f分布t分布与卡方分布

1、 1.4常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2、Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，Z= x2的分布称为自由度等于n的n2Xn布密度 p(z)=1n222分布，记作Z2 (n)z12ei,它的分0,其他,式中的 -2nu2称为Gamma数，且1 =1,2= no2分布是非对称分布具有可加性即当丫与Z相互独立，且丫2(n), Z2(m)，则丫+Z2(n+m)。 证明：先令X1、X2、Xn、Xn +1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变量 的

2、相互独立性，令丫=x2+x2+x2, z=x2“+x2+X2 ,12n，n 1 n 2n m，Y+Z= Xm2 nX+22 nX+di2 nX + 2 nX+22即可得到丫+Z2(n+m)2. t分布若X与丫相互独立，且XN(0,1) , 丫2(n)，贝U Z = x 丫的分布称为自由度 / N n等于n的t分布，记作Zt (n)，它的分布密度n 12请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n30 时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得 到。3. F分布若X与丫相互独立，且X2(n), Y2(m), 则Z= X

3、 丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n ： mnz2m的F分布，记作 ZF (n, m),它的分布密度P(z)=22 (m n z) 20,其他请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当 ZF (n, m)时，丄F (m ,n)Z4. t分布与F分布的关系若 Xt( n)，则 丫=X F(1, n)。证：Xt( n) , X的分布密度P(x)=n.nnY=X 2 的分布函数 FY(y) =PY y=PX 20 时，Fy(y) =P-yX y=；p(x)dx=2 0y p(x)dx,Y=X 2的分布密度PyW)=n21y2与第一自由度等于 1、第二自由度等于 n

4、的 F 分布的分布密 度相同，因此Y=X2F（1, n）。为应用方便起见， 以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位 数表。有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1 ）分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关， 根据应用的 需要，有三种不同的称呼，即a分位数、上侧a分位数与双 侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F（X），实数a满足0 a 1时，a分位数是使 PX入=1 - F（入）=a的数入，双侧a分位数是使 PX 入 2=1 - F（入 2）=0.5 a 的数入 2。因为1- F（入）=a, F（入）=1-

5、a,所以上侧a分位数入就是 1- a分位数X 1- a ；F（入1）=0.5 a, 1- F（入2）=0.5 a,所以双侧a分位数入1就 是0.5 a分位数X o.5 a ,双侧a分位数入2就是1-0.5 a分位 数 X 1- 0.5a。2）标准正态分布的a分位数记作U a , 0.5 a分位数记作U0.5 a，1-05a分位数记作U 1_o.5a。PXU 0.5 a = F 0,1 (U 0.5 a )=0.5 a,PXU 1- 0.5 a = F 0,1 (U 1- 0.5a )=1- 0.5 a。 根据标准正态分布密度曲线的对称性，当 a =0.5 时，Ua =0 ；当 a 0.5 时，

6、U a 0。u a =- u 1- a。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数， 则先查出u仁a ,然后得到Ua =- u仁a。论述如下：当 X N(0,1)时，PXV U a = F 0,1 (U a )= a,PX U 1- a =1- F 0,1 (U 1- a )= a,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，Ua =- U 1- a o例如，U 0.10=-U 0.90=- 1.282,U 0.05=-U 0.95 = -1.645,U 0.01 = -U 0.99 = -2.326,U 0.025 =-U 0.975=-1.960,u 0.005=- u 0.995=- 2.

7、576。又因为P|X|V U 1- 0.5a =1 - a,所以标准正态分布的双侧 a分位数分别是U 1- 0.5 a和-U 1- 0.5 a。标准正态分布常用的上侧a分位数有：a =0.10，U 0.90=1.282 ；a =0.05 , u 0.95=1.645 ;a =0.01 , u 0.99=2.326;a =0.025 , u 0.975=1.960 ;a =0.005 , u 0.995=2.576。3)卡平方分布的a分位数记作 2 a (n)。2 a (n)0，当 X 2(n)时，PX 2 a (n)= a0分布密度x 0 分位数 尊例如，20.005 =0.21 ,20.02

8、5(4)=0.48 ,20.05 (4)=0.71 ,20.95(4)=9.49 ,2 0.975 (4)=11.1 ,20.995 ( t分布的a分位数记作ta (n)=14.9。当Xt (n)时，PX30时，在比较简略的表中查不到ta (n),可用U a作为ta (n)的近似值。5) F分布的a分位数记作 Fa (n , m)。Fa (n , m)0,当 X F (n , m)时，PXF a (n , m)= a。Fi-另外，当a较小时，在表中查不出F a (n, m),须先查a (m, n)，再求 F a (n, m)=Fi1o(m , n )论述如下:当 X F(m, n)时，PX-=

9、1- a, P-= a,X F 1(m, n)X F 1(m, n)又根据F分布的定义， 丄F(n, m), P-F a (n, m) = a,XX1 因此 F a (n, m)=-F1 (m , n )例如，F o.95 (3,4)=6.59 , F 0.975 (3,4)=998 ,F 0.99 (3,4)=16.7 , F 0.95 (4,3)=9.12 ,F 0.975(4,3)=15.1 , F 0.99(4,3)=28.7 ,F 0.01 (3,4)=128.71F 0.025 (3,4)=肓,F 0.05 (3,4)=19.12【课内练习】1. 求分位数 2 0.05(8)， 2

10、 0.95(12)2. 求分位数 t 0.05(8)， t 0.95(12)。3. 求分位数 Fo.O5(7,5)， Fo.95(1O,12)。4由u 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5. 由t 0.95=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。6. 若X 2 (4), PX0.711=0.05 , PX9.49=0.95，试写 出有关的分位数。7. 若X F(5,3) , PX9.01=0.95 , 丫 F(3,5) , 丫1.44。i习题答案：1.2.73, 21.0。2.-1.860, 1.782。3. 丄，3.37。4. 1.960 为上侧 0.025 分位数，-1.960 与 1.960为双侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位