同济大学大一高等数学期末试题精确答案

1、学年第二学期期末考试试卷课程名称：高等数学试卷类别：A 卷考试形式：闭卷考试时间：120 分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学 A （考试性质：期末统考（A 卷）分，每小题 3 分）1.设函数f （x, y）在P（Xo,y）的两个偏导fx（Xo,y）,fyEy）都存在，则2 23 设是圆柱面x y -2x及平面z=0, z=1所围成的区域，则oO4.若an（x -1）n在x-1处收敛，则此级数在x=2处（n =1A.条件收敛B.绝对收敛C .发

2、散 D.敛散性不能确定ix -yz = 25.曲线22在点(1，1，2)处的一个切线方向向量为()I z = x + y3, 4)B. (3, -1 , 4) C. (-1, 0, 3)D. (3, 0, -1)、填空题（共 15 分，每小题 3 分）1 .设x 2y _2xyz = 0,贝H zx(1,1_.e In x2 .交 换I = ,( dx f(x, y)dy的积分次序后，1=_ .23设u =2xy -z，则u在点M(2,-1,1)处的梯度为 _ .oOxn题号（型）-一-二二三四核分人得分总分评卷人A.f (x, y)在P连续B .f(x, y)在P可微C .limf(x, y

3、)及limf (x0, y)都存在X=x0yT0ln x2.右z = y，则dz等于（).Inx -In x -In x -A.yIn yy In yB.y In yxyXlim(x,y)(x(),yo)f (x,y)存在In x .inxy In yC. y In ydxdyxIn x .y In ydxIn x .y In xydy一、单选题（共 15（ ）inf (x, y, z)dxdydz =().Q二22cosv1A.o屮。 dr0f(r cos,rsi,z)dz2 cos1Jordr J。f (r cos日，rsin,z)dz二2. 2cosj1B 气 di。rdr0f (rco

4、s,rsinz)dz：、2 cosx1D.弋0rdr0f (r cosr sin z)dzA.(-1,D.学年第二学期期末考试试卷x4. 已知ex，则xe公=_n卫n!5. 函数z =x3y3_3x1 2_3y2的极小值点是 _.三、解答题(共 54 分，每小题 6-7 分)y& cz1.(本小题满分 6 分)设z = yarctan，求.，xfix cy2 2 22.（本小题满分 6 分）求椭球面2x 3y z9的平行于平面2x-3y 2z 1 =0的切平面方程，并求切点处的 法线方程7 分）求函数z 仝 寸在点（1,2）处沿向量；=丄；方向的方向导数。2 214.（本小题满分 7 分）将f

5、（x）展开成X-3的幕级数，并求收敛域。3.（本小题满分学年第二学期期末考试试卷5.（本小题满分 7 分）求由方程2x22y2 z2 8yz - z 8 = 0所确定的隐函数z = z（x, y）的极值。6.（本小题满分 7 分）计算二重积分I i（x2y2）d；，D由曲线x =1-y2, y =-1,y =1及x - -2围成.D7.（本小题满分 7 分）利用格林公式计算Lxy2dyx2ydx，其中L是圆周x2y2= a2（按逆时针方向）8.（本小题满分 7 分）计算.1.1.1xydxdydz，其中】是由柱面x2y2= 1及平面z=1,x = 0, y = 0所围成且在第卦限内的区域.四、

6、综合题（共 16 分，每小题 8 分）O0QOQ01.（本小题满分 8 分）设级数 aUn,，Vn都收敛，证明级数v （UnVn）2收敛。学年第二学期期末考试试卷n * nn T学年第二学期期末考试试卷2.（本小题满分 8 分）设函数f （x, y）在R2内具有一阶连续偏导数，且2x,ex证明曲线积分2xydx f （x, y）dy与路径无关.若对任意的t恒有（t,i）（i,t）（0 0）2xydx f （x, y）dy二（。）2xydx f （x, y）dy，求f （x, y）的表达式.一、 单选题二、 填空题（共 15 分，每小题 3 分）：1.C（共 15 分，每小题 3 分）1参考答案

7、及评分标准2 D 3 C4B 5 A1.-12.IT T=Qdygyf (x, y)dx3.2i 4j2k4f (-1)nxn1n =05. (2,2)三、解答题dz1 .解：一:zy=arcta n+.:yx（共 54 分，每小题 6-7 分）2一 一亠 7；（3分）x x yxy 2x y(6 分).2.解：记切点（xo, yo,zo）则切平面的法向量为n =2（2xo,3yo, %）满足:2x03y02一-3(-1,1,-2)(3切平面：2x-3y 2z =9or-9（4 分）， 法线方程分别为-z，切点为:2x 12(1,-1,2)或x -1 y 12-33解：I f(1,2)= (2

8、,4)(3 分),边=1 234解:f (x)口3 (x -3)1(守)y-1-3因为(-1)nxn1n =0（-1, 1）,所以=”(宁1xn 1n)(x-3),其中n=0.x-3-113当x = 0时，级数为 7 丄发散；当x = 6时，级数为7 （-1）n丄发散，故丄=7（-1）n（）nhx-3）n,（0,6）,八3Xn=03，即0：x：6.（5 分）n =03xn=0学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷:z4x次1 _2z _8y5解：由程4（y+2z）:y 1 -2z -8y再代入 2x22y2z28yz_z 8=0,=0,得到x=0与y2z=0,（ 2分）=0得到7z2

9、 z -8 =0即z =1,-8。7由此可知隐函数z =z(x, y)的驻点为（2）与（0,176）。（4分）x U2z-8y，j2z:x:y在（0, -2）点,4162_4，可知在驻点（0,-2）与（0,16）有H .0。（5 分）.y21-2z-8y7-2z4_z =40，所以（0,一2）为极小值点，极小值为Z = 1; （ 6 分）:x15-2z : 0，所以（0,16）为极大值点，极大值为z - -8157y2_ x _ 0，贝U D二D1D2. （2 分）-1 _ y _1x2y2）d；-（x2y2）d； （ 4 分）1D21一0一2=0，刍=1，因此8，因此72兰x兰06.解：记D

10、1-yD2:、一1 Ey兰1（x2y2）d；-（DD在（0,；x2-2=dy （x2y2）dx-7. 解：L所围区域D:x2y2.132a2,由（7分）xyyd x=2 2:（xy ）：（-xy）Dx:y2）dxdy=II（XD22nay ）dxdy=0rrd r4. （78. 解：选取柱面坐标xydxdydz二；dz 2 11r co rsin rdr 0 0计分)n =1（4 分）算所以n1=2- sinR 凸1r3dr=(-02 0四、综合题(共 16 分，每小题 8 分)1.证明：因为lim 山=0, lim Vn=0,cos2日）4）11/8.（7（2分）故存在 N，当n N时，(UnVn)2= u2 证明：因为=2x，且卫切excynVn2UnVn3Un,2x，故曲线积分2xyd f (x, y)dy与路径无关.学年第二学期期末考试试卷因此设f (x,y) =x3 g(y)，从而(t,i)ti22i(0,0)2xydx f(x, y)dy0Odxt g(y)dy=