高二数学2014高二下学期期中考试数学文试卷

1、2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1已知集合A=2，1，0，1，集合B=x|1，1，2，3，则AB=2抛物线y=x2的准线方程是3已知复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为4已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，f（x）=x2+，则f（1）=5已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为6已知幂函数y=f（x）的图象过点，则函数f（x）=7设aR，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”

2、或“既不充分也不必要”）8某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：题目：“在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，”解：设AB的斜率为k，点B（，），D（，0），据此，请你写出直线CD的斜率为（用k表示）9已知A（3，1）、B（1，2），若ACB的平分线在y=x+1上，则AC所在直线方程是10设，为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若m，n，m，n，则；若n，m，与相交且不垂直，则n与m不垂直；若，=m，mn，则n；若mn，n，则m其中所有真命题的序号是11如图所示，已

3、知抛物线y2=2px（p0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为12已知 是（，+）上的减函数，则a的取值范围是13若实数a，b，c成等差数列，点P（1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，点N坐标为（3，3），则线段MN长度的最小值是14已知函数f（x）=x1（e1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（ex）0的x的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）（2015春淮安校级期中）已知命题P：函数y=loga（2x+1）在定义域上单调递增；命题Q：不等

4、式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立，若P、Q都是真命题，求实数a的取值范围16（14分）（2013越秀区校级模拟）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，E为PD的中点求证：（1）PB平面AEC；（2）平面PCD平面PAD17（15分）（2015春淮安校级期中）已知圆M的方程为x2+（y2）2=1，直线l的方程为x2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B（1）若APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程；（3）经过A，P，M三点的

5、圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由18（15分）（2015春淮安校级期中）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DEOA、CFOB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域若OA=1km，（1）求区域的总面积；（2）若养殖区域、的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元 试问当为多少时，年总收入最大？19（16分）（2015春淮安校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+=1（ab0）过点（1，），其左、右焦点分别为F1、F

6、2，离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）若A、B分别为椭圆E的左、右顶点，动点M满足MBAB，且MA交椭圆E于点P（i）求证：为定值；（ii）设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，问：直线MQ是否过定点，并说明理由20（16分）（2014徐州模拟）已知函数f（x）=alnx+（xc）|xc|，a0，c0（1）当a=，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）对x（c，+）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1）、Q（x2，f（x2）两处的切线分别为l1、l2若x1=，x2=c，且l1l2，求实数c的最小值2014-2015学年高二（

7、下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1已知集合A=2，1，0，1，集合B=x|1，1，2，3，则AB=1，1考点： 交集及其运算 专题： 集合分析： 根据A与B，求出两集合的交集即可解答： 解：A=2，1，0，1，B=1，1，2，3，AB=1，1，故答案为：1，1点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2抛物线y=x2的准线方程是y=1考点： 抛物线的简单性质 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程解答： 解：

8、由题意，抛物线的标准方程为x2=4y，p=2，开口朝上，准线方程为y=1，故答案为：y=1点评： 本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题3已知复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为1考点： 复数代数形式的乘除运算 专题： 数系的扩充和复数分析： 化简已知复数，由复数的基本概念易得复数的虚部解答： 解：化简可得=1i复数z的虚部为：1故答案为：1点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题4已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，f（x）=x2+，则f（1）=2考点： 函数奇偶性的性质 专题： 函数的性质及应用分析： 当x0时，f（x）=x2+，可得f（1）由于函

9、数f（x）为奇函数，可得f（1）=f（1），即可得出解答： 解：当x0时，f（x）=x2+，f（1）=1+1=2函数f（x）为奇函数，f（1）=f（1）=2故答案为：2点评： 本题考查了函数奇偶性，属于基础题5已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为3考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积 专题： 计算题分析： 由正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，知底面的正三角形的面积为：S=9，三棱锥的高为：h=由此能求出此三棱锥的体积解答： 解：正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，底面的正三角形的面积为：S=9，故底面的正三角形的高为3，其外接圆半径为2三棱锥的高为：h=所以体积为：V=3故答

10、案为：3点评： 本题考查三棱锥的体积的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化6已知幂函数y=f（x）的图象过点，则函数f（x）=x考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 专题： 函数的性质及应用分析： 利用幂函数的定义即可求出解答： 解：设幂函数f（x）=x，幂函数y=f（x）的图象过点，解得故答案为点评： 熟练掌握幂函数的定义是解题的关键7设aR，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 计算题

11、分析： 利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案解答： 解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y1=0与l2：x+（a+1）y+4=0”化为l1：x+2y1=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；如果“直线l1：ax+2y1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”必有a（a+1）=2，解得a=1或a=2，所以“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评： 本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键8某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔

12、细辨认，整理出以下两条有效信息：题目：“在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，”解：设AB的斜率为k，点B（，），D（，0），据此，请你写出直线CD的斜率为（用k表示）考点： 直线与圆锥曲线的关系 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由题意可得直线AC的斜率为，则将k换成，可得点C（，），运用直线的斜率公式，计算即可得到解答： 解：椭圆x2+2y2=1的左顶点为A（1，0），过点A作两条斜率之积为2的射线，设直线AB的斜率为k，则直线AC的斜率为，由题意可得点B（，），D（，0），则将k换成，可得点C（，

13、），则直线CD的斜率为=故答案为：点评： 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题9已知A（3，1）、B（1，2），若ACB的平分线在y=x+1上，则AC所在直线方程是x2y1=0考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程 分析： 设点A关于直线y=x+1对称的点A（x0，y0），则由题条件可求出A（0，4）所以直线AB的方程为2xy+4=0由此知C（3，2）从而得到直线AC的方程解答： 解：设点A关于直线y=x+1对称的点A（x0，y0），则，解得，即A（0，4）直线AB的方程为2xy+4=0由得，解得C（3，2）直线AC的方程为x2y1=0故答案：x2y1

14、=0点评： 本题考查直线方程的求法，解题时要结合实际情况，准确地进行求解10设，为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若m，n，m，n，则；若n，m，与相交且不垂直，则n与m不垂直；若，=m，mn，则n；若mn，n，则m其中所有真命题的序号是考点： 平面与平面之间的位置关系 专题： 证明题分析： 若m，n，m，n，则，由面面平行的判定定理判断；若n，m，与相交且不垂直，则n与m不垂直，由线线的位置关系判断；若，=m，mn，则n，由线面垂直的条件进行判断；若mn，n，则m，由线面垂直的条件进行判断解答： 解：若m，n，m，n，则，是一个错误命题，因为m，n不一定相交；若

15、n，m，与相交且不垂直，则n与m不垂直，是错误命题，因为两个不垂直的平面中也存在互相垂直的两条直线；若，=m，mn，则n，是错误命题，因为对比面面垂直的性质定理知，少了一个条件即n；若mn，n，则m是一个正确命题，因为两条平行线中的一条垂直于一个平面，则它也垂直于另一个平面，再有两个平行平面中的一个平面与一条直线垂直，则另一个平面也与这条直线垂直故答案为点评： 本题考查平面与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对命题相关的定义与定理掌握得比较熟练11如图所示，已知抛物线y2=2px（p0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为1考点

16、： 抛物线的简单性质；椭圆的简单性质 专题： 计算题分析： 设椭圆的左焦点为F'，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF'，可得RtAFF'中，AF=FF'=p，从而AF'=p，再根据椭圆的定义，可得AF+AF'=2a=（1+）p，最后用椭圆的离心率的公式求出该椭圆的离心率解答： 解：设椭圆的左焦点为F'，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF'，F（，0），F'（，0），可得焦距FF'=p=2c，（c=为椭圆的半焦距）对抛物线方程y2=2px令x=，得y2=p2，所以AF=|yA|=pRtAFF'

17、中，AF=FF'=p，可得AF'=p再根据椭圆的定义，可得AF+AF'=2a=（1+）p，该椭圆的离心率为e=1故答案为：1点评： 本题给出椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点，并且两曲线的通径合在一起，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与简单几何性质和抛物线的标准方程等知识点，属于中档题12已知 是（，+）上的减函数，则a的取值范围是，）考点： 函数单调性的性质 专题： 计算题分析： 根据题意可得，从而可求得a的取值范围解答： 解：f（x）=是（，+）上的减函数，解得a故答案为：，）点评： 本题考查函数单调性的性质，得到（3a1）×1+4aa1是关键，也是难点，

18、考查理解与运算能力，属于基础题13若实数a，b，c成等差数列，点P（1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，点N坐标为（3，3），则线段MN长度的最小值是5考点： 等差数列的性质 专题： 等差数列与等比数列分析： 利用等差数列的性质得到2b=a+c，整理后可得直线ax+by+c=0恒过Q（1，2），由条件得到PM与QM垂直得到M在以PQ为直径的圆上，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r和|AN|，判断出点N与圆的位置关系，在求出线段MN长度的最小值解答： 解：实数a，b，c成等差数列，2b=a+c，即a2b+c=0，可得动直线ax+by+c=0恒过Q（

19、1，2），点P（1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，PMQ=90°，则M在以PQ为直径的圆上，此圆的圆心A坐标为（，），即A（0，1），半径r=|PQ|=，又N（3，3），|AN|=5，则点N在圆外，则|MN|min=5，故答案为：5点评： 本题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a2b+c=0是解本题的突破点14已知函数f（x）=x1（e1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（ex）0的x的取值范围为（0，1）考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 导数的综合应用

20、分析： 求函数的导数，判断函数的单调性，求出不等式f（x）0的解，即可得到结论解答： 解：f（x）=x1（e1）lnx，函数的定义域为（0，+），函数的导数为f（x）=1=，由f（x）0得xe1，此时函数单调递增，由f（x）0得0xe1，此时函数单调递减，在x=e1时，函数取得极小值，f（1）=0，f（e）=0，不等式f（x）0的解为1xe，则f（ex）0等价为1exe，即0x1，故答案为：（0，1）点评： 本题主要考查不等式的求解，根据导数研究函数的单调性是解决本题的关键二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）（2

21、015春淮安校级期中）已知命题P：函数y=loga（2x+1）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立，若P、Q都是真命题，求实数a的取值范围考点： 命题的真假判断与应用 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： 先求出P、Q是真命题时，实数a的取值范围，结合P、Q都是真命题，求出两个范围的交集，可得答案解答： 解命题P函数y=loga（2x+1）在定义域上单调递增；a1（4分）又命题Q不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立；a=2（6分）或，（10分）解得：2a2综上所述：2a2（12分）P、Q都是真命题，a的取值范围是1a

22、2（14分）点评： 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档16（14分）（2013越秀区校级模拟）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，E为PD的中点求证：（1）PB平面AEC；（2）平面PCD平面PAD考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题： 证明题；空间位置关系与距离分析： （1）连结BD，AC交于O，连结EO可证出PBD中，EO是中位线，得EOPB，结合线面平行的判定定理，即可证出PB平面AEC；（2）由线面垂直的性质，证出CDPA正方形ABCD中证出ADCD，结合PAAD=A，可得C

23、D平面PAD，最后根据面面垂直判定定理，即可证出平面PAD平面PCD解答： 解：（1）连结BD，AC交于OABCD是正方形，AO=OC，OC=AC连结EO，则EO是PBD的中位线，可得EOPBEO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC（2）PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA又ABCD是正方形，可得ADCD，且PAAD=ACD平面PADCD平面PCD，平面PAD平面PCD点评： 本题在四棱锥中证明线面平行，并且证明面面垂直着重考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题17（15分）（2015春淮安校级期中）已知圆M的方程为x2+（

24、y2）2=1，直线l的方程为x2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B（1）若APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程；（3）经过A，P，M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由考点： 直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式 专题： 综合题；直线与圆分析： （1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标（2）设直线CD的方程为：y1=k（x2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得（3）设P（2m，m），M

25、P的中点Q（m，），因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标解答： 解：设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m2）2=4，解之得：m=0或m=，故所求点P的坐标为P（0，0）或P（，）（2）设直线CD的方程为：y1=k（x2），易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k=1或k=，故所求直线CD的方程为：x+y3=0或x+7y9=0（3）设P（2m，m），MP的中点Q（m，），因为PA是圆M的切线，所以经过A，P

26、，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：（xm）2+（y1）2=m2+（1）2，化简得：x2+y22ym（2x+y2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y22y=0且（2x+y2）=0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）点评： 本题主要考查了圆方程的综合运用解题的关键是对圆性质的熟练掌握18（15分）（2015春淮安校级期中）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DEOA、CFOB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域若OA=1km，（1）求区域的总面积；（

27、2）若养殖区域、的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元 试问当为多少时，年总收入最大？考点： 在实际问题中建立三角函数模型 专题： 导数的综合应用；三角函数的图像与性质分析： （1）根据三角形的面积公式即可求区域的总面积；（2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可解答： 解：（1）因为BD=AC，OB=OA，所以OD=OC因为，DEOA，CFOB，所以DEOB，CFOA又因为OE=OF，所以RtODERtOCF所以 （2分）所以所以，所以， （6分）（2）因为，所以所以=，（10分）所以，令y'=0，则 （12分）当时，y&#

28、39;0，当时，y'0故当时，y有最大值答：当为时，年总收入最大（15分）点评： 本题主要考查三角函数的应用问题，根据条件建立三角关系是解决本题的关键19（16分）（2015春淮安校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+=1（ab0）过点（1，），其左、右焦点分别为F1、F2，离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）若A、B分别为椭圆E的左、右顶点，动点M满足MBAB，且MA交椭圆E于点P（i）求证：为定值；（ii）设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，问：直线MQ是否过定点，并说明理由考点： 椭圆的简单性质 专题： 平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：

29、（1）由题意的离心率公式和点满足题意方程，结合椭圆的a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）（i）设M（2，y0），P（x1，y1），求得直线MA的方程，代入椭圆方程，解得点P的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii）直线MQ过定点O（0，0）先求得PB的斜率，再由圆的性质可得MQPB，求出MQ的斜率，再求直线MQ的方程，即可得到定点解答： 解：（1）由题意可得且a2b2=c2，解得a=2，b=，即有椭圆方程为+=1；（2）（i）证明：由A（2，0），B（2，0），MBAB，设M（2，y0），P（x1，y1），可得MA：y=x+，代入椭圆方程可得，（1+）x2+x+4=0，由2x1=