高等混凝土作业

1、高 等 混 凝 土 受弯构件承载力计算公式的推导及其影响因素的分析姓 名：学 号：指导老师：日 期：2013年6月受弯构件正截面承载力计算公式的推导及其影响因素的分析内容简介：本文首先推导了矩形截面梁正截面受弯承载力的计算公式，然后对影响正截面受弯承载力的影响因素进行了定量分析，给出了结论。1推导正截面受弯承载力计算公式取一个简支的单筋矩形截面钢筋混凝土梁作为为分析研究对象，给出基本假定，从而分别确定钢筋和混凝土的本构关系，然后进行必要的等效简化，从而建立理论平衡方程，推导出正截面承载力的计算公式。1.1正截面承载力计算采用的基本假定：（1）截面的应变沿截面高度保持线形关系，平均应变的平截面假

2、定； 本假定指的是在荷载作用下，梁的变形规律符合“平均应变平截面假定”，简称平截面假定。即构件受力以后，截面各点的混凝土和钢筋纵向应变沿截面高度方向呈直线变化。（2）不考虑混凝土的抗拉强度； 本假定忽略中和轴一下混凝土的抗拉作用，主要因为混凝土抗拉强度很小，且合力作用点距离中和轴很近，内力矩内力臂很小。即忽略了受拉区混凝土对受弯承载力的贡献。（3）混凝土受压的应力应变关系曲线采用Rusch建议的应力-应变曲线。 本假定确定了混凝土的本构关系，如图1，即抛物线上升段和水平段的混凝土受压应力应变关系曲线。抛物线形状、峰值应变和极限压应变随混凝土强度等级而不同。图1 建议的应力-应变曲线当<时

3、(上升段) （1.1-1a）当<<时(水平段) （1.1-1b）式中，参数n、与混凝土强度等级有关系，具体公式可查阅相关文献，此处从略。对于各混凝土各强度等级，个参数计算结果见下表1。 表1 混凝土应力-应变曲线参数C50C60C70C80n21.831.671.50.0020.002050.00210.002150.00330.00320.00310.0030按图1，设为混凝土压应力-应变曲线所围的面积，为吃面积的形心到坐标原点的距离，则有 （1.1-2） （1.1-3）令 ，把基本假定3推定的应力-应变关系公式以及参数n、和取值代入以上两式中求得、，见下表2，系数、只取决于混凝

4、土受压应力-应变曲线形状，称为混凝土受压-应力应变曲线系数。表2 混凝土受压应力应变曲线系数、C50C60C70C800.7970.7740.7460.7130.5880.5980.6080.619（4）钢筋的应力-应变曲线通常假定为双折线。 取纵向钢筋的极限拉应变为0.01，即给出了正截面达到承载力极限状态的另一个标志。其应力应变关系方程如下： （1.1-4）1.2受压区混凝土的压应力合力及其作用点本文的分析研究对象为适筋梁，即在外荷载作用下，正截面达到极限弯矩Mu时，截面受拉区钢筋屈服，截面受压区边缘的混凝土达到极限压应变cu。本文采用等效矩形应力图进行公式的推导。试验表明，达到Mu时，c

5、u约在0.0030.005范围，本文取cu=0.0033。即超过该应变值，受压区混凝土被压坏，表明梁达到极限承载力。实质上是给出了混凝土单周受压情况下的破坏准则。图2为一单筋矩形截面适筋梁的应力图形，采用了基本假定1和3，其受压区混凝土的压应力图形符合图1的变化规律。 图2 等效矩形应力图 但是，受压区压应力理论应力图与图1所示的应力-应变曲线图形两者变量是不同的，前者变量是任一纤维到中和轴的距离y, y=0,后者的应变量是，=0。 故受压区混凝土压应力的合力 （1.2-1） 合力C到中和轴的距离 （1.2-2） 式中中和轴高度，即受压区的理论高度。 再来研究变量y与的关系，因为中和轴高度为，

6、则由平截面假定可得距离中和轴y处的压应变 （1.2-3） 由上式，取，代入上式（1.2-1）和（1.2-2），得受压区应力的合力C和C到中和轴的距离分别为 （1.2-4） （1.2-5）1.3 等效矩形应力图 由式（1.2-4）和（1.2-5）知，合力C和作用位置仅与混凝土应力-应变曲线系数、及受压区高度有关，而在极限受压承载力的计算中也仅需知道C的大小和作用位置就够了。鉴于此，为简化计算，可取等效矩形应力图来代换受压区混凝土的理论应力图，如图2，两个图形等效的条件是：（1） 混凝土压应力的合力C大小相等；（2） 两个图形中受压区合力C作用点不变。设等效矩形应力图的应力值为，高度为x，则按等效

7、条件，由式（1.2-4）和（1.2-5）可得： （1.3-1a） （1.3-1b）令，则，可见系数、也仅与混凝土应力-应变曲线有关，称为等效矩形应力图系数。系数是受压区混凝土矩形应力图的应力值与混凝土轴心抗压强度设计值的比值；系数是矩形应力图受压区高度x与中和轴高度的比值。取值如下表3。表3 混凝土受压区等效矩形应力图系数C50C55C60C65C70C75C801.00.990.980.970.960.950.940.80.790.780.770.760.750.741.4 界限配筋率 该推导过程针对的是适筋梁，适筋梁与超筋梁的界限为“平衡配筋梁”，即在受拉纵筋屈服的同时，混凝土受压边纤维也

8、达到极限应变值，截面破坏。设钢筋屈服时的应变为，则，此处为钢筋的弹性模量。 设界限破坏时中和轴高度为，则有 （1.4-1）把代入上式，得 图3 适筋梁、超筋梁、界限配筋梁破坏时正截面平均应变图 （1.4-2）设，称为界限相对受压区高度，则 （1.4-3）正截面受弯承载力计算中，如果出现>，则梁超筋，超筋破坏为脆性破坏，结构设计中必须免。 1.5 等效矩形应力图表示的截面平衡方程基本方程 单筋矩形截面受弯构件的正截面受弯承载力计算简图如图4所示，图中x称为混凝土受压区高度。 图4 单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算简图取钢筋的屈服应力为，为钢筋的设计强度。 由力的平衡条件及力矩平衡条

9、件可得 （1.5-1） （1.5-2a）或 （1.5-2b）其中用相对受压区高度表示,即，代入（1.5-1）和（1.5-2）得到用受压区高度表示的界面平衡方程 （1.5-3） （1.5-4a）或 （1.5-4b）其中 （1.5-5） 相对受压区高度不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率），也反映了钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种材料配比本质的参数。2 受弯构件正截面承载力的影响因素分析由1中推导的公式可知正截面受弯承载力是若干个设计变量控制的函数，如构件的截面尺寸、配筋率、材料的强度。即控制其它参数不变，当某个参数单独发生变化时，正截面承载力也随之变化，逐个绘制曲线，通过对曲线形状的

10、分析，考察其对正截面承载力的影响程度。2.1 两种不同的混凝土本构关系对正截面抗弯承载力的影响对于不同的混凝土本构关系，可以通过以上公式计算k1和k2。本文中采用两种混凝土应力-应变曲线（如图1和图5）。 Rusch建议的模型，、计算结果如下表4。表4 混凝土受压应力应变曲线系数、C50C60C70C800.7970.7740.7460.7130.5880.5980.6080.619为了便于比较，取另一种应力-应变曲线模型。图5 Hongnestad建议的应力-应变曲线图5中曲线的上升段采用抛物线形式，下降段为斜直线，表达式为：当（上升段） （2.1-1）当（斜线下降段） （2.1-2）式中:

11、fc为峰值应力(混凝土极限抗压强度)；0为相应与峰值应力时的应变,取0=0.002；cu为极限压应变,取cu=0.0038。为了便于横向比较两种不同的本构关系对抗弯承载力影响，计算时取cu=0.0033以左的图形进行计算。Hongnestad建议的应力-应变曲线图计算的k1和k2如表5所示。表5 Hongnestad受压应力-应变曲线系数k1和k2k1k20.7790.575-计算应力-应变曲线系数的目的是确定应力图形系数和等效矩形受压高度系数，其对应关系的推导过程如下：由实际应力图和等效应力图的对应关系，有 （2.1-3） （2.1-4）由上面两式可得： （2.1-5） （2.1-6）可见，

12、若采用实际应力图计算抗弯承载力时，只需知道系数k1和 k2的值，若采用等效应力图计算抗弯承载力时，需要根据k1和 k2的值来确定和的值，按照实际应力图计算抗弯承载力公式为： （2.1-7）将前面已经计算好的两种不同的混凝土本构关系的k1和 k2的值分别代入公式（2.1-7）中，可以得到两个不同的抗弯承载力值，且相差很小。即在截面配筋相同，尺寸相同，材料相同的前提下，抗弯承载力因采用了不同的混凝土应力-应变曲线相差很小，这足以说明不同的混凝土本构关系对截面抗弯承载力的影响，正因如此，我国规范建议采用上升段加水平直线段的本构关系图。2.2 截面尺寸的影响 分析每个因素的影响程度时都取三组数据，而且

13、受弯构件承载力计算是建立在适筋梁基础上的，题中每组给定的钢筋面积均已经过计算，从而保证了不少筋也不超筋，即为适筋梁，然后计算得到三组结果，绘制出受弯承载力关于响应因素变化的三条曲线。2.2.1宽度b变化的影响三组数据梁高均为h=600，配筋面积均为=2000，钢筋强度等级均为HRB335，梁宽度从200增加到380，增加幅度均为20mm，混凝土强度等级为：第一组C25，第二组C30，第三组C35，每组均使截面宽度b变化，其他数据不变，承载力计算结果分别如表6、图6所示。表6 截面宽度b对抗弯承载力的影响bh/bMu幅度1幅度2数据组别3801.58290.2296.9301.60.76%0.6

14、4%0.50%13.99%11.04%9.24%3601.67288.0295.0300.10.88%0.68%0.64%13.21%10.45%8.69%3401.62285.5293.0298.20.99%1.0%0.64%12.22%9.70%8.00%3201.72282.7290.1296.31.11%1.04%0.75%11.12%8.61%7.32%3001.83279.6288.0294.11.30%1.05%0.89%9.91%7.82%6.52%2801.96276.0285.0291.51.55%1.21%1.04%8.49%6.70%5.58%2602.12271.82

15、81.6288.51.80%1.44%1.19%6.84%5.43%4.49%2401.29267.0277.6285.12.22%1.76%1.46%4.95%3.93%3.26%2202.50261.2272.8281.02.67%2.13%1.77%2.67%2.13%1.77%2002.75254.4267.1276.10%0%0%0%0%0%说明：增幅1是相对于前一个截面，增幅2是相对于最初截面。 a 第一组 b 第二组 c 第三组图6 截面宽度变化对受弯承载力的影响从三组数据的图和表可以看出，截面宽度从200mm增加到380mm，承载力只增加了10%左右，并且随着截面宽度的增加，承

16、载力增加逐渐减缓，所以宽度的变化对正截面抗弯承载力的提高较小。因此，增加宽度以提高正截面受弯承载力不是一种有效的方法。2.2.2 高度h变化的影响三组数据梁宽度均为300mm，配筋面积=2200，钢筋强度等级为HRB335，梁高从500mm增加到950mm，增加幅度取为50mm。混凝土强度等级为：第一组C25，第二组C30，第三组C35，每组均使截面高度h变化，其他数据不变，承载力计算结果如表7、图7所示。表7 截面宽度h对抗弯承载力的影响bhMu幅度1幅度2数据组别9503.17533.0543.2550.56.6%6.47%6.38%125.85%120.64%117.16%9003.00

17、500.0510.2517.57.07%6.92%6.81%111.86%107.23%104.14%8502.83467.0477.2484.57.60%7.43%7.31%97.88%93.82%91.12%8002.67434.0444.2451.18.23%8.03%7.89%83.90%80.42%78.11%7502.50401.0411.2418.58.97%8.73%8.56%69.92%67.02%65.097002.33368.0378.2385.59.85%9.56%9.36%55.93%53.61%52.07%6502.17335.0345.2352.510.93%10

18、.57%10.33%41.94%40.21%39.05%6002.00302.0312.2319.512.27%11.82%11.52%27.97%26.81%26.04%5501.83269.0279.2286.513.98%13.40%13.02%13.98%13.40%13.025001.67236.0246.2253.50%0%0%0%0%0% a 第一组 b 第二组 c 第三组图7 截面高度变化对受弯承载力的影响从三组数据的图和表可以看出，随着截面高度h的增大，受弯承载力M显著增大。截面高度由500mm增大至950mm时，截面受弯承载力Mu增大了120%左右，增大截面是一种比较有效的

19、方式。然而增大截面高度即增大了截面面积，导致增加水泥用量，成本提高。因此，提高截面高度是一种有效的方式。2.3 材料强度等级的影响根据计算公式（1.5-2b），材料强度等级的改变将会影响到截面破坏时的受压区高度的大小，详细分析如下。2.3.1 钢筋强度等级的影响钢筋共HPB300、HRB335、HRB400、HRB500四个级别，强度分别为fy =270、300、360、410N /mm2，分析强度变化的影响，仍取三组数据，三组数据钢筋面积均为=2200，混凝土强度等级均为C35，截面尺寸第一组为b*h=250*500，第二组b*h=300*700，第三组b*h=350*900，每组均使钢筋强

20、度变化，其它数据不变，分别计算其承载力，计算结果如表8、图8所示。表8 钢筋强度等级fy的影响钢筋fy -N /mm2AsMu增加幅度1增加幅度2数据组别HRB5004102000288.5465.9639.510.15%11.91%12.77%38.64%44.73%47.32%HRB400360 2000261.9416.3567.115.4%17.56%19.61%25.85%29.33%30.64%HRB335300 2000226.9354.1474.19.03%10.00%9.21%9.03%10.00%9.21%HPB300270 2000208.1321.9434.10%0%0

21、%0%0%0% a 第一组 b 第二组 c 第三组 图8 钢筋强度变化对受弯承载力的影响由三组数据的图和表可知，在四种不同钢筋强度情况下，随着钢筋强度等级的提高，截面抗弯承载力也在提高，并且提高幅度明显，最大增幅达到40%左右，但是需要指出的是钢筋随着强度提高，韧性在降低。2.3.2 混凝土强度等级的影响三组数据梁配筋面积均为=2400，强度等级为HRB335，截面尺寸分别为第一组250*550，第二组300*650，第三组350*800，混凝土强度等级依次取为C25、C30、C35、C40、C45、C50、C55、C60、C65、C70，每组均使混凝土强度变化，其他数据不变，其他条件均不变，

22、分析结果如表9、图9所示。表9 混凝土强度等级fc对正截面受弯承载力的影响混凝土AsMu增幅1增幅2组 别C702400320.6399.1522.60.22%0.13%0.096%17.48%11.05%6.96%C652400319.9398.6522.10.38%0.25%0.15%17.22%10.91%6.86%C602400318.7397.6521.30.47%0.33%0.21%16.78%10.63%6.69%C552400317.2396.3520.20.67%0.43%0.29%16.23%10.27%6.47%C502400315.1394.6518.71.35%0.8

23、9%0.58%15.46%9.79%6.16%C452400310.9391.1515.71.70%1.11%0.72%13.92%8.82%5.55%C402400305.7386.8512.02.62%1.71%1.09%12.02%7.62%4.79%C352400297.9380.3506.53.62%2.34%1.50%9.16%5.81%3.66%C302400287.5371.6499.05.34%3.39%2.13%5.34%3.39%2.13%C252400272.9359.4488.60%0%0%0%0%0% a 第一组 b 第二组 c 第三组图9 混凝土强度等级变化对受弯

24、承载力的影响由三组数据的图和表看出，随着混凝土强度的提高，正截面承载能力提高的幅度很小，所以提高混凝土强度等级并非提高承载力的较有效方式。2.4 配筋率的影响分析配筋率的影响时，采用由相对受压区高度表达的承载力公式，即 （1.5-4b） （1.5-5） 分析时，三组数据梁截面尺寸为300*700，钢筋强度等级为HRB335，混凝土强度等级为分别为C25、C30、C35，配筋率变化范围为0.2%1.6%，且增加幅度为0.2%，每组数据仅控制配筋率变化，其他因素不变。由式（1.5-5）确定截面的最小配筋率为0.002和最大配筋率0.0176，然后以步距为0.003，改变配筋率，其他条件均不改变。分析结果见表10