AAAA线性代数总结(超COOL已打印)

1、线性代数-知识框架A可逆r（ A） = nA的列（行）向量线性无关A的特征值全不为 0Iax=O只有零解 =式0, Ax式0A* vn,Ax= B总有唯一解At A是正定矩阵A三EA = PrP2Ps Pi是初等阵存在n阶矩阵B,使得AB二E或AB二E注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间.A不可逆r（A） : nA = 0二A的列（行）向量线性相关0是A的特征值.Ax =0有非零解,其基础解系即为A关于=0的特征向量r（aE +bA） v n注: aE+bA=0u «aE+bA）x = 0有非零解向量组等价 矩阵等价（二）矩阵合同（L）具有 > 反身性、对称性、传递

2、性任意一个n维向量都可以用ai1ai2IIIai n行列式的定义Dn =a21IVa22*IIIa2nflan1an 2IIIa nn trE=n ;V行列式的计算:“关于 e,e2,en: 称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量p教材152 ； g,en线性无关; 恰忌,en =1;，,en线性表示.=送（_1严側1幻忌216 jl jl jn 行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零Mi若A与B都是方阵（不必同阶）A OAOO BAO(T)mn上三角、下三角、主

3、对角行列式等于主对角线上元素的乘积*关于副对角线：an1ai na2n Jai na2n J范德蒙德行列式:11III1XiX2IIIXn2X12X2III2Xn=n( XiXjF*Fn金畠j >n -4nJIIIn _4XiX2Xnan1a矩阵的定义由m n个数排成的m行n列的表A= a2T*flam1伴随矩阵A12A2n川Ann /n(n T)=(-1)卞&山2訂|1 ani耳2川4n 'a22川a2n称为m“矩阵.记作:*am2 川 amnV逆矩阵的求法A21HIA22川Aj为A中各个元素的代数余子式注：/ab、斗1Id-b、2dad beJca'(Eg-1

4、)fiaia2=i0；a3)ia3丿（A；E）初等行变换aia2a3V方阵的幂的性质：AmA Am nm、nmn(A )二(A)m：；n , Bn：s ,A的列向量为1, >2,，n,a2'bi则 AB =Cm爲二(,。2, "Nn ) b：1+ lbnibi2b22HIRsIIIb：sHI bns 丿hq,C2,|l|,Cs = Ar =c,(i=i,2,Hl,s)= 为 Ax = c 的解二A 12,，电二Al A：2,二G,C2,IH,Cs = Ci,C2ll,Cs可由i,2,-n线性表示同理：C的行向量能由B的行向量 线性表示，at为系数矩阵.V用对角矩阵上左乘

5、一个矩阵,相当于用上的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵上右乘一个矩阵，相当于用上的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘V分块矩阵的转置矩阵:ABT"atct、QD<btDTj分块矩阵的逆矩阵:A亠B>A"A1 1CBOB丿广A'<B丿分块对角阵相乘:(B11分块对角阵的伴随矩阵:V矩阵方程的解法（A =0）:A O<C BAB =A'*/ * BA< B*< AB丿A22丿B22 J设法化成（I） AX二B（I）的解法：构造（A0）初等行变换-B-*CAJ

6、 B ?aiibiiA22 B22 丿或(II) XA 二 B>(E：X)（II）的解法：将等式两边转置化为atxt二Bt,用（I）的方法求出XT，再转置得XV Ax =0与Bx=0同解（A, B列向量个数相同）,则: 它们的极大无关组相对应，从而秩相等; 它们对应的部分组有一样的线性相关性; 它们有相同的内在线性关系V矩阵 仏与Bl述的行向量组等价二齐次方程组Ax = o与Bx = O同解二PA=B (左乘可逆矩阵P ) ； p教材仙矩阵Amn与Bi n的列向量组等价=PQ = B (右乘可逆矩阵Q ).V判断1, 2,川，s是Ax = O的基础解系的条件： 1, 2,川，s线性无关；

7、 1, 2H,s都是Ax = O的解；s=n -r(A)二每个解向量中自由未知量的个数V 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关. 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关. 两个向量线性相关=对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材 向量组：12；亠中任一向量:i(1 Wi w n)都是此向量组的线性组合. 向量组：-i/2,-,：n线性相关=向量组中至少有一个向量可由其余"I个向量线性表示.向量组1,2,：线性无

8、关二向量组中每一个向量都不能由其余n 1个向量线性表示. m维列向量组 九2,儿线性相关=r(A) ：n ；m维列向量组冷厂2宀线性无关=r(A)二n. r(A) =0二 A=O. 若：'l/'2, -/n线性无关，而M, >2,n线性相关,则可由12,n线性表示,且表示法唯一.?矩阵的行向量组的秩二列向量组的秩二矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线 后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵?矩阵的

9、行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等行变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵左乘 A ；对A施行一次初等列变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵右乘 A.矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵 A的秩为r.记作r（A） = r向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩记作rGl/-2l n）矩阵等价 A经过有限次初等变换化为 B.记作：A年B向量组等价：i/-2,-；：n和订可

10、以相互线性表示记作：冷2,：¥ L Pn?矩阵A与B等价二PAQ二B， P,Q可逆二r（A） =r（B） = A,B作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价矩阵A与B作为向量组等价：二（'，-，二口',）"',：",）矩阵A与B等价.?向量组+2s可由向量组2,n线性表示二AX=B有解-r（i,2,n）二 r（2,:人-1, J，）=（1,匕，-s） W r（i2,n）.?向量组l2s可由向量组：1,y；n线性表示,且s n，则S2, Js线性相关.向量组：1,：2,-； ：s线性无关，且可由：1/-2/n线性表示，则S W n.?向量

11、组-1, -2, ； 's可由向量组12,亠线性表示,且（1,；宀）二1/2,亠），则两向量组等价；p教材94, 例 10?任一向量组和它的极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价?向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定?若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.?若A是m n矩阵,则r(A)乞mi nm,n：,若r(A)二m，A的行向量线性无关；若r(A)=n， A的列向量线性无关,即：仆,：“线性无关.V矩阵的秩的性质:0 W r(Am n) W min(m, n)r(A) =r(A ) =r(A A)p教材仙，例伯 r(A_B) W r(A)

12、r(B) r(kA) =r(A) 若k=0max；r(A),r(B)f W r(A,B) W r(A) r(B)p教材7。AOr<OA)OJWATB)"A c)rlo Bpr(A)+r r(AB) W minr(A),r(B)? 若AmnBns，且r(AB) = 0- r(A) r(B) W n 若A可逆=r(AB)二r(B)若B可逆二 r(AB) =r(A)若r(Amn)= n= =Ax"只有零解且A在矩阵乘法中有左消去律AB Y：= B = 0 ；U(AB)=r(B)AB = ACn B = C若r(Bn s)二n= r(AB) =r(B)且B在矩阵乘法中有右消去

13、律.V初等矩阵的性质：E(i,j)|=-1|Ei(k)卜 k|Ei,j(k)| = 1E(i, j)E(i, j)印你二印代)Ei, j(k)r = Ej,i(k)E(i, j)=E(i,j)Ei(k)Ei(|)Ei, j(k)= Ei, j(-k)E(i, j)-E(i, j)Ei(k)=kEi(+)Ei, j(k)= Ei,j(k)/= Ax = B有无穷多解cnf =表示法不唯一、 一,= ssNs线性相关二Ax = O有非零解一当为方阵J | A = 0B可由耳,。2，八，叫线性表示吕Ax = B有解u r(A)=r(A：P)<_、二Ax = B有唯一组解=ni u表示法唯一二

14、呦a2Us线性无关二Ax = O只有零解一当A为方阵J AOn克莱姆法则r(A) = r(A)一：不可由宀，2,山，打线性表示二Ax二一：无解二r(A) : r(A -)=r(A) 1 =r(A -)注:-有无穷多解-有唯一解其导出组有非零解()其导出组只有零解线性方程组的矩阵式Ax = 1向量式xr < X22Xn 八fanai21IIa加f、Xi'bi、A =a21a221fli!*IIa2nIR,X =X2*p =Jb2I1lam1am211 1amn 丿N丿bm丿:j=1,2,ll|, nC 1，： 2,川，:n)X2矩阵转置的性质：(A ) = A(ABf = BTAT

15、(kA)T =kATatTA(A土 B)T = AT ±BT（a）t =（at）-1（at）J（at矩阵可逆的性质：(AJ)J = A(AB)=BA-*(kA)=k*A，|=IA"（A士 B宀 A 士 B，(A*)* = (Ak) = A伴随矩阵的性质：(Ay = |AA(ABf = B"a*(kAfkA*A(A±B)*A*±B*(A)(A)F(Akr=(A)kr( A)= ”"n若 r( A) = n1 若 r(A) =n-1 0 若 r(A)v n-1AB = A B|kA = kn AAk=IAkA土 B*|A±|Ba

16、A= Aa= A E（无条件恒成立）,2是Ax =0的解， 2也是它的解齐次方程组 是Ax =0的解,对任意 k,k也是它的解,2,卄i，k是Ax = 0的解,对任意k个常数线性方程组解的性质:1, '2, -k,'1 1 * '2 2 'k k也是它的解(4) 是Ax = 2的解，是其导出组 Ax = 0的解， 是Ax二的解(5) ，口2是Ax = B的两个解亠-口2是其导出组Ax=0的解(6) J是Ax = 0的解，则林1也是它的解 二 J-J是其导出组Ax = 0的解(7) "JJiiJk 是 Ax = 0 的解，则屮入2耳2 + k也是Ax =

17、 P的解二 b +几2 +入k = 1I几儿 +入2耳2 + ?Jk是Ax = 0的解二 +心+乩二。V 设 A为 m n矩阵,若 r(A) =m , = r (A) =r( A)= Ax = ?定有解，当m m时，一定不是唯一解-方程个数 :未知数的个数,则该向量组线性相关 向量维数向量个数m是r(A)和r(A -)的上限.标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.与 B正交(a,P)=0.可是单位向量|叫|=丿(吓)=1.V内积的性质： 正定性：(二)一0,且(，)二0=对称性：()=()双线性：(；1)十)(,2)C 1 ： 2, J =C 1)G 2, )(c ,：

18、)二 c(:, ) =(. ,c -)|A的特征矩阵 E - A.|A的特征多项式 ，E -A二f(').V f( )是矩阵A的特征多项式=f(A)=O|A的特征方程九E-A=O.Ax = x t Ax与x线性相关nV AIH'n7 rtrA , trA 称为矩阵 A 的迹.1V上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.V若A=0,则& =0为A的特征值，且Ax = 0的基础解系即为属于扎=0的线性无关的特征向量.V r(A)=1= A 一定可分解为 A = ?(bnb2,川，bj> A2 =(ab + a?b2+川 + anbn)A,从而 A

19、的特征值为：*'i 二 tr A 二aiba?b2 川 anbn,'2 二3 二川='n =0p 指南 358 "若A的全部特征值 2,111,f(A)是多项式，则: f(A)的全部特征值为 f(h), f(丸 2),川，f(丸 n) ； | f (A)|= fgf2)|Hfn) 若A满足f(A)=0,则A的任何一个特征值必满足f(i)=0.V 设 f(x)二amXm ay 111® ao，对 n 阶矩阵 A 规定：f (A) fAm amAm|a“A aE 为 A 的一个多项式kAaA bE'1 '2"3V力是A的特征值，

20、则冷 A分别有特征值A*A2kAaA+bE ix是 A关于？的特征向量，则x也是讯AA2关于k'a' b-的特征向量1 -2l3IA吋Am 2mV A2,Am的特征向量不一定是 A的特征向量.V A与At有相同的特征值，但特征向量不一定相同A与B相似B = PaAP（ P为可逆矩阵）记为：aL bIa与B正交相似 b = paap（ P为正交矩阵）La可以相似对角化a与对角阵上相似.记为：aL二（称上是a的相似标准形）V A可相似对角化二n r（'iEA）=ki K为的重数二A恰有n个线性无关的特征向量.这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，PAP为对角阵，主对角线上的元素

21、为 A的特征值.设i为对应于i的线性无关的特征向量，则有：AC 1，： 2,山：n） =（A： 1, A： 2,川,A： n） =（'1： 1, 2： 2，川，'n ： n） = C 1, ： 2,山，n）'Yp注：当 =0为A的特征值时，A可相似对角化二-的重数二n-r（A）二Ax = 0基础解系的个数V若A可相似对角化，则其非零特征值的个数（重数重复计算）=r（A）.V若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A可相似对角化.叽'甲（扎）V 若 aL A 二 AJpAkp"，申（A） = P申（A）p/=P（ 2）P一V相似矩阵的性质： trA=：trB

22、A=B 从而代B同时可逆或不可逆 r(A)=r(B) AtLBt ； A°L|B(若 A,B 均可逆)；A*LI B* AkLlBk( k 为整数)；f(A)Llf(B)，I f(A)=|f(B) MJ B,c _ D =BI D丿卩-E-A=JE-B ,从而代B有相同的特征值，但特征向量不一定相同注:x是A关于0的特征向量，Px是B关于0的特征向量.V数量矩阵只与自己相似.V对称矩阵的性质： 特征值全是实数，特征向量是实向量; 不同特征值对应的特征向量必定正交;注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关; 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形;

23、与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值,该特征值-的重数=n rCjE-A） 正交矩阵 aA =EV A为正交矩阵二A的n个行（列）向量构成Ln的一组标准正交基.V正交矩阵的性质：AA4 ; aA 二 A A 二 E ; 正交阵的行列式等于1或-1 ； A是正交阵，则A , A4也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A的行（列）向量都是单位正交向量组 .n n二次型 f （Xi,X2l|, Xn） =xT Ax 八 ' ajXiXjaj =aji，即 A为对称矩阵，x =（为也11|,Xn）Ti m j壬La与Lb合同 b=ctac.记作：aL b（代b为对称阵，。为可逆阵） 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 p ；负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差2pr. ( r为二次型的秩)V两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数V两个矩阵合同的充分条件是：albV两个矩阵合同的必要条件是：r(A)=r