圆的垂径定理应用

1、学无止境最全文档整理圆的垂径定理应用精选一、 双基导学：1、 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。垂径定理推论 的规律： 对于一个圆和一条直线来说， 如果具备下列五个条件中的任何两 个，那么也具有其它三个：垂直于弦，过圆心，平分弦，平分弦所对的优弧，C平分弦所对的劣弧。(当以、为题设时，“弦”不能是直径。2、运用垂径定理的注意事项：(1)牢记基本图形及变式图形(如右图)(2)半径r、弦长a、弦心距d和弓形高 h 四者的关系是：d+h=r; r2=d2+(a)22当不能用勾股定理直接计算时，要用勾股定理列方程求解。(3)当弦是特殊的直径时，有的推论不成立。(4)常用辅助线：连接与

2、弦的端点、过圆心作弦的垂线。二、 垂经定理的应用1、禾U用平分弦，解有关线段问题(1)证明线段间的关系(相等、和、差、倍、分等)例：如图，于 N、M,AB 为OO 的直径， CD 为弦， 过 C、 D 分别作 CN 丄 CD、 DM?丄 CD, 请问图中的?分别交 AB(2)求半径AN 与 BM 是否相等， 说明理由.例.高速公路的隧道和桥梁最多.图3 是一个隧道的横截面，若它的形状是以0为圆心的圆的一部分，路面AB=10 米，净高CD=7 米，求圆的半径OA析解：由垂径定理可知AOD是直角三角形，解决本题关键是根据勾股定理列出方程1径OA=x米，贝U 0D=CD0O7-x(米).因为ODL

3、AB所以ADAB=52.设半（米）.在 RtAOD中，因为AD2OD2=OA2，所以52(7 -x)2= x2，解这个方程得:37x =7(3)求弦长例.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm 测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm 如图 4 所示，则这个小孔的直径ABmmDC图CB学无止境最全文档整理学无止境最全文档整理例.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5 所示，已知AB=i6m 半径QA=i0m 高度析解：由垂径定理可得 A=AB二丄16 = 8.在 Rt AQC中，2 2QD(QA2 AD2= J102_82=6,所以CD=00D=o 6=4(m).3、利

4、用弦所对的弧等，进行角的计算与证明析解：要求小孔的直径AB,关键是根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来解决.如图 5,设圆心为Q连接0A过点0作OCL AB交劣弧于D, C为垂足， 则AC=CB 0A=0Dx15mmQC=8 5=3mm 在 RtAQC中,A(=JQMQC?=4，所以AB=2AC=2X4=8(mm).(4 )、求弦心距例.如图 6,OQ 的半径为 5,弦AB =8,QC _ AB于C,则QC的长等于析解：连接QA因为QC _ AB于C，所以由垂径定理可得AO1AB =18=4.在 Rt AQC2 2中，由勾股定理可得 0(=0A2- AC2二.52-42=3.2、利用垂径

5、定理，构造直角三角形，利用勾股定理解题例：有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB 宽 24m,部分的截面为长方形的船要经过这里，长方形的长为 桥吗？拱顶高出水面 8m.。现有一艘高出水面8m、高为 7m。此船能顺利通过这座B图 8例：.如图 10 ,在OQ中，AB为OQ的直径，弦CDLAB/AQC60O ,则/B=c学无止境最全文档整理例： 如图，O0 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G,/ EOD = 40 求/ DCF 的度数。析解：因为CDL AB, AB为直径，所以由垂径定理可知AD =AC,利用“在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”定理可得：学无止境最全文档整理5 11/B=. AOC=60 =30.224、探究线段的最小值例 6.如图 7,0O的半径 O/=10cm 弦AB=16cm,P为AB上一动点，则点P到圆心O的析解：因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以需作出弦11AB的弦心距.过点O作OdA