高三—平面向量应用举例3

1、复习课: 平面向量应用举例 教学目标重点： 理解平面向量在平面几何中的应用：能用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题； 了解平面向量在物理中的应用；了解平面向量与其他数学知识的交汇：平面向量作为一种运算工具，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.难点：平面向量作为一种运算工具解决数学和物理的有关问题。能力点：平面向量与其他数学知识的交汇,此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.培养学生的数形结合思想.教育点：提高培养学生的数学化归思想.培养学生数形结合应用能力.自

2、主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：向量的夹角为锐角与数量积大于零不等价；向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别.例如：向量平行并不能说明所在直线平行；构造向量解题，构造是关键，而向量的构造并不是唯一的，要根据题目进行调整.学法与教具1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：直尺，投影仪.一、【知识结构】 证明线段平行或点共线问题；解决长度问题向量在平面几何中的应用证明垂直问题；解决夹角问题向量的应用向量在物理中的应用力的分解与合成物理学中功的求解向量在解析几何中的应用 二、【知识梳理】1.向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的

3、平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：_.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质_.(3)求夹角问题，利用夹角公式_.2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是_，它们的分解与合成与向量的_相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，这是力与位移的数量积.3.平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关

4、函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.三、【范例导航】【例1】.已知向量,且满足关系,(为正实数).(1) 求证:； (2) 求将表示为的函数；(3) 求函数的最小值及取最小值时的夹角【分析】长度、夹角等问题解决应用数量积处理.【解答】 证明: （1）(2)(3)当且仅当即时,故的最小值是【点评】解决该类问题的基本步骤是：两边平方应用数量积；求最小值用均值不等式处理，注意等号成立条件.变式训练:1.（2012年高考（广东理）(向量)若向量,则（）ABCD 2（201

5、2年高考（大纲理）中,边上的高为,若,则（）ABCD 3.一质点受到平面上的三个力，(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为1和2，则与所成的角为_. 答案：A D 【例2】 已知两点，且点使得，成公差小于零的等差数列.（1）求证；（2）若点的坐标为，记与的夹角为，求。【分析】平面向量作为一种运算工具，经常与解析几何知识结合，应用平面向量数量积给出关系式.【解答】）略解：，由直接法得（2）当不在轴上时，而所以，当在轴上时，上式仍成立。【点评】此题较灵活的运用夹角公式和三角形面积公式.变式训练:2012年高考（北京理）已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的值为_;的最

6、大值为_.【解答】1，1 根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1 向量在解三角形中的应用【例3】 已知在锐角中，两向量，且与是共线向量.(1)求的大小；(2)求函数取最大值时，的大小.【分析】向量与三角函数的结合往往是简单的组合.如本题中条件通过向量给出，通过向量的平行得到一个等式，这时向量的使命便告完成.向量与其他知识的结合往往是这种简单组合，因此这种题目往往较为简单.【解答】(1) (2)此时，函数取最大值2.【点评】(1)题中条件通过向量的平行得到一个等式 (2)本题的易错点在于确定的范围和的最大值.变

7、式训练: 的三内角，所对边长分别是，设向量，若，则角的大小为_.【解析】 四、【解法小结】1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2.向量本身是一个数形结合的产物.在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.3.要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.4.用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”

8、成几何关系.5.向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决.五、【布置作业】必做题：1.在中，已知是边上一点，若，则（ ）ABCD2. 已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是( )A B . C. D .3.非零向量与满足且, 则为( )A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形4已知的非等腰三角形，且，则关于的二次方程的根的个数叙述正确的是 （ ）A.无实根B.有两相等实根C.有两不等实根D.无法确定5.已知，其中. （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求.答案：A A A C 5（1）因为 所以与互相垂直. （2）， ，所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为，所以.选做题：1.已知点为C的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且=，=，求的值. 2.设为内一点，且，则的面积与面积之比为 （ ） A. B. C. D. 3.（2012年高考（广东理）对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中,则（）A B1CD4（2012年高考（安徽理）若平面向量满足:;则的最小值是 答案：3 C C 六、【教后反思】1