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文档简介

1、巧用余弦定理例1 三角形中，三边之长为10、14、16，求最大角与最小角的和分析：本题若分别求出最大角与最小角，再求其和，不易求得准确值，因为这两个角均不是特殊角，因此，可以从反面入手，避繁就简解：设边长为14的边所对的角为，则由余弦定理，得，则最大角与最小角的和为120°例2设正数满足方程组，求的值分析：观察方程组中每一个方程的结构，发现它们与余弦定理的结构相似，则可以构造三角形求解解：原方程组，即构造如下图所示的三角形，其中，因为，所以所以评析：这是一个用几何方法求解代数问题的范例，其难点在于根据已知条件构建几何模型，进而用几何图形的性质求得代数问题的解实际问题中显身手正弦定理、

2、余弦定理在实际生活中有着极其广泛的应用它们对经过抽象、概括最终转化为三角形中的边、角问题的实际应用题的求解十分有效下面列举几例，以飨读者一、测量距离例1 如图1，某观测站在目标的南偏西25°方向，从出发有一条南偏东35°走向的公路，在处测得与相距31km的公路上的处有一个人正沿着此公路向走去，走20km到达，此时测得距离为21km，求此人在处距处还有多远？解：由已知得，故，又在中，由余弦定理，得，即解得或（舍去），因此，故此人在处距处还有15km二、准确炮击例2我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面处和处，已知，目标出现于地面处，测得，（如图2），若准确炮击该目标，求炮

3、弹的落点距我炮兵阵地的距离（精确到）？解：由，得，在中，由正弦定理，得，同理，在中，又，故炮弹的落点距我炮兵阵地约点评：从例1、例2的解题过程我们知道，解题的关键是将问题涉及的有关量集中在某一个或某几个三角形中，建立三角形模型，然后利用正弦定理或余弦定理解决三、海上营求例3如图3，某舰艇在处，测得遇险渔船在北偏东距离海里的处，此时得知该渔船正沿南偏东的方向，以每小时海里的速度航行，舰艇时速每小时海里问舰艇朝什么方向前进可以尽快营救渔船？所需时间是多少（方向精确到）？解：设所需时间为，则，由余弦定理，得，解得或（舍去）此时，由正弦定理，得，解得舰艇沿北偏东方向前进小时，可以尽快营救渔船点评：本例

4、解题的关键是将题中的量和示意图中的量相对应，然后通过引入时间变量，利用余弦定理列出关于的一元二次方程，从而求出时间四、物理问题例4一颗卫星探测器到达星球的入射角（与星球表面的垂直线所成的角）是，如果在某一时刻它的入射速度是，在星球引力作用下的速度是，求它此刻实际运行的速度（方向精确到）？解：如图4所示，设实际运行速度为，由余弦定理可得设探测测器实际运行的方向与星球表面的垂直线所成的角，则所以故探测器的实际运行速度大小为，实际运行方向与星球表面垂直线所成的角约为点评：解题的关键是准确地画出示意图，理解一些物理名词，如入射角、引力等，依据矢量的分解与合成，构建三角形模型此外，求解矢解勿忘方向细心的你也许已经发现，这些问题虽然来源于不同的生活素材，但其求解过程大同小异：首先分析问题，把题中的条件转化为三

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