括为一、基础过关1已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S，可推知扇形面积公式S扇_.答案lr2下列推理正确的是_(填序号)把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogay；把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sin xsin y；把a(bc)与axy类比，则有axyaxay；把a(bc)与a·(bc

11、)类比，则有a·(bc)a·ba·c.答案3下面几种推理是合情推理的是_(填序号)由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n2)·180°.答案解析是类比推理；是归纳推理；是归纳推理所以、是合情推理4把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对

12、角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r(其中a，b为直角三角形两直角边长)类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R_.答案解析由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 5设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R_.答案解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为V四面体SA

13、BC(S1S2S3S4)R，R.6在等差数列an中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn>0，q>1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是_b4b8>b5b7；b5b7>b4b8；b4b7>b5b8；b4b5>b7b8.答案7在ABC中，若C90°，则cos2Acos2B1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想解由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥PABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为，则c

14、os2cos2cos21”证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记POh，由PCPA，PCPB，得PC面PAB，从而PCPM，又PMC，cos sinPCO，cos ，cos .VPABCPA·PB·PC(PA·PBcos PB·PCcos PC·PA cos )·h，()h1，即cos2cos2cos21.二、能力提升8类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是_(填序号)各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面

15、角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等答案解析因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以都恰当9类比平面直角坐标系中ABC的重心G(，)的坐标公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z4)为顶点的四面体ABCD的重心G(，)的公式为_答案10公差为d(d0)的等差数列an中，Sn是an的前n项和，则数列S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相

16、应地在公比为q(q1)的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有_答案，也成等比数列，且公比为q10011如图(1)，在平面内有面积关系·，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论解类比·，有··证明：如图：设C，C到平面PAB的距离分别为h，h.则，故.12.如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为、，则cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想解在长方形ABCD中，cos2cos2()2()21.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为、，如图则cos2cos2cos21.证明如下：cos2cos2cos2()2()2()21.三、探究与拓展13.椭圆C：1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2a2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线1(