两角和与差的余弦

1、3.1和角公式两角和与差的余弦学习目标：1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式(重点)3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值(重点)自 主 预 习·探 新 知两角和与差的余弦公式C：cos()cos_cos_sin_sin_.C：cos()cos_cos_sin_sin_.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角、终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？提示依据任意角三角函数的定义得到的以点P为例，若设P(x，y)，则sin ，cos ，所以xcos ，ysin ，即点P坐标为(co

2、s ，sin )基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)，R时，cos()cos cos sin sin .()(2)，R时，cos()cos cos sin sin .()(3)存在实数，使cos()cos cos 成立()(4)coscossinsincos 2.()答案(1)×(2)(3)(4)×2cos 22°cos 38°sin 22°sin 38°的值为()【导学号：79402110】A.B.C. D.A原式cos (22°38°)cos 60°.3化简cos()cos

3、sin()sin 为()Asin(2) Bcos(2)Ccos Dcos C原式cos()cos .4cos (40°)cos 20°sin (40°)sin (20°)_.解析原式cos(40°)·cos(20°)sin (40°)·sin(20°)cos40°(20°)cos(60°)cos 60°.答案合 作 探 究·攻 重 难利用两角和与差的余弦公式化简求值(1)cos 345°的值等于()A.B.C. D(2)化简下列各式：c

4、os(21°)cos(24°)sin(21°)sin(24°)；sin 167°·sin 223°sin 257°·sin 313°.思路探究利用诱导公式，两角差的余弦公式求解解析(1)cos 345°cos(360°15°)cos 15°cos(45°30°)cos 45°cos 30°sin 45°sin 30°.答案C(2)原式cos21°(24°)cos 45°

5、;，所以原式；原式sin(180°13°)sin(180°43°)sin(180°77°)·sin(360°47°)sin 13°sin 43°sin 77°sin 47°sin 13°sin 43°cos 13°cos 43°cos(13°43°)cos(30°).规律方法1在两角和与差的余弦公式中，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体2在两角和与差的余

6、弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos ；(2)sin 460°sin(160°)cos 560°cos(280°)；(3)cos(20°)cos(40°)sin(20°)sin(40°)解(1)cos coscos coscos.(2)原式sin 100°sin 160°cos 200°cos 280°

7、sin 80°sin 20°cos 20°cos 80°(cos 80°cos 20°sin 80°sin 20°)cos 60°.(3)cos(20°)cos(40°)sin(20°)·sin(40°)cos(20°)(40°)cos 60°.给值(式)求值(1)已知cos ，则cos_.(2)，为锐角，cos()，cos(2)，求cos 的值思路探究(1)可先求得sin ，再用两角差的余弦公式求cos；(2)可考虑拆角即(

8、2)()来求cos .解析(1)因为cos ，所以sin ，所以coscos cos sin sin ××.答案(2)因为，为锐角，所以0<<.又因为cos()，所以0<<，所以0<2<.又因为cos(2)，所以0<2<，所以sin()，sin(2)，所以cos cos(2)()cos(2)·cos()sin(2)·sin()××.规律方法给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据

9、需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：,()，()，(2)()，,()()，()()等.(3)求解.结合公式C±求解便可跟踪训练2已知cos ，cos()，且，求cos 的值.【导学号：79402111】解，(0，)又cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin ××.已知三角函数值求角已知，均为锐角，且cos ，cos ，求的值思路探究本题可先求出cos()的值，结合的范围，再求出的值解，均为锐角，cos ，cos ，sin ，sin ，cos()cos cos sin sin ×&

10、#215;.又sin <sin ，0<<<，<<0.故.规律方法1这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解2确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定跟踪训练3设，是锐角，sin ，cos()，求证：.证明由0<<，0<<，知0<<，又cos()，故sin().由sin ，可知cos ，sin sin()sin()cos cos()sin ××，.利用角的变换求三角函数值探究问题

11、1若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？提示cos cos()cos()cos sin()sin .2利用()可得cos 等于什么？提示cos cos()cos cos()sin sin()3若cos cos a，sin sin b，则cos()等于什么？提示cos().若0<<，<<0，cos，cos，则cos的值为()A. BC. D思路探究利用角的交换求解，.解析0<<，<<0，<<，<<，又cos，cos，sin，sin，coscoscoscossinsin××.故选C.答案C规律方法巧妙变

12、角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：单角变为和(差)角，如()，等；倍角化为和(差)角，如2()()等等.跟踪训练4设cos，sin，其中，求cos 的值.【导学号：79402112】解，sin，cos，cos coscoscossinsin××.当 堂 达 标·固 双 基1cos 45°cos 15°sin 15°sin 45°的值为()AB.C. DB原式cos 45°cos 15°

13、sin 45°sin 15°cos(45°15°).2下列式子中，正确的个数为()cos()cos cos ；cos sin ；cos()cos cos sin sin .A0个 B1个C2个 D3个A由cos()cos cos sin sin 知错误，cos sin ，故错误，故选A.3已知锐角，满足cos ，cos()，则cos 等于()【导学号：79402113】A. BC. DA因为，为锐角，cos ，cos()，所以sin ，sin()，所以cos cos()cos()·cos sin()·sin ××.故选A.4sin 75°_.解析sin 75°cos 15°cos(45