立体几何的解题技巧

1、立体几何大题的解题技巧综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点：1 .线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系2 .空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现.3 .多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现4 .有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点.此类题目分值一般在17-22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间

2、的距离的概念【高考考查白重难点*状元总结】空间距离和角“六个距离”：1两点间距离d忒xX2)2(y1y2)2(乙Z2)2PQ*u2点P到线l的距离d（Q是直线l上任意一点，u为过点P的直线l法向量）uPQ*u3两异面直线的距离d（P、Q分别是两直线上任意两点u为两直线公共法向量）uPQ*u4点P到平面的距离d（Q是平面上任意一点，u为平面法向量）5直线与平面的距离【同上】6平行平面间的距离【同上】“三个角度”：1异面直线角10,1cosuva【辨】直线倾斜角范围10v1Iv22线面角0,sin=cosv,n)|罂或者解三角形vn3二面角【0,cosn叫nin2或者找垂直线，解三角形不论是求空间

3、距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例1（福建卷）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.（I）求证：AB1，平面A1BD；（II）求二面角AA1DB的大小；（出）求点C

4、到平面ABD的距离.考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解：解法一：（I）取BC中点O,连结AO.QAABC为正三角形，AO±BC.Q正三棱柱ABCA1B1cl中，平面ABC，平面BCC1B1,AO，平面BCCiBi.连结BO,在正方形BBiCiC中，O,D分别为BC,CC1的中点，BOBD,ABBD.在正方形ABB1Al中，AB1±AiB,ABi±平面ABD.（II）设AB1与AB交于点G,在平面ABD中，作GF，AD于F,连结AF,由（I）得AB平面ABD.AF±

5、AD,/AFG为二面角AA1DB的平面角.在AAAD中，由等面积法可求得AF4，5,5又QAG1ABi金，sin/AFG竺g叵2AF454所以二面角AADB的大小为arcsin*.(m)AABD中，BDAD亚AB2&,Sbd展,SAbcd1-在正三棱柱中，A到平面BCCiB的距离为宓.设点C到平面A1BD的距离为d.由 VAi BCDVC AiBD )信 3 SA BCD g 3-S 3 AiBD 9d/31bcddSAA,BD点C到平面AiBD的距离为2L.解法二：(I)取BC中点O,连结AO.、ABC为正三角形，AO±BC.Q在正三棱柱ABCAB1C1 中，平面 ABC，

6、平面 BCCiB,AD±平面BCCiB-.取B1G中点Oi,以。为原点,uuuOB,UULUOO，ULU,、一，OA的万向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(i,0,0),D(i,i,0),A(0,2,73),A(0,0,m)，B",0),uuur一uuirABi(i,2,V3),BD(uuuruuurQABigBD2200,uuuruuruuuruiurABi±BD,ABi±BA.uHT-2i0)，BA(i,2,J3)uuurunrABgBAi430,ABU平面ABD.(n)设平面AiAD的法向量为n(x,y,z).uuuruuirQ n

7、± AD , n ± AA1 ,uuruurAD(1,1,®AA(0,2,0).uuur.ngAD0,xy3z0,y0，uuir-ngAAi0,2y0,x3z.令z1得n（点,01）为平面AAD的一个法向量.由（I）知AB1，平面ABD,uuurAB1为平面ABD的法向量.uuurAB1uuurngAB-.3、3耐2乎也面角ADB的大小为arccos64（出）uuir>.(一(II),AB,为平面ABD法向量,uurQBCuuur_(2,0,0),AB(12利.点C到平面A1BD的距离duuruuur蟹叫|2|金.uuurAB12.22小结：本例中（出）采用

8、了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的B点到平面AMB1的距离转化为容易求的点K到平面AMB1的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法考点2异面直线的距离考查异目主面直线的距离的概念及其求法考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离例2已知三棱锥SABC,底面是边长为4近的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平

9、面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解：如图所示，取BD的中点F,连结EF,SF,CF,EF为BCD的中位线，EF/CD,CD/面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h,由题意知，BC4/2,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，1CD2,6,EFCD6,DF.2,SC221111-VSCEFEFDFSC.6.223232在RtSCE中，SEVSC2CE22v3在RtSCF中，SFVSC2CF774242x'30又EF,6,Ssef3由于Vc SEF V S CEF11.23.-Ssefh,即3h

10、,解得h3SEF33故CD与SE间的距离为233小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程考点3直线到平面的距离偶尔会再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化例3.如图，在棱长为2的正方体AC1中，G是AA的中点，求BD到平面GB1D1的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解：解法一BD/平面GB1D1,BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，以下求点O平面GB1D1的距离，BQAC，BRAA,B1D1平面A1ACC1,又B1D1平面GB1D1平面AACGGB1D1,两个平面的交线是OG,作OHOG于H,则有O

11、H平面GB1D1,即OH是O点到平面GB1D1的距离.在OQG中，SOOG-O1OAO-222.1221_1又Soqg-OHOiG-3OH,2,OH1222-626即BD到平面GBiDi的距离等于3解法二BD/平面GBiDi,设点B到平面6巳口1的距离为h,将它视为三棱锥 B GBiDi的高，则VB GBiDiVDi GBBi，由于 S GBiDi、，i i c c c 4VDi GBBi2 2 2,3 2326即BD到平面GBiDi的距离等号2.6BD上任意一点到平面GBiDi的距离皆为所求，以下求点B平面GBiDi的距离.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面

12、距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4异面直线所成的角【重难点】此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角典型例题例4如图，在RtAOB中，OAB-,斜边AB4.RtAAOC可以通过6AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角.D是AB的中点.(I)求证：平面COD平面AOB;(II)求异面直线AO与CD所成角的大小.思路启迪：(II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.解：解法i：(I)由题意，COAO,BOAO,BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO

13、,又QAOIBOO,CO平面AOB,又CO平面COD.平面COD平面AOB.(II)作DEOB,垂足为E,连结CE(如图)，则DE/AO,CDE是异面直线AO与CD所成的角.在RtCOE中，COBO2,OEBO32CEJCO2OE2痣.1-又DE-AO3.2在RHCDE中，tanCDECE埠DE315异面直线AO与CD所成角的大小为3.15arctan解法2：(I)同解法1.(II)建立空间直角坐标系Oxyz,如图，则O(0Q0),A(0,0R3),C(2,0,0),D(01,73),UUDOA(0,0,2.3)uur_CD(21，褥),cosuuuuuurOA,CDuuuuuurOAgCDu

14、uuuuurOAgCD62,33.264异面直线AO与CD所成角的大小为6arccos小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关.同时系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法要特别注意异面直线所成的角的范围:0,2 .考点5直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算 线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.典型例题例5 (全国卷I理

15、)四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 SBCBC 2金,SA SB 73.(I)证明SA BC ；(n)求直线SD与平面SAB所成角的大小.考查目的：本小题主要考查直线与直线，直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解：解法一：(I)作SOXBC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC±底面ABCD,得SO,底面ABCD.因为SASB,所以AOBO,又/ABC450,故4AOB为等腰直角三角形，AO±BO由三垂线定理，得SAXBC.(n)由(i)知SAXBC,依题设AD/BC,故SA，AD,由ADBC27

16、2,SA73,AO无，得SO1,SD布.SAB的面积§1ABgfSA21AB成.1o连结DB,得DAB的面积S2-ABgADsin13522设D到平面SAB的距离为h,由于VdSABVsABD-hgS11SOgS2,解得h亚.33设SD与平面SAB所成角为 ，则sin22vi所以，直线SD与平面SBC所成的我为.22 arcsin 11解法二：（I）作SOX BC ,垂足为O ,连结 ABCD .因为SA SB,所以AO BO .AO ,由侧面SBC，底面ABCD ,得SO,平面又/ABC 45°, 4AOB为等腰直角三角形， AO ± OB .如图，以O为坐标原

17、点，OA为x轴正向，建立直角坐标系N贬A。），B。衣,0）, c（0,板,0）, s（0Q,1）, Sa(.2,0,1uur _uir uuuCB (0,2/Q), SAg：B 0,所以C，yEO xyz,SAX BC .(n)取AB中点E , E连结SE,取SE中点G ,连结OGSEgDG0,1一，SE2ABgDG*,1220, OG与平面SAB内两条相交直线 SE, AB垂直.所以OG平面SAB,OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则互余.D(J22短(0)，DS(a,2&1)-cosOGg的 _J2, sOG gDS 1122所以，直线SD与平面SAB所成的角为a

18、rcsin*.小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造一一作出斜线与射影所成的角，证明一一论证作出的角为所求的角，计算一一常用解三角形的方法求角，结论一一点明直线和平面所成的角的值.考点6二面角【重点】此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热电典型例题例6.（湖南卷）如图，已知直角，A PQ , B , C所成二面的角为30°.（I）证明 BC ± PQ ;（II）求二面角B AC P的大小.,CA CB , BAP 4

19、5°,直线CA和平面命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：（I）在平面内过点C作CO，PQ于点O,连结OB.因为X,IPQ,所以CO，又因为CACB,所以OAOB.而BAO45°,所以ABO45°,AOB90°,从而BO，PQ,又CO，PQ,所以PQ，平面OBC.因为BC平面OBC,故PQ，BC.（II）解法一：由（I）知，BO，PQ,又!PQBO，所以BO,过点O作OH，AC于点H,连结BH,由三垂线定理知，BH±AC.故BHO是二面角BACP的平面角.由（I）知，CO&#

20、177;，所以CAO是CA和平面所成的角，则CAO30°,不妨设AC2,则AO73,OHAOsin30°在RtzXOAB中,ABOBAO45°,所以BOAO.3于是在RtABOH中，tanBHOBOOH故二面角BACP的大小为arctan2.解法二：由（I）知，OC±OA,OCXOB,OA±OB,故可以O为原点，分别以直线OB,OA,OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）因为CO，a,所以CAO是CA和平面所成的角，则CAO30°.不妨设AC2,则AO33,CO1.在RtzXOAB中,ABOBAO45°,所以BOA

21、O则相关各点的坐标分别是O(0,0,0),b(V3,0,0),A(0,、.3,0)C(0,0,1).uur所以AB(-3,.3,0)uurAC(0,后1)ur设Rx,y,z是平面ABC的一个法向量,iruurngABiruurngAC0,r3x3y0,得r0.3yz01,得1r(1,1,啊.uu易知n（10,0）是平面的一个法向量.设二面角BACP的平面角为,由图可知,uruu口,出所以cosurur-ur-1uu-In/gL|_1_,51故二面角BACP的大小为arccos5:小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途

22、径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小【课后练习】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，ABCD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.（I）试证：CD平面BEF;5丁（n）设PA=kAB,且二面角E-BD-C的平面角大于30,二；广二;>求k的取值范围.-n过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角;方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离

23、和角的一般方法【高考热点】空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积各个面面积之和2 rlrl1棱柱、棱锥的表面积:2圆柱的表面积s3圆锥的表面积：S4圆台的表面积Srlr2RlR25球的表面积S4R26扇形的面积S扇形nR21二1r（其中l表示弧长，r表示半径）3602注：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长（二）空间几何体的体积1柱体的彳积VS底h12锥体的体积VS底3434 R331,.3台体的体积V-（S上Js上S下S下）h4球体的体积V【例题解析】考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断典型例题例

24、12.如图(1),将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.思路启迪设四边形一边AD,然后写出六棱柱体积，利用均值不等式，求出体积取最值时AD长度即可.解答过程：如图(2)设AD=a,易知/ABC=60°,且ZABD=30°AB=<3a.BD=2a正六棱柱体积为V.1219/、2V=6-(12a)sin60V3a=-(12a)a22=9(12a)(12a)4a<9(2)3.883，一，1一，当且仅当1一2a=4aa=时，体积取大，6此时底面边长为12a=12X1=2

25、.63-1答案为一.6考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.棱锥体积V等于1Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.3例15.如图，在三棱柱ABCABC中,AB=V2a,BC=CA=AA=a,BAi在底面4ABC上的射影O在AC上求AB与侧面ACi所成角；若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.思路启迪找出AB与侧面AC所成角即是/CAB;三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC1B1是正方形，侧面ACCA1和侧面ABBA1是平行四边形，分别求其面积即可.解答过程：点A1在底面ABC的

26、射影在AC上， 平面ACOA1，平面ABC.在ABC中，由BC=AC=a,AB=J2a. /ACB=90°,BC±AC.BC,平面ACOAi.即/CAB为AB与侧面AC所成的角在Rt:AABC中，ZCAB=45°. AB与侧面ACi所成角是45°.O是AC中点，在Rt：AAAiO中，AAi=a,AO=-a.23AOi=a.232侧面ACC-Ai面积S=ACAOi=a.2又BC,平面ACOAi,BC±CO.又BBi=BC=a,侧面BCCBi是正方形，面积S=a2.过O作ODAB于D,.AiOL平面ABC,AiDXAB.,i在Rt:AAOD中，AO

27、=-a,/CAD=452OD=a4在Rt:AAiOD中，AD=JOD2+A。=；(a)2+(a)2=.f7a.,42，87.72侧面ABBA面积S3=ABAD=J2a,ga=a.三棱柱侧面积S=Si+S2+S3=i_9-2+3+.7）a.2L例i6.等边三角形ABC的边长为4,M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°,则四棱锥AMNCB的体积为（）A、B、C、 .3D、3Sh1思路启迪先找出二面角平面角，即/AKL,再在AKL中求出棱锥的局h,再利用V=3即可.解答过程：在平面图中，过A作AL±BC,交MN于K,交BC于

28、L.则A。MN,KL±MN./AKL=30.3则四棱锥AMNCB的图h=AKSin30=22+4SMNCB2KL = 3 33 . Va MNCB = -【专题综合训练】一、选择题1 .如图，在正三棱柱 ABGABiCi中，已知 AB=1 , D在BB上，且BD=1 ,若AD与侧面AAiCCi所成的角为，则 的值为()A. 一B.一34C1B1DCBC.arctan-104D. arcsin q42 .直线a与平面成角，a是平面的斜线，b是平面内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（）A.最小值，最大值B.最小值，最大值一2A.点的距离都是A. 136 .如图，在棱长为14,那么点P

29、到平面B. 11ABC的距离为（）C. 93的正方体 ABCDA1B1GD1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点9A.B.C.D.7 .将QMN折成60的二面角，则A. a2B到平面AMN的距离是（边长MN = a的菱形 MNPQ沿对角线MP与NQ间的距离等于（）038 . a49 . -6a4NQ)D. 7D. a4的平面角为120 ,在 内，AB l于B, AB=2,在内，CDl于D,C.最小值，无最大值D.无最小值，最大值一43 .在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（）A.30B.45C.604 .如图，直平行六面

30、体ABCD-ABCQi的棱长均为2,BAD60,则对角线AC与侧面DCGDi所成的角的正弦值为（）3B.2C.5.已知在 ABC 中,AB=9 , AC=15 ,BAC120,它所在平面外一点P到ABC三顶CD=3,BD=1,M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为（）C. . 26D. 2.69 .空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上，动点Q在3C. a2D.a线段CD上，则P与Q的最短距离为（）1A.一a210 .在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a,现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）.2.

31、/61,.3A.（.2.6）aB.-2aC.（1.3）aD.2a11.已知长方体ABCDAB1C1D1 中，AA=AB=2,若棱 AB 上存在点P,彳DF棱AD的长的取值范围是（）A. 0,1B.0,、, 2C. 0,2D. 1, 212.将正方形 ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的角一定不等于（）A. 30B. 45C. 60D. 90二、填空题1.如图，正方体 ABCD-AB1CQ1的棱长为1, E是AE 的中点，则下列四个命题： E到平面 ABC1D1的距离是 1；2直线BC与平面ABC1D1所成角等于45 ;空间四边形ABCD在正方体六个面内的射影

32、围成一一一，1 面积取小值为一；2BE与CD1所成的角为.10 arcsin 102 .如图，在四棱柱 ABCD- AB1C1D1中，P是A1。上的动点，E为CD上的动点，四边形 ABCD满足体积Vp aeb恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）3 .边长为1的等边三角形 ABC中，沿BC边高线AD 折起，使得折后二面角 B- AD- C为60。,则点A到 BC的距离为 点D到平面ABC的距离4 .在水平横梁上 A、B两点处各挂长为50cm的细绳，AM、BN、AB的长度为60cm,在MN处挂长为60cm 的木条，MN平行于横梁，木条的中点为 O,若木条 绕过O的铅垂线旋转60。，则木条比原来

33、升高了(1)求证 (2)求面 (3)设棱 大小.5 .多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3;4;5;6;7.以上结论正确的为(写出所有正确结论的编号)6 .如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔(不计小孔直径)01、02、03它们分别是所在面的中心如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是m.三、解答题1 .在正三棱柱ABCAiBiCi中，底面边长为a,D为BC为中点,M在BBi上，且BM=-BiM,又CM

34、XACi；3(1)求证：CMXC-D;2 2)求AAi的长.2 .如图，在四棱车BP-ABCD中，底面是矩形且AD=2,AB=PA=41,PAL底面ABCD,E是AD的中点，F在PC上.(1)求F在何处时，EFL平面PBC;(2)在的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3)在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角3 .如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD,SB=J3.BCSC;ASD与面BSC所成二面角的大小；SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的4 .在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,A

35、D=DC=1AB=a,(如图一)将ADC沿AC折起,2使D到D.记面ACD为，面ABC为.面BCD为.(1)若二面角AC为直二面角(如图二)，求二面角BC的大小；(2)若二面角AC为60(如图三)，求三棱锥DABC的体积.DAB图一图二D15.如图，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=J2, AF=1 , M是线段EF的中点.(1)求证AM平面BDE;(2)求二面角A DF B的大小；(3)试在线段 AC上确定一点P, BC所成的角是60 .使得PF与D【参考答案】一.选择题1.D提示：AD在面ACCiAi上的射影应在 AC与AiG中点的连线上，令射影为E,则/ EAD

36、为所求的角,y 3 , DE在 RtZxEAD 中，DE , AD < 2. sin EAD 2ADEAD.6arcsin .42.B提示:由最小角定理知，最小角为,又异面直线所成角的范围为0，2最大角为一.23 .A提示：由最小角定理知，此直线与另一面所成的角应小于等于它与交线所成的角，故排除C、D,又此二面角为45。，则此直线与另一平面所成的角只能小于它与交线所成的角，故选A.4 .D提示：由题意，Ai在面DCCiDi上的射影应在CiDi延长线E上，且DiE=1,则/A1CE为所求角，在RtAAiC中，A1CAA12AC24,AE.3,sinA1CE1-AiC45.D 提示：由P到

37、ABC三个顶点的距离都是14,知P在底面 ABC的射影是 ABC的外心，所以PO为所求.由余弦定理得：BC=21.由2RBCsin1202114 J3得外接圆半径32为 7内，即 OB 7J3,在 RtPOB 中，POPB2 BO27.6.D提不' ：由题图得Vb AMN VN AMB1二 h S AMN3S AMB7.B3SAMB2SAMN2 S AMN2.提示：连结MP、NQ交于O,由四边形MNPQ是菱形得 MP± NQ于O,将MNQ折起后易得MOXQN,OP±QN,所以/MOP=60,且QN，面MOP,过O作OHMP,所3以OHQN,从而OH为异面直线MP、Q

38、N的公垂线，经计算得OH-a.48.C提示：把半平面展到半平面内，此时，连结AC与棱的交点为M,这时AM+CM取最小值等于AC.(AM+CM)min=；1(23)226.9.B提示：P、Q的最短距离即为异面直线CD的中点时符合题意.AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为10.B提示：将正棱锥展开，设正方形边长为m,则42mav'3a,m11.A 提示:DPPC,DPPC,在长方形ABCD中AB边存在P,作DPPC,又因为AB=2,由对称性可知，P为AB的中点时，AD最大为1,AD0,1故选A.12.D提示：若BD与平面ABC所成的角为90,则平面ABD平面ABC,取AC的中点O,则

39、BDAC,DOAC且BO=DO,BD与BO不垂直，故BD与平面ABC所成的角一定不等于90二.填空题提示：对于，由VEABC1VC1ABE1，-信二hSABC13ABC12丁°°,错对于连CB交BC于O,则2O为C在面ABC1D1上的射影,CBO45为所成的线面角，正确.作图易知正确,对于连AB,则ABE为所成的角，解A,BE得sinA1BE10“,正确.102.AB/CD提示：VPaebhPSABE,要使体积为定值，则SABE为定值，与E点位置无关，则AB/CDc153.4,15提木：作10DEBC与E,易知AD平面BCD,从而AEBC,BDC60又由BDDC1_3,得D

40、E一，又AD243"2'AE,15一一一，AD,由可解的点到平面的距离为4.15104.10cm提示:MO=NO=30cm,过O作MN与旋转前的MN平行且相等，所以旋转后AB与平面MON的距离为V50230240,故升高了50-40=10cm.5.6.5.6三、解答题1.(1)证明：在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC中点，则MC又CMLAC1,则MC和平面ADC1内两相交直线AD,垂直AD，面BCC1B1,从而AD±AC1均MCXWADC1,于是MCXDC1.(2)解:在矩形BBCC中,由CMXDC1知DCCsbmc,设BB1=h,则h:a=-:h,求得hV2

41、a从而所求AA1=-2a2.解：(I)以A为坐标原点，以射线AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则p(0,0,v,2),A(0,0,0),B(0,姮,0),C(2,42,0),D(2,0,0),E(1,0,0)F在PC上，.可令pFPC,设F(x,y,z)BC20,0,PC2,2,2,EFx1,y,z.EF,平面PBC,EF?PC0且EF?BC0,又PFPC,可得1,x1,yz92故F为PC的中点.22(n)由(I)可知：EF±PC,且EFLBC即EFLADEF是PC与AD的公垂线段，其长为|EF|二1BD? PCbd|?|pc(出)由(I)可知PC2,而V2即

42、为平面BEF的一个法向量而BD2,、50设BD与平面BEF所成角0,则：sin0=cosi：BD?PC)33，9=arcsinJ.故BD与平面BEF所成角为arcsin-663. (1)证法一：如图，二.底面ABCD是正方形，BCXDC.SD，底面ABCD,.DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得BC±SC.证法二：如图1,二.底面ABCD是正方形，BCXDC.SDL底面ABCD,SDXBC,又DCASD=D,.BC,平面SDC,BCXSC.(2)解：如图2,过点S作直线l/AD,l在面ASD上，底面ABCD为正方形，lAD/BC,l在面BSC上，l为面ASD与面BSC的交线.lSDAD,BCSC,lSD,lSC,CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.BD=72,SB=V3,SAD=1.CSD450(3)解1:如图2,SD=AD=1,/SDA=90°, .SDA是等腰直角三角形.又M是斜边SA的中点， DM