《圆锥曲线》单元测试题

1、圆锥曲线单元测试题班级 姓名 学号 分数健择题 60 ）、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）则该双曲线的离心率为（）x2 y21、若双曲线一一一=1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长, a2 b2A. JB. 5C.业D. 22、圆锥曲线 '+= 1的离心率 e = _,则a的值为（）9 a+82A. 4B.-C.4或一一D.以上均不正确443、以椭圆的右焦点 F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N,椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率 3为（）4、已知双曲线 JJ = 1与椭圆J+y；

2、=1的离心率互为倒数，其中 a1>0, a2>b>0,那么 a2 b2a2 b2a1、a2、b为边长的三角形是（）A .锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形x2 y215、设椭圆 十= 1（m>0, n>0）的右焦点与抛物线 y2=8x的焦点相同，离心率为 一，则此 m2 n22圆的方程为（）x2y212 16x2y2B. 一十= 116 12x2 y2C.48 + 64- 1d."i64 48x2 y26、已知椭圆E: +=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆 E截得的弦长与l： y=kx +被椭圆E截得的弦长不可能相等的是 （A. k

3、x+y+k = 0 B . kx-y- 1 = 0C. kx + y- k= 0 D . kx + y 2 = 07、过双曲线M:° y2x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线 b2分别相交于点B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M的离心率是（）二5A.2B35+，-c y2- 一8、设直线l: 2x+y+2 = 0关于原点对称的直线为l ,若 与椭圆x2+=1的交点为A、4B,点P为椭圆上的动点，则使 PAB的面积为1的点P的个数为（2A. 1B. 2C. 3D. 4x2 y29、设F1、F2分别是椭圆 短+ b2= 1（a>b>0）的左

4、、右焦点，与直线y= b相切的。F2交椭圆点E,且E是直线EFi与。F2的切点，则椭圆的离心率为 （x2 y210、如图所示，从双曲线- -a2 b2圆x2+y2 = a2的切线，切点为P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO| |MT|与b a的大小关系为（）A. |MO|-|MT|>b-aB. |MO|-|MT| = b-aC. |MO| |MT|<baD.不确定11、已知曲线 C： y=2x2,点A(0, 2)及点B(3, a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A. (4, +oo)B. (8,4C. (10, +oo)D.(巴 10

5、x212、点P在曲线C： +y2=1上，若存在过 P的直线交曲线 C于A点，交直线l: x = 4 4B点，满足|PA| = |PB|或|PA|=|AB|,则称点P为H点；那么下列结论正确的是()A.曲线C上的所有点都是“H点”B.曲线C上仅有有限个点是“ H点”C .曲线C上的所有点都不是“ H点”D.曲线C上有无穷多个点是“ H点”题号123456789101112答案第R卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上.)13 .已知点 A(1,0), B(2,0).若动点 M满足AB bM+<21AM|=0,则点 M的轨迹方程为X

6、214 .过点M( 2,0)的直线m与椭圆一+y2=1交于pP2两点，线段P1P2的中点为P,设 2直线m的斜率为k1(k1却)，直线OP的斜率为k2,则kk2的值为.15 .设双曲线x2- - =1的左右焦点分别为Fi、F2, P是直线x=4上的动点，若/ F1PF23=则e的最大值为.16 .直线l: xy=0与椭圆:+ y2=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则 ABC面积的最大值为.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17、已知 A(2,0)、B(2,0),点 C、点 D 满足 |AC|=2, 1 , 二AD="(AB+AC)

7、.(1)求点D的轨迹E的方程；(2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆 G于M、N两点，4线段MN的中点到y轴的距离为5,且直线l与轨迹E相切，求椭圆 G的方程.x2 y2一 218、设椭圆C：1(a>b>0)的离心率为过原点O斜率为1的直线与椭圆 C相a2 b22交于M, N两点，椭圆右焦点 F到直线l的距离为 业.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于 M, N外的一点，当直线 PM, PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1,直线PN的斜率为k2,试探究k1 k2是否为定值？若是， 求出定值；若不是，说明理由.19、过点M(1,1)作直线与抛物线 x2=2y交

8、于A、B两点，该抛物线在 A、B两点处的两条线交于点P.(1)求点P的轨迹方程；(2)求小BP的面积的最小值.20、已知菱形 ABCD的顶点A, C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线 AC的方程；(2)当ZABC = 60°时，求菱形ABCD面积的最大值.B.求椭圆C的方程；1（2）是否存在直线I,使得OAOB=2（OM2,若存在，求此时直线 I的方程；若不存在, 请说明理由.22、已知椭圆的两个焦点Fi（43，0），F2（4，0），过Fl且与坐标轴不平行的直线11与椭圆相交于M, N两点，如果MNF2的周长等于8.（1）

9、求椭圆的方程；（2）若过点（1,0）的直线1与椭圆交于不同两点 P、Q,试问在x轴上是否存在定点 E（m,0）, 使PE QE恒为定值？若存在，求出 E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.圆锥曲线单元测试题答案x2113、+ y2=114、15、3016、选择题:题号123456789101112答案ACABBDDBABDD填空题:解答题:17、解析设 C、D 点坐标分别为C(xo,yo),D(x,y),则 aC=(X0+2,y/AB=(4,0),则/AB + R = (Xo + 6,yo),故aD = ；(AB + aC尸xoyo+3,-x xo+3 = x+ 2,2又AD = (x+ 2,

10、 y),故yo一=y.2xo = 2x 2,解得yo = 2y.代入AC| =4(xo + 2 2 + yo = 2得x2+y2=1,即为所求点 D的轨迹E的方程.(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2)x2y2又设椭圆方程为 一+=1(a2>4)a2 a2-4ic c 一" I2klic L因为直线l与圆x2 + y2=1相切，故/= 1,解得k2=一.将代入整理得(a2k2 +q k2 + 13a2 4)x2+ 4a2k2x+ 4a2k2 a4+ 4a2= o,18、19、13而 k2=g,即(a23)x2 +a2xa4+4a2= 0,a2设 M(x1

11、，y1)，N(x2, y2),则 x + x2=一三a2 - 3a24x2 y2由题意有n =21,求得a2=8.经检验，此时A >0.故所求的椭圆方程为- + 7=1.解析设椭圆的焦距为2c(c>0),焦点F(c,0),直线l： x-y = 0,1c|F至ij l的距离为丁 =勺2,解得c=2,又一¥ 北,.一x2 y2，椭圆C的方程为一十 = 1.841r x2y2 一十 = 1(2)由 < 84ly = x,不妨设M解得 x=y = 26,或 x=y=-26, 33P(x, y),26y y+38 y2-； 'kPM kPN =7= p2 ：62 ,：

12、6x- x+33x2 y2由一十一=1,即 x2=8-2y2,848, x2-31代入化简得 k1 k2= kPM kPN = 2为定值.解析(1)设直线AB方程为y=k(x1)+1,代入 x2=2y 中得，x2-2kx+2k-2 = 0其中 A = (2k)2 4(2k2) = 4(k 1)2 + 1>0记 A xi,B X2,x2'2 )Xi+X2 = 2k, XiX2=2k 2.x1 + k2A/1 + k2必BC的面积S= 'aB| d= (k2-2k+ 2)-= (k- 1)2+1T. 22当k=1时，S有最小值1.对y=£求导得，y'我X2则

13、切线PA的方程为y = Xi（X-Xi）+y,X2 即 y = XiX-pDx2同理，切线PB的方程为y=X2X "2Xi + X2 X1X2”由、两式得点 P的坐标为 ，一，< 22 Jx= k于是得P(k, k- 1),设P(x, y),则 y=k-i消去参数k,得点P的轨迹方程为x-y- 1 = 0.(2)由知|AB| = 1l + k2|xiX2|=Y(1 + k2 (xi+ X2 2 4X1X2= 2(1 + k2 1j(k2-2k+2 .点P到直线AB的距离|k(k1 ) 1 (k1 | k2 2k+ 220、解析(1)由题意得直线BD的方程为y = x+1.因为四

14、边形 ABCD为菱形，所以 ACJBD.于是可设直线 AC的方程为y=-x+n.x2 + 3y2 = 4,由 £得 4x2- 6nx + 3n2- 4 = 0.y= - x+ n因为A, C在椭圆上，所以A = 12n2 + 64>0,设A, C两点坐标分别为(xi, yi), (x2, y2),则3n3n24xi+x2 = 一, x1x2=,24yi = xi + n, y2 = x2+n.n13n n所以yi + y2 = ",所以AC的中点坐标为 一，一.2I4 4,Ji13n nn 3n由四边形ABCD为菱形可知，点4雇直线y=x+ i上，所以:= +1，解得

15、n = 2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即 x + y+ 2 = 0.(2)因为四边形 ABCD为菱形，且/ABC = 60 ° ,所以 |AB|=|BC|=|CA|.3所以菱形ABCD的面积S=|AC|2.3n2+ i6由可得1AC12=(xi-x2)2 + (yi-y2)2="3所以 S = *(3n2+i6)所以当n = 0时，菱形ABCD的面积取得最大值c - 62a2i21、解析解得:(i) .e = _=, c2=a2i, .,一 =,a 33 a2x2a2=3,所以所求椭圆 C的方程为一+y2=i.3(2)假设存在直线l,使得oA oB=；oM2易得当直

16、线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b,由直线l与圆O相切可得，b2=k2+1x2把直线y=kx + b代入椭圆C： +y2=i中，整理得:(1 + 3k2)x2 + 6kbx+ 3 b2 3 = 06kb3b2-3贝U xi+x2=, xi x2=,i+3k2i + 3k2OA 0B =xi X2 + yi y2 = xi X2 + (kxi + b)(kx2+ b)= (1 + k2)xi X2+ kb(xi + X2)+ b23b236k2b24b2-3k2-3 i=(i + k2)+ b2=-d)i + 3k2 i+3k2i + 3k22由两式得k2=i, b2 = 2,故存在直线l,其方程为y=±x±J2.22、解析(i)由题意知 c=3，4a = 8, .a=2, b=i,x2，椭圆的方程为一+y2=i.4(2)当直线l的斜率存在时，设其斜率为 k,则l的方程为y= k(x- i),fx2 +y2= i! 4消去 y得(4k2+i)x2 8k2x + 4k2 4= 0,、y= k(x i )设 P(xi, yi), Q(x2, v2则由韦达定理得X1 + X2 =8 k2X1X2 =4 k2 4则P*E=(m xi, yi), (QE= (m-X2, y2),PE QE = (m Xi)(m X2)+ yiy2=m