第1章函数与极限习题解答

1、精品文档第1章函数与极限习题解答1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定.例如，当口。时，ot(x)=2x,P(x)=3x都是无穷小，但lim给)=2,誉)不是x0：(x)3(x)无穷小.2.函数ycosx在(ho,代)内是否有界？这个函数是否为当xt+*时的无穷大？为什么？解函数ymcosx在(-oo,也c)内无界.这是因为VM,在(-«,也)内总能找到这样的x,使得|y(x)|M.例如y(2k二)=2k二cos2k二"2k二(k=0,1,2,),当k充分大时，就有|y(2kji)|>M.当xt十比时，函数y=xcosx不是无穷大.这是因为VM>

2、0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|y(x)|川.例如y(2k二一)二(2k二一)cos(2k二一)=0(k=0,1,2,),222对任何大的N,当k充分大时，总有x=2kn+HN,但y(x)|=0<M.2113.证明：函数ysin在区间(0,1上无界，但这函数不是当10时的无穷大.xx证明函数y=1sin1在区间(0,1上无界.这是因为xxVMM,在(0,1中总可以找到点xk,使y(xk)>M.例如当1xk=r(k=0,1,2,)n2k二一2时，有,ny(xk)=2k.一，2当k充分大时，y(xk)>m.当xt0+时，函数y=1sinl不是无穷大.这是因为x

3、xVM>0,对所有的6也总可以找到这样的点xk,使0<xk<6,但y(xk)<M.例如可取1 、xk=(k=0,1,2,),2k二当k充分大时，xkd,但y(xk)=2k；!sin2kg0<M.4.计算下列极限：x21呵云F;(2)limx2'x 2x2 -x -1x2 xlim ，x . x4 -3x2 -1T 1 = limx=-x ' 二2-2 x x2x2 xlim ；5x一 x4 -3x2 -1=0 （分子次数低于分母次数,极限为零）x2 x4或limx一x=lim-xj二x4-3xn1xJ：11-x3解2-占啊武郡汽r-xm1这&quo

4、t;务一期状作1(4)lim°x2sinx;c1一.21一一、一x2sin=0（当0时，x无否小，而sin是有界变量）.limarcta"x)：xlimarctanx=lim-arctanx4(当一四时，1是无穷小，而arctanx是有界变量).xxx>:xx(6)limxcotx;x-0解 lim xcotx =lim x0x 0sinxxcosx=lim lim cosx=1.x )0 sin x x_0 xim01-cos2xxsinx ;精品文档22x解法1lxm01 -cos2xxsin x1 -cos2xlim；x 0 x2解法2lim上co比=lim颉=

5、2lim皿=2x0xsinxx0xsinxxTx（8）lim2nsin卷（x为不等于零的常数）.nF：2一xsin解lim2nsin=limx=xn2nnF：x1(9)州0(12x)x；11n1.解1叫(12x)x=lim°(12x)2x=lim°(12x)玄2=e.(10)lim(S)2x；x)：x2=e2.解lim(3)2x_|lim(1.l)xx-).：xx)：x5 .利用极限存在准则证明：1nim c所以当xt1时，1诙和(1x2)是同阶的无穷小，而且是等价无穷小n=1；证明因为1 <11 +1 <1 +-,而 n nlim 1=1 且 lim (1+1

6、)=1 ,由极限存在准则I, lim i：1/=1 . n n1(2) nim n K1+ n2 2二证明因为n2n2 . n 二+c+n2"Mn22二n2n二n2，呵n2所以 lim x。1=1. x111.limn-二1n)：n2二n22二n2,n二证明因为1_1<口卜工，所以1_x<xtk1.又因为lim/x)=limj=1,根据夹逼准则xxxxx-0x0有limx111=1.6 .无穷小概念题当xt0时.2xx2与x2-x3相比.哪一个是高阶无穷小?因为lim23x -x二lim2x -xx)02xxxo 2 -x二0 ,所以当xt0时.x2r3是高阶无穷小，即x

7、2r3=o(2xx2).312(2)当xT1时.无否小1x和(i)1r,(ii)一(1x)是否同阶？是否等价?232、解(i)因为lim1nim(x)(xx)=lim(1+x+x2)=3,x11-xx11-xx1所以当xt1时，1-x和1-x3是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.1(1-x2)1(ii)因为lim=lim(1+x)=1x11x2x1，7.利用等价无穷小的性质.求下列极限：解（1）limtan3x=lim3x=3.x02xx必2sin(xn)xn1=0n =mn m .n :二 m lXmotan x -sin x3sin xsin x( -1)cosxsin x1 - cosx2

8、cosxsin x1 2-x: lim 2x >0 x cosx()xm0(sinx)m"?”而（4）因为所以(c-os= -2 tax1 sin x -1 sinx - tanxx2 -1)(. 1 sin x -1)2.xsi-n2sin x x (x- 0),21 3x丁x x328.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点充或改变函数的定义使它连续：x -1（1） y =2, x=1, x=2；x -3x 2(xt 0),则补解y= 2x T=(x41)(x-1) .因为函数在x=2和x=1处无定义，所以x妥 和x=1是x -3x 2 (x

9、-2)( x -1)函数的间断点.x2 -1因为 lim y =lim 2x2x_2x 3x 2生，所以x=2是函数的第二类间断点因为吧1y =叫着=2xM处，令y=-2,则函数在x=1所以x=1是函数的第一类间断点，并且是可去间断点.在(2)ytanx处成为连续的.Ji,x=kn x=kn+ (k=G, ±1, ±2,)；2解函数在点x小几代正刁和x=kn+卫（k三Z）处无定义,因而这些点都是函数的间断点2因 lim xx *二tanx=（k力），故x次阳k川）是第二类间断点；x因为lim=1x-Gtanx令xAn+上时，y=0,则函数在x=kn+2处成为连续的.2221

10、(3)y=cos,x=0;x解因为函数y=cos2在x=0处无定义，所以x=0是函数y=cos2的间断点.又因为limcos2-不存在,所以x4是函数的第二类间断点x-13-xx<1,xM。x1因为limx1f(x)=lim(x_1)=0limf(x)=lim3x)=2,所以x=1是函数的第x_1-x_1,x1类间断点，跳跃间断点。22n9.讨论函数f(x)=lim1二x厂x的连续性，若有间断点，判别其类型.nF：1x2nd2n-1-x斛f(x)=lim2rx=nF：1x|x|1|x|=1.|x|;1在分段点x=1处，因为limf(x)=lim(x)K,lim+f(x)=lim0=一1，

11、所以x=1为x一x一x-1x-1函数的第一类间断点，跳跃间断点。在分段点x=1处，因为limf(x)=limx=1,lim,f(x)=lim/-x)=-1,所以x=1为函数x1-x1-x1'x>1-的第一类间断点，跳跃间断点。10.求下列极限：解lim1-lim(*x1一1爪x11)-limnlim_1_x。xx。x(；x11)x。x(.x11)x>0.x11(2)lxm15x-4-Jxx-1=limx1(.5x-4-；x)(,5x-4x)(x-1)(5x-4、x)=m 4x -4xm1 (x -1)(, 5x二4 Jx)7x2 x)( x2 x ( x2 x '

12、x2 -x)44c=lim=2-x15x-4.x51-412-x)=limj二1(JxI1=1.1)xx(4)lim(1)2=limxJ：xx_j：(1)x12=e12n.e(5)|imQ(13tan2x)cot1x=lim1.(13tan2x)3tan2x3=e3x-0.因为x-13, =?22(6)(受/=(16xIL36xlim(1)4=ex，二6x所以lim(-x)2=ex二6x3x36_x6-x-尸6x33limJ'6x32lxmox.1sin2x-x=limx)0(1tanxx(1sin2x-1)(1sin2x1)(1tanx.1sinx)lim(tanx-sinx)(V1

13、+sin2x+1)_痴2tanx(1-cosx)x0xsin2x(,1tanx.1sinx)x02xsin2x2,xtanx1=lim22=一。x0xx211.设函数f(x)=fexx<0a+xx之0应当如何选择数a,使得f(x)成为在(q,-)内的连续函数?解要使函数f(x)在(q,收)内连续,只须f(x)在x=0处连续,即只须"m_of(x)=lim°f(x)=f(0)=a.因为Jjmqf(x)=ljmexg,Jimf(x)=lim(a+x)=a,所以只须取a=1.12.证明题(1)证明方程x5Tx=1至少有一个根介于1和2之间.证明设f(x)=x5-3x-1,则

14、f(x)是闭区间1,2上的连续函数.因为f(1)=3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理，在(1,2)内至少有一点工(1<、2),使f(S=0,即x上是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根.5因此方程x-3xN至少有一个根介于1和2之间.(2)证明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b.证明设f(x)=asinx4b_x,则f(x)是0,a4b上的连续函数.f(0)力，f(ab)=asin(ab)b-(ab)=asin(ab)-1<0.若f(aW)斗，则说明x=a他就是方程x=asinx+b的一个不超过aW的根；若f(aW)<0,则f(0)f(aW)<0,由零点定理，至少存在一点k(0,a+b),使f(3斗，这说明x=。也是方程x=asinx4b的一个不超过a4b的根.总之，方程x=asinx叱至少有一个正根，并且它不超过a地.(3)若f(x)在a,b上连续，a<xi<x2<<xn<b,则在xi,xn上至少有一点之使f()f(xi)f(x2)Y(xn)n证明显然f(x)在xi,xn上也连续.设M和m分别是f(x)在xi,xn上的最大值和最小