三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474

1、实用文案三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0是4人3©的重心u OA+OB+OC=0；S y”若O是MBC的重心，则 iSdOc ="岫=了13 故 oa + ob + oc = 0；PGPB ' + PC ') u G 为 &ABC 的重心.2. O是 4ABC 的垂心仁 OA OB = OB OC = OC OA ；若。是MBC （非直角三角形）的垂心，则SZPOC : SZAOC :S AOB = tan A : tan B : tan C故 tanAOA tan BOB tanCOC -0，2- 23. O 是 AABC 的外心。10

2、A |=|0B|=|0C| (或OA =OB- 2=OC )若 0是 MBC 的外心则 Sjoc： Szaoc： S&OB=sinBOC:s崔AOC:sinAOB = sin2A:sin2B:sin2c故 sin2AOA sin2BOB sin2COC = 0OA4. O是内心 MBC的充要条件是,AB AC 、()=OB (| AB | ACBA|BA |BC CA CB_J = OC ()=0|BC |CA | CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 ab,bc,ca的单位向量为ei，e2,e3 ,则刚才。是.*ifcABC内心的充要条件可以写成0A (ei +e3) =O

3、B (ei + e2)= OC (e2 +e3)= 0° 是ABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC=0。若O是AABC的内心，则S &OC : S &OC ; S &OB = a - b ' c故 aOA bOB cOC =减 sinAOA sinBOB sinCOC = 0；| AB|PC + |BC|PA+|CA|PB=0u P 是 AABC 的内心;向量M+SC）（八#0）所在直线过 MBC的内心（是/BAC的角平 I AB| |AC|分线所在直线）；（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1 . O是平面上的一定点，A,B,C是平面上

4、不共线的动点POP =OA (lABi +7AC|）,九三b,）则p点的轨迹一定通过 mbc的（AB AC（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为普是向量ABAB、一 r、一、一，一的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为OP OA = AP ,则原式可化为 AP = Me + e2）,由菱形的基本性质知 AP平分/ BAC ,那么在 MBC 中，AP平分/BAC ,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是 ABC所在平面内任一点，hA hB=hB hC=hC hAu点H是AABC的垂心.由 HA HB -HB HC u HB （HC -HA） =0匕

5、 HB AC =0匕 HB _ AC ,同理HC_lAB, hA _lbc.故H是4人3。勺垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是ABCff在平面上一点，若 PA PB = PB PC = PC PA,则P是ABC勺（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由 PA PB = PB PC得 PA PB PB PC = o .即 PB （PAPC） =o，即PB CA = o则PB _LCA,同理PA_L BC,PC _L AB 所以P为AABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是 ABC所在平面内一点，GA+GB+GC=0u点G是4ABC的重心.:

6、三 E证明作图如右，图中GB+GC=GE连结BE和CE则CE=GB BE=GC BGC划平行四边形=D是BC的中点，AD为BC边上的中 线.将 gB +gC =gE 代入 gA +gB +gC =o,得GA+EG=0=GA = -GE=-2GD ,故G是 ABC勺重心.（反之亦然（证略）例5.P是 ABC所在平面内任一点.G是AABC的重心u PG=1（PA+PB+PC）.3证明 PG =PA AG =PB BG =PC CG = 3PG =（AG BG CG） （PA PB PC）. G是ABC的重心 /. Ga+GB +Go=0=> ag+Bg+Cg =0, gp3pg = pa+p

7、B + pc由此可得PG=1（PA+PB+PC）.（反之亦然（证略） 3例 6 若 O 为 AABC 内一点，OA + OB+OC =0，贝U O 是MBC 的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心 T T T 七口 T T T - y、，皿“小十一E、， 解析：由OA+OB+OC =0得OB+OC = -OA ,如图以 OB OC为相邻两边构作平行四边形，则OB+OC=OD ,由平行四边形性质知 OE =1OD , |OA =2OE ,同理可证其它两边上的这个性 质，所以是重心，选D（四）将平面向量与三角形外心结力考查例 7 若 O 为 AABC 内一点，OA=OB=|OC,则 O 是 AAB

8、C 的（）A.内心B .外心C .垂心D .重心解析：由向量模的定义知 O到AABC的三顶点距离相等。故 O是AABC的外心 ，选B。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例 8.已知向量 OP1, OP2, OP3 满足条件 OP1+OP2 +OP3 =0, OP11=| OP21=| OP31=1,求证 PiP2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明 由已知OP1+OP2 =- OP3,两边平方得OP1 OP2 =-2,同理 OP2 OP3 =OP3 OP1 = -1 ,2, | PlP2 | = | P2P3 | = | P3P1 |=禀,从而 PiP2P3 是正

9、三角形.反之,若点o是正三角形 PiP2P3的中心，则显然有OP1+OP2 +OP3 =0且| OP11=| OP21=| OP31.即O是ABCT在平面内一点，OR +OP； +OP3 =0 且| op； |二| OP21=| OP31 o 点 o是正 rp2P3的中心.Q G H三点共设 A（0,0）、B例9.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证： 线，且 QG:GH=1:20【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系 （xi,0）、C（X2,y 2） , D E、F分别为 AB BC AC的中点,则有：D （包,0）、2Xi X2G（

10、_ xi x2 y2X2 y2E（-7CTb F（V，n） 222 2BC =仅2 -xl）, AH _BC?）.AH =（X2，y4）,QF =（ 3X2（X2 -xi）y2, QF - ACAH *BC =x2（x2 -x；） y2y4 =0x2 x； y2QF *AC =X2（/弓 丫2（葭-丫3） =02y 2标准文档实用文案QH 三仅2 -x-1, y4 -丫3)=(22x2 -x123x 2(x 2 - x 1) y 2一 瓦 一万QG二(七=(2x 2 -xix1 y2 V)(万/-y3)=(3x2(x2 -x1)6y22x2 -x1""6左)二1(63y2

11、x2(x2-x1) y232x 2 - x 122y23x 2 (x 2 -x 1) y 22y 21- =QH3即 QH =3QG ,故 QG H三点共线，且QG GH=1：例10.若。、H分别是 ABC的外心和垂心.求证著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心 (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线 (2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一- 离是重心到外心距离的2倍。”外心、“欧拉线”重心、垂心的位置关系:垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距OH =OA OB OC.证明 若 ABC的垂心为H,外心为0,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD CD. AD _LAB , CD _

12、LBC .又垂心为 H, AH ±BC , CH 1 AB , .AH/ CD CH/ AD四边形AHCM平行四边形，AH =Do =Do +oc ,故 OH=OA+AH=OA 而B+OC.求证 OGOH3“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 例11. 设Q G H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.、一 、 、._一 _一_ _、1 d 1证明 按重心止理 G是 ABC的重/L、u OG =- (OA+OB+OC) 3按垂心定理 OH =OA OB OC由止匕可得 OG=1OH3则G是4ABC的重心.如图“重心”的向量风采【命题1】G是4ABC所在平面上白一

13、点，若 GA + GB + GC = 0,(1).图图Op=oa+?.（Ab+AC）,【解析】由 PA PB=PB PC,得PB <PAPC）=0,即7BcA=o,所以7B，C<PC± AbPAX BC . a P是ABC的垂心.如图.BC上ICI二一.P图A B, C是平面上不共线的三个点，动点【命题4已知O是平面上一定点P满足OP =OAAB cosBACACcosC,九w (0, +%,则动点P的轨迹一定通过4ABC的垂心.【解析】由题意AP=，JAB- AB cos BACAC cosCAC cosC=0,所以AP表小垂直于+-ACBCAB cos BAC cos

14、C=BC'-BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心,如图.“内心”的向量风采【命题5】 已知I为ABC所在平面上的一点，且AB=c , AC = b , BC = a .若【命题2 已知O是平面上一定点， A B C是平面上不共线的三个点，动点P满足(o( (0, + g),则P的轨迹一定通过 ABC的重心.【解析】由题意AP=K(AB+AC),当九w(o,十馅)时，由于九湍+战)表示bc边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的重心，如图.的向量风采【命题3】aIA+bIB+cIC =0,则 I 是 ABC 的内心.P

15、是4ABC所在平面上一点，若 PA PB=PB PC=pC PA,则P是4ABC的垂心.【解析】图 ，AlAB+caC=|aCi AB + 向 AC =屈圆.驾V bAB cAC司,AC分别为AB和羡方向上的单位向量,IB = IA AB , IC = IA AC ,则由题意得(a+b+c)lA + bAB+cAC = 0, . 1Al与/ BAC平分线共线，即AI平分/ BAC .同理可证：BI平分NABC , CI平分NACB .从而I是4ABC的内心，如图【命题6已知O是平面上一定点，A B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满足九w (0, +哈,则动点P的轨迹一定通过4ABC的内心

16、.【解析】 当九W(0, +叫时，7P表示/ BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过 ABC的内心，如图四、“外心”的向量风采【命题7】已知O是 ABC所在平面上一点，若OA2 = OB2 = OC2 ,则 O 是 ABC 的外心.【解析】图,2图(7).若 OA =OB2=OC2,则 OA2 =|OB|2=OC , OA = OB = OC ,则 O 是4ABC 的外心，如图【命题7 已知O是平面上的一定点,A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足实用文案【解析】BC的向量AB十AB cosB_QAC |cosC由于OBF过BC的中点,(注意：理由见二、4条解释,九w

17、 (0,十,则动点P的轨迹一定通过 ABC的外心。当儿w (0, +9)时,ABACcos B 1 AC表示垂直于cosC),所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过 ABC的外心，如图。补充练习1.已知A、B、C是平面上不共线的三点,。是三角形ABC的重心，动点P满足标准文档OP=- ( -OA + -OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的 322A.AB边中线的中点C.重心B.D.AB边中线的三等分点(非重心)AB边的中点1. B取AB边的中点 M 则OA + OB=2OM ,由OP30P =3而+2MC, .MP=ZMC,即点P为三角形中3点P不过重心，故选B.11 1=(OA

18、 + OB +2 OC )可行 322AB边上的中线的一个三等分点，且2.在同一个平面上有 AABC及一点O满足关系式:2OA + BC2222=OB + CA = OC +2 一 一AB ，则。为MBC的外心B 内心重心 D 垂心2.已知 ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P 满足：PA+PB + PC=0 ,则 P 为 AABC 的A3.C外心B 内心已知。是平面上C定点,重心 D 垂心A B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足:OP =OA + K(AB+AC),则P的轨迹一定通过 ABC的A 外心B 内心 C 重心 D 垂心4 .已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且动点

19、 P满足:PA.PoPA.PBPB.PCA 外心B 内心 C=0,则P点为三角形的重心 D 垂心5 .已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a PA + b PB + c*PC = 0,则P点为三角形的A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 2, 2 6 .在三角形 ABC中，动点 P满足：CA =CB _2AB,CP,则P点轨迹一定通过 ABC的：（B ）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心一 一 AB AC - AB AC 17 .已知非零向量ABWAC商足（ 十 ）- BC=0且=-,则 ABC为（）|AB| |AC|AB| |AC| 2A.三边均不相等的三角形B.直

20、角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形T -K解析：非零向量与满足（当-+-AC-） =0,即角 A的平分线垂直于BC,. AB=AC,又|AB| |AC|AB AC 1-cosA = -AB .&=不,ZA=-,所以 ABC为等边三角形，选D.|AB| |AC| 238 . MBC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH =m（OA + OB + OC）,则实数m=J9 .点O是AABC所在平面内的一点，满足 OA OB=OB OC = OC OA ,则点O是AABC的（B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）

21、三条高的交点II10 .如图1,已知点G是AABC的重心，过G作直线与AB, AC两边分别交于M N两点，且7M = xAB ,AN =yAC ,贝U1 +1 =3。x yI证 点G是AABC的重心，知 GA GB GC = O,W -AG (AB-AG) (AC-AG) 二Q有 AG= -(AB +AC)0又M, N, G三点共线(A不在直线MN 3上)，于是存在九，N,使得 AG=?uAM + RAN(且九+ N=1),1有 AG = KxAB + NyAC =-(AB +AC), 3,于是得1+工=3。x y1、课前练习.2 2 . 21.1 已知。是 ABC内的一点，若OA =OB =

22、OC，则。是 ABC的A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心1.2 在 abc中，有命题 Ab -Ac =Bc :而+前十班二弓：若（+而初-而）；。，则ABCJ等腰三角形；若AB, AC A 0,则 ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、B 、 C 、 D 、例1、已知 ABC中，有：1AB+7AC BC=0和丝坐 = 1,试判断ABC的形状。I网 kCblABl lACl 2练习1、已知 ABC中，AB = a, BC=b, B是AABC中的最大角，若a*b<0,试判断 ABC 的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题I_.i 2 I2 I_.i 2 ILI 2 I_.i 2. 2例2、已知O是 ABC所在平面内的一点，满足 OA +|bc| =同 +|aC=困+|ab|,则。是 ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P是 ABC所在平面内的一动点，且点一一 一 AB ACP酒足 OP = OA +九曰+=，九 W(0,"),ABl AC则动点P一定过 ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、内心练习2、已知。为平面