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文档简介
1、学年第二学期期末考试试卷课程名称:高等数学试卷类别:A 卷考试形式:闭卷考试时间:120 分钟适用层次:适用专业;阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不 得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。课程名称:高等数学 A (考试性质:期末统考(A 卷)分,每小题 3 分)1.设函数f (x, y)在P(Xo,y)的两个偏导fx(Xo,y),fyEy)都存在,则2 23 设是圆柱面x y -2x及平面z=0, z=1所围成的区域,则oO4.若an(x -1)n在x-1处收敛,则此级数在x=2处(n =1A.条件收敛B.绝对收敛C .发
2、散 D.敛散性不能确定ix -yz = 25.曲线22在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为()I z = x + y3, 4)B. (3, -1 , 4) C. (-1, 0, 3)D. (3, 0, -1)、填空题(共 15 分,每小题 3 分)1 .设x 2y _2xyz = 0,贝H zx(1,1_.e In x2 .交 换I = ,( dx f(x, y)dy的积分次序后,1=_ .23设u =2xy -z,则u在点M(2,-1,1)处的梯度为 _ .oOxn题号(型)-一-二二三四核分人得分总分评卷人A.f (x, y)在P连续B .f(x, y)在P可微C .limf(x, y
3、)及limf (x0, y)都存在X=x0yT0ln x2.右z = y,则dz等于().Inx -In x -In x -A.yIn yy In yB.y In yxyXlim(x,y)(x(),yo)f (x,y)存在In x .inxy In yC. y In ydxdyxIn x .y In ydxIn x .y In xydy一、单选题(共 15( )inf (x, y, z)dxdydz =().Q二22cosv1A.o屮。 dr0f(r cos,rsi,z)dz2 cos1Jordr J。f (r cos日,rsin,z)dz二2. 2cosj1B 气 di。rdr0f (rco
4、s,rsinz)dz:、2 cosx1D.弋0rdr0f (r cosr sin z)dzA.(-1,D.学年第二学期期末考试试卷x4. 已知ex,则xe公=_n卫n!5. 函数z =x3y3_3x1 2_3y2的极小值点是 _.三、解答题(共 54 分,每小题 6-7 分)y& cz1.(本小题满分 6 分)设z = yarctan,求.,xfix cy2 2 22.(本小题满分 6 分)求椭球面2x 3y z9的平行于平面2x-3y 2z 1 =0的切平面方程,并求切点处的 法线方程7 分)求函数z 仝 寸在点(1,2)处沿向量;=丄;方向的方向导数。2 214.(本小题满分 7 分)将f
5、(x)展开成X-3的幕级数,并求收敛域。3.(本小题满分学年第二学期期末考试试卷5.(本小题满分 7 分)求由方程2x22y2 z2 8yz - z 8 = 0所确定的隐函数z = z(x, y)的极值。6.(本小题满分 7 分)计算二重积分I i(x2y2)d;,D由曲线x =1-y2, y =-1,y =1及x - -2围成.D7.(本小题满分 7 分)利用格林公式计算Lxy2dyx2ydx,其中L是圆周x2y2= a2(按逆时针方向)8.(本小题满分 7 分)计算.1.1.1xydxdydz,其中】是由柱面x2y2= 1及平面z=1,x = 0, y = 0所围成且在第卦限内的区域.四、
6、综合题(共 16 分,每小题 8 分)O0QOQ01.(本小题满分 8 分)设级数 aUn,,Vn都收敛,证明级数v (UnVn)2收敛。学年第二学期期末考试试卷n * nn T学年第二学期期末考试试卷2.(本小题满分 8 分)设函数f (x, y)在R2内具有一阶连续偏导数,且2x,ex证明曲线积分2xydx f (x, y)dy与路径无关.若对任意的t恒有(t,i)(i,t)(0 0)2xydx f (x, y)dy二(。)2xydx f (x, y)dy,求f (x, y)的表达式.一、 单选题二、 填空题(共 15 分,每小题 3 分):1.C(共 15 分,每小题 3 分)1参考答案
7、及评分标准2 D 3 C4B 5 A1.-12.IT T=Qdygyf (x, y)dx3.2i 4j2k4f (-1)nxn1n =05. (2,2)三、解答题dz1 .解:一:zy=arcta n+.:yx(共 54 分,每小题 6-7 分)2一 一亠 7;(3分)x x yxy 2x y(6 分).2.解:记切点(xo, yo,zo)则切平面的法向量为n =2(2xo,3yo, %)满足:2x03y02一-3(-1,1,-2)(3切平面:2x-3y 2z =9or-9(4 分), 法线方程分别为-z,切点为:2x 12(1,-1,2)或x -1 y 12-33解:I f(1,2)= (2
8、,4)(3 分),边=1 234解:f (x)口3 (x -3)1(守)y-1-3因为(-1)nxn1n =0(-1, 1),所以=”(宁1xn 1n)(x-3),其中n=0.x-3-113当x = 0时,级数为 7 丄发散;当x = 6时,级数为7 (-1)n丄发散,故丄=7(-1)n()nhx-3)n,(0,6),八3Xn=03,即0:x:6.(5 分)n =03xn=0学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷:z4x次1 _2z _8y5解:由程4(y+2z):y 1 -2z -8y再代入 2x22y2z28yz_z 8=0,=0,得到x=0与y2z=0,( 2分)=0得到7z2
9、 z -8 =0即z =1,-8。7由此可知隐函数z =z(x, y)的驻点为(2)与(0,176)。(4分)x U2z-8y,j2z:x:y在(0, -2)点,4162_4,可知在驻点(0,-2)与(0,16)有H .0。(5 分).y21-2z-8y7-2z4_z =40,所以(0,一2)为极小值点,极小值为Z = 1; ( 6 分):x15-2z : 0,所以(0,16)为极大值点,极大值为z - -8157y2_ x _ 0,贝U D二D1D2. (2 分)-1 _ y _1x2y2)d;-(x2y2)d; ( 4 分)1D21一0一2=0,刍=1,因此8,因此72兰x兰06.解:记D
10、1-yD2:、一1 Ey兰1(x2y2)d;-(DD在(0,;x2-2=dy (x2y2)dx-7. 解:L所围区域D:x2y2.132a2,由(7分)xyyd x=2 2:(xy ):(-xy)Dx:y2)dxdy=II(XD22nay )dxdy=0rrd r4. (78. 解:选取柱面坐标xydxdydz二;dz 2 11r co rsin rdr 0 0计分)n =1(4 分)算所以n1=2- sinR 凸1r3dr=(-02 0四、综合题(共 16 分,每小题 8 分)1.证明:因为lim 山=0, lim Vn=0,cos2日)4)11/8.(7(2分)故存在 N,当n N时,(UnVn)2= u2 证明:因为=2x,且卫切excynVn2UnVn3Un,2x,故曲线积分2xyd f (x, y)dy与路径无关.学年第二学期期末考试试卷因此设f (x,y) =x3 g(y),从而(t,i)ti22i(0,0)2xydx f(x, y)dy0Odxt g(y)dy=
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