高等数学第7章微分方程解答

1、习题7-2 可分离变量的微分方程1求下列微分方程的通解：（1）；解 原方程为，分离变量得 两端积分得，（C为任意常数）即为原方程的通解。（2）；解 将原方程分离变量，得 两端积分得 或 故原方程的通解为（C为任意常数）。2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）；解 将原方程分离变量，得 两端积分得， 即 故原方程的通解为,代入初始条件,得.于是,所求之特解为.（2）解 将原方程分离变量，得 两端积分得， 即 故原方程的通解为,代入初始条件,得.于是,所求之特解为.3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.解 设曲线方程为,切点为.由条件,切线

2、在x轴与y轴上的截距分别为2x与2y,于是切线的斜率,分离变量得,积分得,即.代入初始条件,得,故曲线方程为.习 题 7-3 齐次方程 1、求下列齐次方程的通解 （1）解 (a) 当时,可将方程改写成.令,即,所以有.则原方程成为.分离变量,得.两边积分得,即.将代入上式整理,得通解为;(b) 当时,方程两边同除以,则原方程可改写成,即(因为时,),也就是.与x>0的情况一样)所以,对任意的,方程的通解为(C为任意常数).（注:如果C=0,则由原方程知,即或,若,则原方程变为,只有当时成立;若(A为常数),则原方程变成,当A<0时方程有解.）（2）解 原方程可改写成.令,即,所以有

3、.则原方程成为.分离变量,得.两边积分得,即.将代入上式,得通解为(C为任意常数).2. 求齐次方程满足所给初始条件的特解解 原方程可写成.令,即,有,所以原方程成为.分离变量,得,积分得,即代入并整理,得通解为.由初始条件,得.于是所求特解为.习 题 7-4 一阶线性微分方程1、求下列微分方程的通解（1） （2） （3）.解 (1) 由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为(2) 将原方程改写成.由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为 .(C为任意常数)(3) 将原方程改写成,由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为.即 .(C为任意常数)(注: ,当时,去掉绝对值即得上述解答过程.而当时,

4、则与上述结果一样)2、求微分方程满足所给初始条件的特解。解 由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为.代入初始条件x=0,y=0得C=0.故所求特解为 .3、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于。解 设曲线方程为,由题目条件得,即由一阶线性微分方程的通解公式得, 由初始条件得.故所求曲线的方程为 .4、用适当的变量代换将微分方程化为可分离变量的方程，然后求出通解。解 令,则,且原方程变为.分离变量得.两边积分得,即.代入,得原方程的通解为(C为任意常数).习 题 7-4 可降阶的高阶微分方程1、求下列微分方程的通解 （1）解 ，(C1,C2为任意常数) （2）解 令，则，且

5、原方程化为，分离变量，得。两边积分得，即，也就是。两边再积分，得原方程的通解为。(C1,C2为任意常数)（3）解 令，则，且原方程化为，当时，有。分离变量，得两边积分得，即，即 。两边积分得所以原方程的通解为。(C1,C2为任意常数)（注：如果p=0，则y为常数函数，也是原方程的解！）2、求微分方程满足所给初始条件的特解。 解 令，则，且原方程化为，分离变量，得，两边积分得。代入初始条件，得。从而有，即两边再积分得 。代入初始条件，得，故所求特解为。3、试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线。解 因为直线在（0，1）处的切线斜率为，由题目条件知，所求积分曲线是初值问题：的解。对两边积分得，。

6、代入初始条件，得。从而有。两边再积分得 。代入初始条件，得，故所求积分曲线的方程为。习 题 7-6 常系数齐次线性微分方程1、求下列微分方程的通解（1） （2）（3） （4）.解 (1) 特征方程为,特征根为,故方程的通解为 (为任意常数).（2）特征方程为,特征根为,故方程的通解为 (为任意常数).（3）特征方程为,特征根为,故方程的通解为 (为任意常数).(4) 特征方程为,即,所以特征根为,故方程的通解为(为任意常数).2、求微分方程满足所给初始条件的特解。解 解特征方程，得特征根为。故方程的通解为，且有。代入初始条件，解得。故所求的特解为。习 题 7-6 常系数非齐次线性微分方程1、求

7、下列微分方程的通解（1）解 特征方程为,特征根为,故对应的齐次方程的通解为.又不是特征方程的根,令是原方程的一个特解,代入原方程得,消去,可得,即.所以原方程的通解为(为任意常数).（2）解 特征方程为,特征根为,故对应的齐次方程的通解为.又是特征方程的单根,设是原方程的一个特解,代入原方程并整理得,比较系数得,即.所以原方程的通解为(为任意常数).（3）解 对应齐次方程的特征方程为，解得，故对应的齐次方程的通解为因是特征方程的单根，故可设是原方程的一个特解，代入方程并消去得，比较系数，得，即 。故原方程的通解为(C1,C2为任意常数)。2、求微分方程满足所给初始条件的特解。解 因为特征方程的

8、特征根为,故对应的齐次方程的通解为.因不是特征方程的根,故可设是原方程的一个特解,代入方程得,即.于是原方程的通解为且有.代入初始条件,有解得所以,满足初始条件的特解为.3、设函数连续，且满足 ，求。解 由所给方程可得，在该方程两端对x求导，得，即 （1）将x=0代入方程（1）得。又在方程（1）的两端对x求导，得令，则有初值问题 （2）上述二阶线性常系数非齐次微分方程的特征方程为，解得，而不是特征方程的根，故令是方程（2）得特解，代入方程（2）并消去，得。于是方程（2）有通解且有。代入初始条件，有，即。于是得。复习题七1、 求微分方程，满足所给初始条件的特解。解 所给方程为可分离变量的微分方程

9、。分离变量得两端积分得，即。代入初始条件，有，所以，于是即是所求之特解。2、求下列齐次方程的通解（1）； （2）.解：原方程可改写，令，则，分离变量，得 ，两端积分 ，将代入并化简，得通解.（2）原方程可改写成.令,即,所以有.代入原方程得,整理并分离变量,得.两边积分得,即,也就是.将代入上式,得原方程的通解为 (C为任意常数)3、求微分方程，满足所给初始条件的特解：解：令，则，分离变量得 ，两端积分，得，将代入并化简，得通解，由初始条件，求得，所求特解为.4、设有连接点和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围图形的面积为，求曲线弧的方程.解：设所求曲线方程为，由题意，等式两边对求导有，整理得微分方程，此访程为一阶线性非齐次方程，由通解公式，得通解为，又由曲线过，可知，故所求曲线方程为 5、求下列微分方程的通解（1）；解 （2）.解 6、用适当的变量代换将方程化为可分离变量的方程，然后求出通解。7、求下列微分方程的通解：（1）；解 （2）解 令,则,原方程化为.分离变量,得.两边积分得,故又分离变量,得.当时,原方程为.两边积分得.即,两边平方得(其中);当时,原方程为.两边积分得.即,两边平方得(其中);综上讨论知,原方程的通解为 (为不等