中考数学压轴题专项练习含答案题库：圆的证明与计算题

1、题库:圆的证明与计算题1.如图，AB是。0的直径，点D是AE上的一点，且/BDE=/CBE, BD与AE交于点F.(1)求证：BC是。的切线；若BD平分/ABE,延长ED、BA交于点P,若FA=AO, DE = 2,求PD的长.(1)证明：.AB是。的直径， ./AEB=90 , ./ EAB+Z EBA=90, . /BDE=/EAB, ZBDE=ZCBE, ./ EAB=/CBE,ABE+/CBE = 90 ,.,.CBXAB,AB是。O的直径， .BC是。的切线；(2)解：.BD 平分/ABE, ./ABD= /DBE,如解图，连接DO,第1题解图 .OD = OB, ./ ODB= /

2、OBD, / EBD= /OBD,./ EBD= /ODB, .OD/ BE, PD PO PE=PB， .RA=AO, .PA=AO=OB,PO 2 二 =二PB 3，PD 2 ,PE 3，. PD 2PD + DE 3 .DE = 2, .PD = 4.2.如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。O与边BC, AC分别交于D,E两点，过点D作DFLAC,垂足为点F.(1)求证：DF是。O的切线；2右AE=4, cosA=5，求DF的长.(1)证明：如解图，连接OD,第2题解图 .OB=OD, ./ ODB= /B,又“8= AC,./ C= /B, ./ ODB= /C, .OD/

3、AC, DFXAC,./ DFC = 90 , ./ ODF= /DFC = 90 ,.OD是。O的半径， .DF是。O的切线；(2)解：如解图，过点O作OGLAC,垂足为G, 1 一 八 . AG = ,AE = 2.A AG 22. cosA=OA=OA=5， .OA=5, .OG= OA2 AG2= 21, . / ODF= /DFG= /OGF = 90 ,四边形OGFD为矩形，/.DF = OG=V21.3如图，在OO中，直径CD，弦AB于点E, AMLBC于点M ,交CD于点N, 连接AD.(1)求证：AD = AN;(2)若AB=4/，ON=1,求。O的半径.第3题图(1)证明：

4、:/BAD与/BCD是同弧所对的圆周角,./ BAD = / BCD,VAE± CD, AMXBC, ./AEN=/AMC=90 , /ANE=/CNM,./ BAM = / BCD,./ BAM = / BAD,ftAANE<AADE 中，/ BAM = Z BADA AE=AE ,A / AEN=/AED/. AANEAADE(ASA), .AN = AD;(2)解：vAB=4V2, AEXCD, .AE=2aB=2 2,又.5=1,设 NE = x,则 OE=x- 1, NE=ED = x, OD = OE+ED = 2x1,如解图，连接AO,则AO=OD = 2x1,第

5、3题解图. AOE是直角三角形，AE=2，2, OE = x1, AO = 2x- 1, .(2W)2+(x1)2 = (2x 1)2,一4 一解得 xi = 2, X2= - 3(舍),.AO = 2x1 = 3,即。O的半径为3.4.如图，在4ABC中，/C=90°, D是BC边上一点,AB的中点E,交AD的延长线于点F,连接EF.(1)求证：/1 = /F;，一V5，一若 sinB=*, EF = 25,求 CD 的长.AF第4题图(1)证明：如解图，连接DE.A小 F第4题解图. BD是。O的直径，./ DEB=90 .E是AB的中点，以DB为直径的。经过.DA=DB,/ B

6、= /F, / 1 = / F;(2)解：/1 = /F, .AE=EF = 2 弧 .AB=2AE = 4 5.在 RtABC 中，AC=ABsinB = 4, /.BC = /AB23ac2 = 8.设 CD = x,则 AD = BD=8-x.在RtzACD中，由勾股定理得 AC2+CD2 = AD2, 即 42+ x2=(8 x)2,解得x=3, .CD = 3.C作AE5.如图，直线DP和。O相切于点C,交直径AE的延长线于点P,过点 的垂线，交AE于点F,交。O于点B,作*ABCD,连接BE, DO, CO. (1)求证：DA=DC;(2)求/P及/AEB的度数.第5题图(1)证明

7、：四边形ABCD是平行四边形,.AD/ BC,VCB± AE,/.ADXAE,./ DAO=90 ,又直线DP和。O相切于点C,/. DCXOC,./ DCO=90 ,在 RtADAO 和 RtA DCO 中，fDO=DOAO=CO RtA DAORtADCO(HL), .DA=DC;(2)解：VCBXAE, AE 是。O 的直径，1 . CF = FB = 2BC,又四边形ABCD是平行四边形， .AD = BC,1_ .cf=2ad, 又CF / DA,.PCFsPDA,PC CF 1 口 11 PD=AD=2，即 pc='Pd, dc=2Pd.由(1)知 DA=DC,

8、1 .DA = 2PD, 在 RtDAP 中，/P=30 . DP/AB, ./ FAB=/P=30 ,又. /ABE= 90 ,AEB=90 30 =60 .6.如图，在AABC中，AB = AC,以AB为直径的。O与BC交于点D,过点D作。的切线交AC于点E.(1)求证：/ABD=/ADE;(1)证明：如解图，连接OD.第6题解图C25若。O的半径为了，AD第6题图. DE为。O的切线，.,.QDXDE, /ADO+ /ADE = 90 .AB为。Q的直径， ./ADB=90 , /ADO+ /ODB=90 .ADE= /ODB, .OB=OD,OBD= /ODB,./ABD =/ADE;

9、-25 25_.（2）解：. AB = AC = 2><6" = , /ADB=/ADC = 90 , ./ABC=/C, BD=CD. .O为AB的中点， .OD为AABC的中位线， .OD/AC, ODXDE,.,.ACXDE,在 RtAACD 中，CD = AC2 AD2 =看）2_（、）2 = 5,. /C=/C, /DEC=/ADC = 90 , .DECsMDC,CE DC CE 立DC = AC，即-T=药 .CE = 3./A= 2/DCB,点7.如图，在AABC中，/ACB = 90°, D是边AB上的一点,E是BC上的一点，以EC为直径的。O

10、经过点D.(1)求证：AB是。O的切线；若CD的弦心距为1, BE=EO,求BD的长.第7题图(1)证明：如解图，连接OD,第7题解图贝U/DOB = 2/ DCB,又. /A=2/DCB, ./A= / DOB,又. /A+/B = 90 , / DOB+ /B=90 ,即 ODXAB,又.OD是。O的半径, .AB是。O的切线.(2)解：如解图，过点O作OMLCD于点M,连接DE,第7题解图1一 。,. OD = OE=BE = 2BO, /BDO = 90 , ./ B=30 , ./ DOB = 60 , ./ DCB = 30 , .OC=2OM = 2, .OD = 2, .BD

11、= ODtan60 =2班.8.如图，PB为。O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA,垂足为C,交。O 于点A,连接PA, AO,并延长AO交。O于点E,与PB的延长线交于点D.(1)求证：PA是。O的切线；4若cos/ CAO=-,且OC=6,求PB的长./ BDO=90 ,ti1)0第8题图(1)证明：如解图，连接OB, .OA=OB, ./ OAB= / OBA, OPXAB, .AC=BC,.OP是AB的垂直平分线, .PA=PB, ./ PAB=/PBA, ./ PAO=/PBO. .PB为。O的切线, ./ OBP=90 ,. OA为。O的半径，.PA是。O的切线；(2)解：co

12、s/ CAO=4,设AC=4k, AO = 5k,由勾股定理可知 OC=3k,3 一 4 .sin/ CAO=-? tanZ COA=w, 5，3，.CO 3 口口 63. oa=5，即 OA=5，角牛华 0A=10， AP 4. tan/ POA=tan/COA=a, AO 3AP=,解得 AP=40, 10。 .PA=PB,40 .PB=PA=. 39.如图，在AABC中，以BC为直径的。O交AB于点D, /ACD=/ABC.(1)求证：CA是。O的切线；25 .若点E是BC上一点，已知BE=6, tan/ ABC=3, tan/AEC=& 求。O的直 33径.A第9题图(1)证明

13、：.BC是。O的直径, ./ BDC = 90 , /ABC+/ DCB=90 , /ACD= / ABC, /ACD+ /DCB = 90 , ./ACB= 90 ,即 BCXCA,又 BC是。O的直径， .CA是。O的切线；53'.AC 5 ec=3.-3EC=5AC(2)解 在 RtzAEC 中,tan/AEC=.AB=10,» r 人上/2在 RtABC 中，tan/ ABC=&,3AC 2.=-BC 3'-3 bc=2Ac. .BCEC=BE=6,3AC5aC=6,解得 AC = 20,3 20BC = 2 "3" =10,即。O

14、的直径为10.10.如图，在4ABC中，AB = AC,以AB为直径的。O交BC于点D,过点D作 。的切线DE交AC于点E,交AB延长线于点F.(1)求证：DEXAC;若AB=10, AE=8,求BF的长.(1)证明：如解图，连接OD, AD,.DE与。O相切于点D,/.ODXDE.AB是。O的直径,.AB=AC, .D为BC中点,又丁。为AB中点,.OD/AC, /.DEXAC;.OB=OD=5.由(1)知 OD/I AC,.ODFs/Xaef,OD OF BF OB . AE = AF = BF、AB，设 BF=x,5 x 510则有8 = x+10解得x= 3 ,/. BF=10. 31

15、1如图，已知AB为。的直径，F为。上一点，AC平分/BAF且交。O于点C,过点C作CDLAF于点D,延长AB、DC交于点E,连接BC、CF.(1)求证：CD是。的切线；(2)若 AD = 6, DE = 8,求 BE 的长；(3)求证：AF + 2DF = AB.上.E C D第11题图(1)证明：如解图，连接OC.1)第11题解图 AC 平分 / BAD,. / OAC= / CAD, 又 / OAC= / OCA,. / OCA= / CAD, .CO/AD.又 CDXAD,/.CDXOC,又.OC是。O的半径，.CD是。O的切线；(2)解：在 RtADE 中，VAD=6, DE=8,根据

16、勾股定理得：AE=10,. CO/AD,.EOCsEAD,.EO OC 一 .EA AD设。O的半径为r, .OE=10-r.10-r r =一，106 r-15.BE=10-2r=5；2(3)证明：如解图，过点C作CGLAB于点G. /OAC=/CAD, AD LCD, .CG=CD,在 RtAAGCffi RtAADC 中, . CG=CD, AC=AC,/. RtAAGCRtAADC (HL),.AG=AD.又/ BAC=/CAD,.BC=CF,在 RtCGB 和 RtACDF 中，. BC=FC, CG=CD,/. RtACGBRtACDF (HL),.GB=DF. AG+GB=AB,

17、 /.AD+DF=AB,即 AF+2DF=AB.12.如图，在RtzABC中，/ACB=90°,以BC为直径的。O交AB于点D, E是AC的中点，OE交CD于点F.(1)若/BCD=36 , BC=10,求BD的长；(2)判断直线DE与。O的位置关系，并说明理由；求证：2CE2 = ABEF.第12题图(1)解：如解图，连接OD, / BCD = 36 , ./ BOD=2/ BCD=2M6 =72 , .BC 是。O 的直径，BC=10, .OB=5,一 72兀一人 "bd= 180 = 2 兀；(2)解：DE是。O的切线；理由如下: .BC是。O的直径, . / ADC

18、 =180/ BDC = 90 ,又点E是线段AC中点， .DE = 2aC=EC,在ADOE与4COE中，OD = OC OE=OE, DE=CE/.ADOEACOE(SSS). /ACB= 90 , ./ ODE= /OCE=90 , .OD是。O的半径， .DE是。O的切线；(3)证明：由(2)知，ADOEACOE, .OE是线段CD的垂直平分线，.点F是线段CD中点,1 点E是线段AC中点，则EF=/AD, . /BAC=/CAD, /ADC=/ACB,.ACDs/XABC,则AC=AD,即 ac2=ab AD, AB AC而 AC = 2CE, AD = 2EF, .(2CE)2 =

19、 AB 2EF,即 4CE2=AB 2EF, 2CE2 = AB EF.13.如图，PB为。的切线，B为切点，直线PO交。于点E、F,过点B作PO 的垂线BA,垂足为点D,交。于点A,延长AO与。交于点C,连接BC, AF.求证：直线PA为。的切线；(2)求证：EF2 = 4OD OP;一 _ 1 ，一 ,一若BC = 6, tanF = 2,求AC的长.第13题图(1)证明：如解图，连接OB,第13题解图 PB是。的切线, ./ PBO=90 ,VOA=OB, BA，PO于点D, . AD = BD,点D为AB的中点，即OP垂直平分AB,APO= ZBPO,vZ ADP= ZBDP=90 ,

20、/. AAPDABPD, .AP=BP,在FAO和PBO中，FA= PB( Z APO=Z BPOI OP=OPAFAOAPBO (SAS),FAO=ZPBO = 90°,. OA为OO的半径，直线PA为的切线；(2)证明：./ FAO=ZPDA=90 ,/OAD+/AOD=90 , ZOPA+ZAOP= 90 , ./ OAD= /OPA, .OADs"PA, °A=OX，即 oa2=od OP,又. EF=2OA,EF2 = 4OD OP;(3)解：VOA=OC, AD = BD, BC = 6, 1 . OD = 2BC= 3,设 AD = x,AD x 1

21、.tanF-DF-DF-2， .DF = 2x, .OA=OF = 2x 3,在RtzAOD中，由勾股定理得(2x3)2=x2 + 32,解得xi =4或旭=0(不合题意，舍去)， .OA=2x 3=5,.AC为。O的直径, .AC = 2OA=10.14.如图，AB是。O的直径，点C是。O上一点，AD和过点C的切线互相垂直， 垂足为D,直线DC与AB的延长线相交于点 P,弦CE平分/ACB,交直径AB 于点F,连接BE.(1)求证：AC平分/DAB;求证：PC=PF;一3(3)若 tan/ PCB=4，BE = 542,求 PF 的长.D百E第14题图(1)证明：如解图，连接OC,DE第14

22、题解图 .OA=OC, ./ OAC= / OCA, .PC是。O的切线，且ADXCD, ./ OCP= /D = 90 , .OC/AD, ./ CAD= /OCA= /OAC,即AC平分/ DAB;(2)证明：:AB是。O的直径, ./ACB= 90 ,.-.Z PCB+Z ACD=90 ,又 /CAD+/ACD = 90 , /.ZCAB=ZCAD=ZPCB. CE 平分/ACB,/.Z ACE=Z BCE, / PFC= Z CAB+ Z ACE, Z PCF= Z PCB+ Z BCE, PFC=/ PCF, .PC=PF;解：如解图，连接AE,vZ ACE=Z BCE, /. AE

23、=BE,.AE=BE,又.AB是直径， ./AEB=90 , AB=V2BE=10, - 0B= 0C= 5, / PCB=/ FAC, / P=/P,/.APCBAFAC, PB BC .PC=CA，3 PB BC 3. tan/PCB=tan/CAB=. .比=五=.设 PB=3x,则 PC=4x,在RtPOC中，根据勾股定理得,(3x + 5)2 = (4x)2 + 52,解得 Xi = 0, X2 = ".八30 x> 0, . . x= 7,120.pf=pc=F 15.如图，AB是。的直径，C、G是。上两点，且点C是劣弧AG的中点，过 点C的直线CDXBG的延长线于

24、点D,交BA的延长线于点E,连接BC,交OD 于点F.(1)求证：CD是。的切线；(2)若 ED = #DB,求证：3OF = 2DF;(3)在(2)的条件下，连接AD,若CD = 3,求AD的长.第15题图证明：如解图，连接OC、AC、CG, AC=CG, .AC=CG, ./ABC=/CBG, .OC=OB, ./ OCB= /OBC,./ OCB= /CBG, .OC/ BG, CDXBG,.-.OCXCD, .OC是。O的半径,.CD是。O的切线;第15题解图©(2)证明：OC/ BD, /CFO=/DFB, ./OCB=/CBD, /EOC=/EBD, .OCF s/dBF

25、, AEOC s/eBD,.OC OF OC OE. BD = DF' BD=BE'OF OE,DF BE， ED = DB, /EDB=90 ,./ E=30 ,1_ .OC=2OE, .OA=OC, .AE=OA=OC=OB,.OF OE 2OA 2.DF = BE = 3OA=3，即 3OF = 2DF;(3)解：如解图，过A作AHLDE,交DE于点H, . / E=30 , ./ EBD = 60 , /ABC=/CBD, 1 . ./CBD = 2/ EBD = 30 ,.CD = 3,.“ CD -BD = tan30 =3#，BE=s3n30- =6点 DE =

26、V3BD = 9,.1 vae=-be, AH/ BD, 3,.AH = 1BD = V3, DH=2DE = 6, 33.ad=I/36=病以O为圆心,D.第15题解图(016.如图，在RtzABC中，/ACB=90°, AO是 ABC的角平分线.OC长为半径作OO,连接AO交。O于点E,延长AO交。O于点 (1)求证：AB是。O的切线;1 AE(2)若tanD = 5，求才的值;设OO的半径为3,求AB的长.:如解图，过。作OFLAB交AB于F,.,.AC1BC,AO是 ABC的角平分线,OFXAB, .CO=FO,.FO为。O的半径,AB是。的切线;2）解如解图,连接CE,.E

27、D是的直径,ECO+ ZOCD=90 , /ACB= 90 , /ACE+/ ECO= 90 , ./ACE=/OCD, .OC=OD,OCD= /ODC, ./ACE=/ODC, ./CAE=/CAE, .ACEsMDC, AE_CE.AC=5C'tanDCE 1 _ CD 2' .AE 1.ac=2；3)解：由(2)知衰=2,设 AE = c,则 AC=2c,在 RtACO 中， .(2c)2 + 32=(c+3)2,解得c=2或c=0 (舍去)， . AF = AC= 2c=4, .在 ABFO 和 ABCA 中，/B=/B, / BFO= / BCA=90 ,.BFOs

28、BCA,BF FO BO_ _ _ _ _BL CAAB，设 BF = x, BO=y,京=3=4b7275解得 x=7，y=y,72 100AB= AF + BF = 4+ y=1.17.如图，。是4ABC的外接圆，。点在BC边上，/ BAC的平分线交。于点D,连接BD, CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是。的切线;(2)求证：PBDsZdca； (3)当AB=6, AC=8时，求线段PB的长.第17题图A:圆心。在BC上,.BC是。的直径, ./ BAC= 90 .如解图，连接OD.b第17题解图. AD 平分 / BAC, ./ BAC= 2/ DA

29、C. / DOC=2/DAC,DOC= /BAC=90 .即 ODBC. . PD/ BC,.,.ODXPD.又OD是。O的半径, .PD是。O的切线； (2)证明：PD/ BC, ./ P= / ABC.又/ABC=/ADC,./ P= / ADC. / PBD+ /ABD=180 , / ACD+/ABD=180 ,./ PBD= /ACD.PBDsDCA;(3)解：ABC是直角三角形， . BC2= AB2 + AC2 = 62 + 82= 100. .BC=10.OD垂直平分BC, .DB = DC.BC是。的直径,./ BDC = 90 .在等腰直角三角形 BDC中.DC = DB

30、= 5淄.PBDs/XDCA,.PB BD.DC = CA，口口DCBD 5 ,2x5/2 25即PB =飞丁 =七口 了 18.如图，AB是。的直径，点P在AB的延长线上，弦 CE交AB于点D,连接OE, AC,且/P=/E, /POE= 2/CAB.(1)求证：CEXAB;(2)求证：PC是。的切线;若BD = 2OD,且PB=9,求tanP的值.第18题图(1)证明：如解图，连接第18题解图 ./ COB=2/ CAB,又/ POE=2/CAB, ./ COD= /EOD,XvOC=OE, .CEL AB;(2)证明：VCEXAB, /P=/E, / P+ /PCD= /E+ /PCD=

31、90 ,又/OCD= /E,OCD+ /PCD= /PCO = 90 , .OC是。O的半径， .PC是。O的切线；(3)解：设。O 的半径为 r, OD = x,则 BD = 2x, r = 3x, CDXOP, OCXPC,/. RtAOCDRtAOPC, .OC2=ODOP,即(3x)2=x(3x+ 9),解得x=2或x=0 (舍去)，9 OO的半径r为2,同理可得 PC2=PD PO=(PB+BD) (PB+OB)=162, .PC=9 2,在 RtOCP 中，tanPMOC：)2 PC 419.如图，AC是。O的直径，弦BEX AC于H, F为。O上的一点，过点F的直线与AC的延长线

32、交于点D ,与BE的延长线交于点M,连接AF交BM于G ,且MF = MG.(1)求证：MD为。O的切线；(2)求证：当 MD/AB 时，FG2=MFEG;4(3)在(2)的条件下，若cosM=5，FD = 6,求AG的长.第19题图(1)证明：.MF = MG, ./MFG=/MGF = /AGB,如解图，连接FO, .OF = AO, ./ OFA=/OAF,/BEX AC, / AGH+ZOAF=Z MFG + / OFA=90 ,即/MFO = 90 ,.OF为。O的半径,MD为。O的切线；(2)证明：MD/AB, ./ M= /ABM,如解图，连接EF,/ EFG= / ABM,./ M= /EFG,./MGF=/FGE,.MGFsFGE, fg eg,MG = FG'X /MG=MF , .FG2=MF EG;第19题解图卜3)解 : ,二/M=/ABM, cosM=4, 设 AH = 3k, AB = 5k, HB = 4k,如解图，连接OB,