高等数学8-3全微分

1、一、全微分的定义二*、全微分在近似计算中的应用8.3 全微分及其应用一、全微分的定义函数f(x, y)对x的偏微分函数f(x, y)对y的偏增量函数f(x, y)对y的偏微分v全增量 zf(xx, yy)f(x, y). v偏增量与偏微分 f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, 函数f(x, y)对x的偏增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 f(xx, y)f(x, y) f(x, yy)f(x, y) fx(x, y)x fy(x, y)yv全微分的定义其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数zf(x,

2、y)在点(x, y)可微分, 而AxBy称为函数zf(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dzAxBy. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D内可微分. 如果函数zf(x, y)在点(x, y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y) 可表示为) )()( )(22yxoyBxAz, v可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续. 这是因为, 如果zf(x, y)在点(x, y)可微, 则 zf(xx, yy)f(x, y) AxByo(),因此函数zf(x, y)在点(x, y)处连续. 0lim0z, 于是),(),(lim),(lim0)0

3、 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx从而),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx. v可微分的必要条件v应注意的问题v可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续. 如果函数zf(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导 数xz、yz必定存在, 且函数 zf(x, y)在点(x, y)的全微分为 yyzxxzdz. 偏导数存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. v可微分的充分条件则函数在该点可微分. 如果函数 zf(x, y)的偏导数xz、y

4、z在点(x, y)连续, v叠加原理 按着习惯, x、y分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的微分, 这样函数zf(x, y)的全微分可写作 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如uf(x, y, z)的全微分为dyyzdxxzdz. dzzudyyudxxudu. 例1 计算函数zx2yy2的全微分. 解 所以 例2 计算函数zexy在点(2, 1)处的全微分. 解 所以 dz2xydx(x22y)dy. dze2dx2e2dy. 设 zf(x, y), 则dyyzdxxzdz. xyxz2, , yxyz22,

5、 因为 因为 xyyexz, xyxeyz, 212exzyx, 212exzyx 2122eyzyx, 解 设 uf (x, y, z), 则dzzudyyudxxudu. 例3 例 3 计算函数yzeyxu2sin的全微分. 1xu, 因为 1xu, yzzeyyu2cos21, , yzyezu, dzyedyzeydxduyzyz)2cos21(. 所以22ln(1)1,2zxyxy练练习习：求求函函数数当当时时的的全全微微分分. .多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导二*、全微分在近似计算中的

6、应用 当函数zf(x, y)在点(x, y)的两个偏导数fx(x, y), fy(x, y)连续, 并且|x|, |y|都较小时, 有近似等式zdzfx(x, y)xfy(x, y)y , 即 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算. 例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化的近似值. 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V, 则有 V r2h. 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3. 2201000.052

7、02(1) VdV 2rhrr2h 200 (cm3), VrrVhh f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, 已知r20, h100, r0. 05, h1, 根据近似公式, 有 例5 计算(1.04)2.02的近似值. (1.04)2.02 所以 x yyx y1xx yln x y, f(xx, yy) f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y1.08. 1221210.0412ln10.02 解 设函数 f(x, y)x y. 显然, 要计算的值就是函数在 x1.04, y2.02时的函数值f(1.

8、04, 2.02). f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, 因为 取x1, y2, x0.04, y0.02. .多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；.多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；.多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3