专题八与二次函数有关的动点问题(含答案)

1、2012年中考第二轮专题复习八：与二次函数有关的动点问题1. （2011甘肃省兰州市）如图所示，在平面直角坐标系X0Y中，正方形OABC勺边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线 y = ax2+bx + c经过点A、B和D(4,2一）3（1）求抛物线的表达式（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点 Q由点B出发,沿BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动,设 S= PQ2（cm2）.试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出 t的取值范围；当S取5时，在抛物线上是否存在点 R,使得以点P、B、Q、R为顶

2、点4的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点 M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待 定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。专题：计算题。分析：（1）设抛物线的解析式是 y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可；（2）由勾 股定理即可求出，假设存在点 R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出 P、 Q的坐标，再分为三种情况： A、B、C即可根据平行四边形的性质求出 R的坐标.（3） A 关于抛物线的对称轴的对

3、称点为 B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求 M ,求 出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴 x=1代入即可求出 M的坐标.解答：（1）解：设抛物线的解析式是 y=ax2+bx+c,当 x=0 时，y= - 2,.点A的坐标是（0, - 2）,;正方形的边长2,2B 的坐标（2, 2）,把 A （0, - 2）, B （2, - 2） , D （4, 一 * ）代入得：4a + 2b + c = .2c = -224a + 2b + c = .2 16q + 4b + c = -且、，1 1解得 a=6 , b= - * , c= - 21 21 y =不平2.抛物线的解析式为：，1

4、 2i=7% .彳尤2答：抛物线的解析式为:0 3(2)解：由图象知：PB=2 2t, BQ=t,S=PQ2=PB2+BQ2,=(2-2t) 2+t2,即 S=5t2- 8t+4 (0Wt51答：S与运动时间t之间的函数关系式是 S=5t2-8t+4 , t的取值范围是 0WtWl 解：假设存在点 R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.,. S=5t2- 8t+4 (0Wt0155当 S=4时，5t2-8t+4=4,得 20t2-32t+11=0,1 11解得t=2, t=l （不合题意，舍去），3此时点P的坐标为(1, -2), Q点的坐标为(2, - 2)若R点存在，分情况讨论：A

5、假设R在BQ的右边，这时 QR=PB, RQ / PB,则R的横坐标为323即 R (3, - 2),1 21代入 口 ,左右两边相等，3这时存在R (3, -2)满足题意；B假设 R在BQ的左边，这时 PR=QB , PR/ QB,3则：R的横坐标为1,纵坐标为-23口 r2即(1 ,-),1 21y =不2代入 口3,左右两边不相等，R不在抛物线上；5 、2、【C】假设R在PB的下万，这时PR=QB , PR/ QB,贝U: R (1,-)代入, 左右不相等，3, R的纵坐标为-1 21y干铲2R不在抛物线上.(1分)综上所述，存点一点 R (3, - 2)满足题意.3答：存在，R点的坐标

6、是(3,- (3)解：如图， M B=M A, . A关于抛物线的对称轴的对称点为2)B ,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M ,(2 k + b = .2设直线BD的解析式是y=kx+b ,把B、D的坐标代入得:10解得：k=3, b=- *2 1033y=x- - ,1 21y =片辛2抛物线 口的对称轴是x=1 ,8把x=1代入得:y=-38M的坐标为(1, -3)；8答：M的坐标为(1, - 3) .yOAC勾股定理，平行四边点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式,形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算.此题

7、综合性强，是一道难度较大的题目.2. (2011广东省清远市)如图，抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C (0, 3).(1)求抛物线的对称轴及 k的值;(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小，求此时点 P的坐标;(3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限.当M点运动到何处时， AMB的面积最大？求出 AMB的最大面积及此时点M的坐标;当M点运动到何处时，四边形 AMCB的面积最大？求出四边形 AMCB的最大面积及此时点 M的坐标.【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 x= 1,把 C (0, 3)代入 y=(x+1)2+k得-3=1 + kk= -

8、4(2)连结AC,交对称轴于点P.y=(x+1)24 令 y=0 可得(x+ 1)24 = 0.A ( 3, 0) B (1 , 0)设直线AC的关系式为：y= m x+b把 A (-3, 0), C (0, 3)代入 y=m x+b 得,3m + b= 0b= 3 - m= 1线AC的关系式为y = - x 3当 x= 1 时，y= 1 -3=- 2P (-1, -2)当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形及此时点M的坐标.(3) 设M的坐标为(x, (x+ 1)2 4)1 ,12SAamb = 2 X ABX | ym | = 2X 4 X 4一 (x+ 1)= 8-2(

9、x+1)2当x=- 1时，S最大，最大值为 S= 8M的坐标为（1, -4）过M作x轴的垂线交于点 巳连接OM ,AMCB111、S 四边形 AMCB = Sa AMO + SaCMo+ SaCBO= j AB X | ym|+ j CO X | xm|+ 广 OCX BO一 32 1 一. .1 一.62 (x+ 1) +2x 3X ( x) + 2* 3X 13x2.9 x+ 6=-32x 22(x2+3x-9) =-| (x+ 2)音,3 , 一当x= -3时，S最大,最大值为8183. （2011河北省）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动

10、t秒（t0）,抛物线y=x2+bx+c经过点。和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为 A （1, 0）、B （1, 5）、求c、b （用含t的代数式表示）； 当4vt0, /. b=-t；(2)不变.如图 6,当 x=1 时，y=1 t,故 M (1, 1t), tanZ AMP=1 ,AMP=45 ;1 1令2、2一 S=S 四边形 AMNP SZPAM=S/ DPN+S 梯形 NDAM SAPAM= ( t - 4) (4t - 16) + ( 4t13 152 2 16) + (t1) 3一心(t1) (t1) =t 乙 t+6.3 15211919解，t22 t+6= 8 ,得：t1=2

11、, t2=2,4t0,又点P是抛物线的对称轴l上一动点.(1)求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0 ,使P0到点A与点C的距离之和最小；(2)若 PAC周长的最小值为10+2741 ,求抛物线的解析式及顶点N的坐标；(3)如图2,在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点 C向点O移动(M不 与端点C、O重合)，过点M作MH / CB交x轴于点H ,设M移动的时间为t秒，试 把 BHM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；(4)在(3)，一，一 .75 一一的条件下，当S二一时，过M作x轴的平行线交抛物线于 32E、F两点，问:过E、 F、 C三点的圆与直

12、线 CN能否相切于点C?请证明你的结论.(备用图图3)考点：二次函数综合题。分析：(1)由题意A、B点关于抛物线对称，则 BC所在直线与对称轴的交点即为 P0；(2)由(1)所求可知该题周长最小即为AC+BC的长，从而求出X0,而解得；(3)由在三角形 OBCs三角形cmn,得到高关于t的式子，因为 MH /BC ,得到三角形MHP0三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得 S的最大值.(4)把S的取值代入(3)中表达式中求得t,从而得到点 M的坐标，从而证明各点.解答：解：(1)由题意直线 所以当y=0,则x= - 6,AC与x轴的交点为A,所以点A (-6, 0).同理点C (

13、0, 8),由题意，A、B是抛物线y=ax2+bx+8与x轴的交点, - 6, xo是一兀二次方程 ax2+bx+8=0的两个根，b 81- - 6+x0=- 34a=- 3。 a=,b=-，3A、B点关于抛物线对称， BC所在直线与对称轴的交点即为P0.设直线BC的解析式为y=mx+n ,则n=8, mx0+n=0 , 8BC的解析式为y= - 0x+8 .b .6 + 与 24.当x= - 2以=2时y-0+4.6 + x。24.P0的坐标为（,，U+4）；(2)由(1)可知三角形PAC最小即为 AC+BC=10+ 2；41解得则点由点A, B,C三点的二次函数式为128y=l 5X2 +

14、815Z + 8128=15(X 2)2+15顶点N (2,15)；c1片+ 8，=10 + 2MiX0=10或x0= - 10 (不符舍去)，B (10, 0),(3)如图，作MN，BC与N, 则在三角形 OBCs三角形CMN ,h 2t所以3 I。，3日5f 即h=.因为 MH / BC,8-2t MH所以解得18.2t8,2tMH= 8 B- 412Ml = T (8.2t)7MHh =S=,、3 3 型1 2 3；41(8.2t) x pt +j U因为每秒移动2个单位， 则当t=2时符合范围0t4, 所以当t为2时S最大；(4)把S的取值代入(3)中表达式中求得t,从而得到点M的坐标

15、，_ 7575341 2 3J41s 二羽即豆=而+丁则解得t=2,则由题意知CEF三点所在圆半径为 4, 所以直线CN与CFE所在圆相切.点评：本题考查了二次函数的综合应用，知道三点求二次函数式， 考查一次函数与二次函数的结合求三角形面积，知道面积求点，很好结合，是道好题.25.(2011湖北省仙桃、潜江、天门、汉江油田)在平面直角坐标系中， 抛物线y = ax +bx + 3 与x轴的两个交点分别为 A (-3, 0)、B (1, 0),过顶点C作CHx轴于点H.(1) 直接填写： a =, b=,顶点 C 的坐标为;(2)在y轴上是否存在点 D,使得 ACD是以AC为斜边的直角三角形？若

16、存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点 P与顶点C不重合)，PQLAC于点Q,(备用图)3分5.解：(1) a=1,b =/，顶点 C 的坐标为(-1,4)(2)假设在y轴上存在满足条件的点 D,过点C作CE，y轴于点E.由/CDA=90得，/ 1 + /2=90. 又/ 2+/3=90, / 3=/1. 又. / CED= ZDOA =90, . CEDs、DOA, CE =_D设 D (0,变形得c2 综合上述：c),则广-4c +3=0,EDc二一.3解之得AO在y轴上存在点Dc1 =3,c2 =1 .(0, 3)或(0,CH7分EOB x使

17、 ACD是以AC为斜边的直角三角形.(3)若点P在对称轴右侧(如图)， 延长CP交x轴于 M,，AM=CM, 设 M (m, 0),贝 ( m+3)2=42+(m+1)2, 设直线CM的解析式为y=k1x+b1,只能是PCQsCAH,得/QCP=/CAH. am2=cm2.m=2,即 M (2, 0).LK出=4 缸日彳11,解之得k12k1bl =01V.直线CM的解析式yx 8联立y 33!2y - -x -2x 3若点P在对称轴左侧(如图) 过A作CA的垂线交PC于点F,x1T x = -1jX=3 或4 i20 y = 4y =：(舍去). P(1,竺).9分3 9,9,只能是 PCQ

18、sACH,得/ PCQ = /ACH.作FNx轴于点N.由CFAsCAH 得由 FNAA AHC 得CA 二 CHAF AHFN NA=2,. AN =2,AH HCFN =1，点F坐标为AFCA(-5, 1).10分设直线CF的解析式为y=k2x+b 2,一 % +bo =4322 ，解之得 k2=3,b25k2+b2=14194直线CF的解析式319=x -4411分3一 y = x联立y 42 y = -x至4-2x 37 x = 455 y =16(舍去). P(-2,55).4 1612分(图)(图)(4)连结AN,当BON面积最大时，在坐标平面内求使得力BOP与OAN相似(点B、3

19、分 E(0,3)点(点N在y轴右侧)，连结ON、BN,当点F在线段OB上运动时，求BON面积的最 大值，并求出此时点 N的坐标将 A(2,2), B(6,6)代入得 4a -2b =236a 6b = 61 .解得a = 一，b46. (2011浙江省宁波市)如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2,2),点B的坐标为(6, 6),抛物线经过 A、0、B三点，连结 OA、OB、AB ,线段AB交y轴于点E,(1)求点E的坐标(2)求抛物线的函数解析式(3)点F为线段0B上的一个动点(不与点 0、B重合)，直线EF与抛物线交于 M、N两1，y=x+3 当 x = 0 时，y=3.2(2)设抛物线的函数解析式为y = ax2 + bx ,1 21抛物线的解析式为 y x2 - x42(3)过点N作x轴的垂线NG ,垂足为G ,交OB于点Q,、一 121、 一设 N (x, - x - x),则 Q(x, x)42一 一