函数奇偶性的六类经典题型

1、WORD整理版专业学习参考资料奇偶性类型一：判断奇偶性 例1判断下列函数奇偶性1 1 y =H（1） 八 1 2 （八。且"1）：； 一一，(3) '1 + sin z- cosx = 7：(4) . .二二 I. .L .:（5）_ : 一解：（1）工eK且ihO奇函数12（2）xeR ,关于原点对称/（一琦二磔-齐+、）二国=）=ig（x+/i+P-rl = -/（x>二/。）奇函数（3）,关于原点对称/H） = /tt = -/« = 0 .既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：开7T1 = -了二一2二1 ；2y无意义；.（5）xeR且"0,关于原

2、点对称非奇非偶2r 1/（»为偶函数+1一9=7类型二：根据奇偶性求解析式1 .函数f（x）在R上为奇函数，且 x>0时，f（x）=y/x+ 1,则当x<0时，f（x）=解析：:Kx）为奇函数，x>0时，f（x）=jx+1,，当 x<0 时，一x>0,f(x)=-f(-x)=- (x +1),即 x<0 时，f(x)=(aJ x+ 1) = yj x 1.答案：一尸-12 .求函数 产/的解析式(1)二丁。)为R上奇函数，时，J二不smx + 1, 解：工0时,/(X)= -/(-X)= -1一里> -sm(-) + l= -x2 -sin

3、x-1"Q-(0) ，/(0)=00 一而 x+1x > 0x = 0<0(2) y=/为R上偶函数,心。时，/=9-smx + 1解：工 C 0 时,幽=y(-x)=H)1-sin(-力 +1 = X1+血 r+1x2 -sin x+1 i之 0K + 沏 x + 1 无 <Q类型三：根据奇偶性求参数1 .若函数f(x)= xln (x+4a+x2 )为偶函数，则 a=【解题指南】f(x)= xln (x+ a x2 )为偶函数，即 y = ln(x+Ja + x2)是奇函数,利用 f (x) + f (x) = 0确定 a 的值.【解析】由题知y =ln(x+J

4、a十x2)是奇函数,所以 ln(x + Ja +x2) +ln(-x + Ja +x2) =ln(a +x2 -x2) = Ina = 0 ,解得 a=1.答案：1.2 .函数f(x) = (x土1隼土a4奇函数，则a=.x 解析：由题意知，g(x)= (x+1)(x+a)为偶函数，a= 1.答案：13 .已知f(x) = 3ax2+bx5a+ b是偶函数，且其定义域为 6a 1, a,则a+ b=()1A.7B. 1C. 1D. 7解析：选A因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a1 + a=0,所以a=7.又f(x)为偶函数，所以 3a( x)2 bx5a+ b= 3ax2+ bx 5a+

5、 b,解得 b=0,所以 a+b=；.24 .右函数f(x) = x |x+a|为偶函数，则头数 a=.(特殊值法) 解析：由题意知，函数 f(x) = x2|x+ a内偶函数，则f(l) = f(-l), .1 |1 + a|=1 | 1 + a|> a= 0.答案：0x2 + x,5 .已知函数f(x) = i 2+bxx< 0, x>0为奇函数，则a+ b =.(待定系数法)解析：当x>0时，x<0 ,由题意得f( x)= f(x),所以 x2 x= ax2 bx,从而 a= 1, b= 1, a + b=0.答案：06 .(i)y =/(x)=1+，一1,

6、期为何值时，/uO为奇函数; (2)y =/(力=工+值)&为何值时，/工)为偶函数。“ /)”答案：(1)m 1 汹，1 + (加1)口(川-1)口* + 1=1 +=白” 一 1 1一白由二1+上二£1/-1 炉-1(恒等定理)加二2时，/二/奇函数二-二 S-J 二二二1'二 '. Isin a cos-coso:- tin x = sin a- cosx +cos a sin 2sm0 (恒等定理)1匚二 11 , 汽 &=fcr+-一、-2x b f (x) x 17.已知定义域为R的函数 2+a是奇函数。(h) 解析:(i)求a，b的值；(

7、特殊值法)22若对任意的t u R，不等式f(t -2t) f (2t -k) <0恒成立，求k的取值范围;简解：取特殊值法因为f (x)是奇函数，所以f(0)=0,xb -1,1 -2-=0= b=1. f(x) = -x-r即 a , 2a 21 -2又由 f (1) = - f(-1)知 a +41 -2x f(x)二一XTi(n)由(i)知2 2为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式：1-12= a = 2.a 12x + 1 ,易知f(x)在(-°°,收)上22f (t2 -2t)f(2t2 -k) ： 0等价于 f(t22t)<f(2t2k) =

8、f(k2t2), 因f(x)为减函数，由上式推得：t2 -2t >k -2t21x c 24 12k ： 0= k .即对一切tuR有：3t 2tkA。，从而判别式3类型四：范围问题1.已知f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x>0时，f(x)=x2 + 2x,若f(2 a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A. ( 8, 1)U(2, +8)B. (1,2)C. (-2,1)D.(巴2) U (1 ,)解析：选C 3仅)是奇函数，当x<0时，f(x) = x，2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由 f(2a2)>

9、;f(a),得 2 a2>a,解得一2vav1.2.定义在R上的奇函数y=f(x)在(0, +00)上递增，且 f I- ,!= 0,则满足f(x)>0的x的集合为解析:由奇函数y= f(x)在(0, + 8)上递增，且fy=f(x)在(00, 0)上递增，且f - U0,1 ,、 1 一. f(x)>0 时，x>？或2<x<0.即满足f(x)>0的x的集合为1 f 12<x<0或x>2答案:1- 1cx 2<x<0或x>23.已知函数 g(x)是 R上的奇函数，且当 x<0时，g(x) = ln(1 x),函

10、数 f(x)=x3, x< 0,2，若 f(2x2)>f(x),则实数g(x > x>0, A.(巴 1)U (2, i)C. (1,2)解析：选D 设x>0,则x<0.x<0 时，g(x) = ln(1 x),. g(-x)= - ln(1 +x).x的取值范围是()B.(巴2) U (1 , +8 )D. (-2,1)又飞仅)是奇函数,. g(x) = ln(1 +x)(x>0),x , x< 0,. f(x)= 1其图象如图所示.由图象知，函数f(x)在R上是增函数.Jn(1 + x ) x>0.f(2-x2)>f(x),

11、 -2-x2>x,即一2<x<1.所以实数x的取值范围是(一2,1).4.定义在R上的奇函数f(x),当xC(0, +8时，f(x)=log2x,则不等式f(x)v1的解集 是.10<x<2,或 x< 一2解析：当x<。时，-x> 0, - f(x) = f( x)= log 2( x), lOg2x, x>0, f(x)= <0, x= 0, 1-log 2( 一 x), x<0.f(x)<-t x=0，或0<- 15.已知f(x)x>0, 1二 tlog 2x< - 1x<0,或f-10g 2(

12、 x)< 一 1是奇函数，且当xv 0时,-1-, C0vxv2或 x< 2.f(x) = x2 + 3x+ 2.若当 xC1, 3时，nwf(x)wm 恒成立，则mn的最小值为()a.4C.4解析：选A.设x>0,则xv 0,B. 21» 4所以 f(x)= f(x) = (-x)2+3(-x)+2 = - x2+ 3x-2.3一11 一所以在1 , 3上，当 x=万时，f(x)max=4；当 x= 3 时，f(x)min= - 2.所以 m>4且 nW2. 故 m n>*6.已知f(x)是定义在2,2上的奇函数，且当 xC (0,2时，f(x) =

13、2x1,又已知函数 g(x) = x2 2x+m.如果对于任意的 6 2,2,者B存在x2/ 2,2,使得g(x2)=f(x1)，那么实数m的 取值范围是.解析 由题意知，当xC 2,2时，f(x)的值域为 3,3.因为对任意的xe2,2,者B存在x2C 2,2,使得 g(x2)=f(x1)，所以此时 g(x2)的值域要包含3,3.又因为 g(x)max=g(-2),g(x)min=g(1),所以 g(1)w 3且 g( 2)>3,解得5<m<-2.类型五：奇偶性+周期性1.f(x)是定义在 R 上的奇函数，满足 f(x+ 2) = f(x),当 xC (0,1)时，f(x)

14、=2x2,则 f(log1 6) 2的值等于().A.4 B.7 C.1D.13222解析：f( log 1 6) 2=-f(- log 16)=- f(log 26)=-f(log26 2)=(210g26 2 2) = 1-2；1 ，=2,故选c.2.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意 xCR,都有f(x+8)=f(x)+f(4),且xC0,4时，f(x) = 4-x,则 f(2 011)的值为.解析：f(4) = 0,. f(x+8)=f(x), .T=8,f(2 011) = f(3)=4-3= 1.类型六：求值1.已知函数f(x)是定义在(一2,2)上的奇函数，当xC (0,2)时

15、,f(x) = 2x - 1,则f og23加值为A. - 2 B. -3 C. 2 D.32-1解析：当 xC(2,0)时,xC(0,2),又当 xC(0,2)时,f(x) = 2x 1, . f(x) = 2 x1, 又因为函数f(x)是定义在(一2,2)上的奇函数，f(x) = f(x) =2 x1, xC (2,0)时，1111log 2 1f(x) = 1- -. - 2<log2-<0,f(log2-) = 1- 2=2.故选 A.2x33答案：A2 .已知f(x)为奇函数，g(x) = f(x)+9, g(2)=3,则f(2) =.解析：根据已知 g(-2) = f(

16、-2)+ 9,即 3=f(2) + 9,即 f(2)=6.答案：63 .设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x) = x+ ex(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的 值为.由 f(x)是奇函数得 f(ln 6) = - f(ln 6) = -(-ln 6) e 1n 6= In 6-6.1 答案：ln 6-16M和最小值N,则M+N的值为4 .已知函数f(x) =x -sin x *1 j wr )存在最大值 x 11 25.设函数 f (x) =xln(ex +1) x2+3,xW-t,t(t >0),若函数 f (x)的最大值是 M,最小值 2是 m,则 M +m=.分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对f(x)求导.事实上，理科学生，求导得xf'(x) =ln(ex +1) +若彳-x ,无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因1 C此，须从考祭函数f (x)的性质下手，事实上，令 g(x)=xln(ex +1)- x2 ,易求得2g(_x)=-g(x),所以g(x)是奇函数，所以g(x)的最大值与最小值之和是0,从而f(x)的最