第三章刚体力学(《普通物理学》精编版)

1、整理ppt在外力作用下整体及其各部分的大小和形状均保持不变的物体称刚体刚体（rigid body）。 第一节第一节 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律一、刚体运动的描述1. 刚体 2. 刚体的运动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫做。 刚体的最简单的运动形式是平动和转动。刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一转轴作圆周运动，这种运动叫做转动转动。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动定轴转动。第三章第三章 刚体力学刚体力学整理ppt3. 刚体的定轴转动图3-2 刚体的定轴转动图3-3 转动平面x v1r1O1O2 v2x xPO

2、N刚体转动的角速度 t dd线速度与角速度之间的关系 r 定轴转动的刚体角加速度 22ddddtt切向加速度法向加速度 ra t2nra 整理ppt00tt00dtt00dt020021tt02022 设在t时刻刚体的角加速度为t=0时，得 若刚体绕定轴转动是匀变速的，即=常量，则有 整理ppt【例题例题3-1】设发动机飞轮的转速在设发动机飞轮的转速在12 s内由内由1200 rmin-1均匀均匀地增加到地增加到3000 rmin-1，已知飞轮的半径为，已知飞轮的半径为0.5 m。试求：。试求：(1)飞轮的角加速度；飞轮的角加速度；(2)在这段时间内发动机飞轮转过的圈数；在这段时间内发动机飞轮

3、转过的圈数；（3）当飞轮转速为）当飞轮转速为2400 rmin-1时，飞轮边缘上一点的线速时，飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度的大小。度、切向加速度和法向加速度的大小。260n112 120040(rad s )601223000100(rad s )60解：解：(1)根据公式，转速n1=1200 rmin-1和n2=3000 rmin-1相应的角速度分别为所以在12 s内飞轮的角加速度为 22110040 515.7(rad s )12t整理ppt(2)在12s内飞轮的角位移为 2211140 125 12840(rad)22tt所以飞轮在这一段时间内转过的圈数为 840420

4、(r)22N（3）当飞轮转速为2400 rmin-1时，角速度 12240080(rad s )60飞轮边缘上一点的线速度为 切向加速度和法向加速度的大小分别为2t=0.55=7.85(m s )ar2242n=0.580=3.16 10 (m s )ar（）-1=0.5 80=125.6 m sr（）整理ppt二、刚体定轴转动的转动定律1. 力矩图3-6 力矩示意图(b) 外力不在垂直于转轴的平面内(a) 外力在垂直于转轴的平面内PzFrM在SI制中，力矩的单位为Nm。 力矩大小 FdM sinFrM 力矩的方向力矩的方向可由右手螺旋法则来确定。 整理ppt2转动定律ddJJtM =刚体绕定

5、轴转动时，其角加速度与它受到的合外刚体绕定轴转动时，其角加速度与它受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。这个结论称为刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律。 J 表示转动惯量转动惯量 2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。说明：说明：amF1. 与与 地位相当，地位相当，m反映质点的平动惯反映质点的平动惯性，性，J反映刚体的转动惯性。反映刚体的转动惯性。MJ 3. 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，所所 以用以用正负

6、号表示方向正负号表示方向。整理ppt2iiiJmr3. 转动惯量2dJrm关于质量连续分布的物体可分为：线分布、面分布、体分布。 22ddllJrmrl22ddSSJrmrSVrmrJVVdd22物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。小反映了改变刚体转动状态的难易程度。转动惯量有关的因素转动惯量有关的因素刚体的质量及其分布刚体的质量及其分布转轴的位置转轴的位置注意：只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算注意：只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量其转动

7、惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。一般刚体则用实验求其转动惯量。整理ppt【例题例题3-2】一个长为l、质量为m的均质细杆，如图3-9所示。试求：（1）该杆绕通过中心并与杆垂直的轴的转动惯量；（2）杆绕一端并与杆垂直的轴的转动惯量。22ddllJrmrl图3-9 例题3-2图zzC解解：（1）以杆的质量中心（质心）C为坐标原点O，沿杆长方向取坐标Ox。杆的质量为线分布，按公式求转动惯量。为此在坐标为x处取线元dx，该线元的质量为xlmmdd由于质量元dm到z轴的垂直距离为x，所以，杆绕通过质心的轴的转动惯量为22222121ddmlxlmxmrJlllC（2）求通过杆的一端、并与z轴平行的z

8、轴的转动惯量，只要把坐标原点放在O，其余步骤如上，这时积分的上下限有所不同，应为22201dd3llmJrmxxmll 整理ppt4. 平行轴定理图3-10 平行轴定理zOzC2CJJmd其中，m为刚体的质量，CJ为刚体通过其质心C的轴的转动惯量，d为两轴之间的距离。 三、转动定律的应用 整理ppt【例题例题3-3】 一不可伸缩的轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2， m1m2，如图3-11所示。设滑轮的质量为m，半径为r，滑轮轴处的摩擦可忽略不计，绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 T2T1aam1m2图3-11 阿特伍德机m1m2o

9、rNmg（a）（b）解：解：如图所示3-11所示，设物体1这边绳的张力为 1111=TTTT、（）物体2这边绳的张力为 2222=TTTT、（）因m1m2，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转。因绳不可伸缩，故物体1和2加速度相等，按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程 111Tm gm a222m gTm a21T rT rJ 整理ppt式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即taar滑轮的转动惯量22Jmr，由以上各式即可解得2112()2mm gammm12111124()22m mm mTm gagmmm1222212422m

10、 mm mTmgagmmm2121mmagmm1212122m mTTgmm当不计滑轮质量，即令m=0时，可解得，。该题中的装置叫阿特伍德机阿特伍德机（Atwood machine），是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。可通过实验测出物体的加速度a，再通过以上推导的结果把重力加速度把g算出来。整理ppt【例题例题3-4】一个飞轮的质量m=60 kg，半径R=0.25 m，正在以0=1000 rmin-1的转速转动。现在要制动飞轮，要求在t=5.0 s内使它均匀减速而最后停下来。闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为=0.8 ，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。求闸瓦对飞轮的压力N。 图

11、3-12 例题3-4图解解: : 飞轮在制动时的角加速度为 0t以0=1000 rmin-1104.7 rad s-1， 0=0 ，t=5 s代入可得-20104.720.9(rad s )5 负值表示与0的方向相反，和减速转动相对应。闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩为 Mf RNR 根据刚体定轴转动定律得 NRJ将2mRJ 代入得 600.2520.93920.8mRN （N ）整理ppt【例题例题3-5】 图3-13所示为测量刚体转动惯量的装置。待测的物体装在转动架上，细线的一端绕在半径为R的轮轴上，另一端通过定滑轮悬挂质量为m的物体，细线与转轴垂直。从实验测得m自静止下落高度h的时间为t。忽略各

12、轴承的摩擦、滑轮和细线的质量，细线不可伸长，并预先测定空转动架对转轴的转动惯量为J0。求待测刚体对转轴的转动惯量。 J0J图3-13 例题3-5图解：解：隔离物体m，设线中的张力为T，物体m的加速度为a，由牛顿第二定律可得 mgTma以待测刚体和转动架为整体，设待测刚体的转动惯量为J，由绕定轴转动的转动定律可得0TRJJ由细线不可伸长以及m自静止下落，有 212hataR 上述各式联立求解得 220(1)2gtJmRJh从已知数据J0 、R、h、t即可算出待测的转动惯量J来。 整理ppt第二节第二节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理一、力矩的功 转动动能1力矩的功ddWM21dWM

13、图3-14 力矩的功z力对定轴转动的刚体所做的功等于力矩与刚体角位移乘积的积分 力F在这段位移中所做的元功 比较比较：2121ddrrWFrWM 力的功力矩的功力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。整理pptAC图3-15 例题 3-6图AGO【例题例题3-6】 一根质量为m、长为l的均匀细棒OA，可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，如图3-15所示。今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时重力所做的功。解：解：在棒的下摆过程中，对转轴O而言，轴对棒作用的支承力N通过O点，所以支承力N的力矩等于零；轴和棒之间没有摩擦力；重力G的力矩则是变力矩，大小为 cos2lMmg当棒转过

14、一个极小的角位移d时，重力矩所做的元功是 ddcos d2lWMmg 在棒从水平位置下摆到竖直位置的过程中，重力矩所做的总功为 201cos d22lWmgmgl 从而可说明重力矩做的功也就是重力做的功。整理ppt2.转动动能转动动能 miri 设转动角速度为设转动角速度为 ，第第i个质元个质元mi 的速度为的速度为: :iir设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元12,.,.,iNm mmmNirrrr.,.,21Ni,.,.,vvvv21其动能为其动能为2k12iiiEmv2212i imr各质量元速度不同，各质量元速度不同，但角速度相同但角速度相同整理ppt整个刚体的动能为整个刚

15、体的动能为: :22222kk111111()222NNNii ii iiiiEEmrmrJk212EJ刚体转动动能刚体转动动能比较：比较：平动动能平动动能2k12Em 转动动能转动动能2k12EJ 结论结论绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半量与其角速度平方乘积的一半整理ppt【例题例题3-7】 一质量为m，半径为R的匀质圆柱体，从倾角为的斜面上距地面h高处无滑动地滚下来，如图3-16所示。试求圆柱体滚到地面时的角速度。 解：解：设圆柱体质心的速率为vc ，它绕圆柱体质心的角速度为 。由于圆柱体在下滚过程中，只作滚动没

16、有滑动，故摩擦力不做功，所以圆柱体和地球系统的机械能守恒，应有221122CmghmJ由于是纯滚动，有CR均匀分布的圆柱体对质心轴的转动惯量为212JmR解得 23ghRhmR图3-16 例题3-7图整理ppt 二、刚体定轴转动的动能定理 2211222111dd22WMJJJ 合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。能的增量。这个结论称为刚体定轴转动的动能定理。刚体定轴转动的动能定理。 ddMJ ddddddddMJJJJtt整理ppt【例题例题3-8】一个长为l、质量为m的均质细杆竖直放置，其下端用摩擦可忽略的铰链O相接，如

17、图3-17所示。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动。求细杆转到与竖直线呈角时的角速度。解：解：如图3-17所示，取杆为研究对象，杆的质心为C。作用于杆的力有铰链处的支承力(不做功)和重力。设细杆由竖直放置转到与竖直线呈角时的角速度为 ，此时杆具有的转动动能为 2k12EJ已知细杆绕轴O的转动惯量213Jml细杆由竖直放置转到与竖直线呈角时重力矩所做的功为(1-cos )2lWmg根据刚体定轴转动的动能定理得221(1-cos )-026lmgml解得 03(1-cos )gl图3-17 例题3-8图mgC2l整理ppt第三节第三

18、节 刚体定轴转动的角动量守恒定刚体定轴转动的角动量守恒定律律（1）质点的角动量一、刚体定轴转动的角动量定理1.角动量有时也把质点的角动量叫做动量矩动量矩 Lrp做匀速圆周运动的质点m对其圆心的角动量的大小为Lrm （2）刚体定轴转动的角动量 JL整理ppt2.角动量定理角动量定理tJJMdd 由转动定律由转动定律:)(ddd JJtM00t00t ddLLM tLLLJJ 冲量矩冲量矩 表示合外力矩在表示合外力矩在t0 t 时间内的累积时间内的累积作用。作用。单位：单位：牛顿牛顿米米秒秒tt0d tM角动量定理角动量定理: :作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的改变量。作用在刚体上的冲量矩等于其

19、角动量的改变量。0tt0d JJtM定轴定轴0tt0d JJtM整理ppt【例题例题3-9】 水平桌面上有一长l=1.0m 、质量m=3.0kg的均质细杆，细杆可绕一端O点且垂直桌面的固定光滑轴转动。已知杆与桌面间的滑动摩擦系数=0.20 ，细杆绕一端转动的初角速度0= 49 rad s-1 。求棒从开始运动到停下来所需时间。解解：在棒上取距O点为r，长为dr的质量元dm ，则 ddmmrl棒运动时对O点的摩擦阻力矩为01(d )d2lmMm grgr rmgll 设棒开始运动到停止所用时间为t，由角动量定理可写出00d0tM tJ式中细杆绕轴O的转动惯量213Jml201123mgltml

20、022490 35 s33 0 29 8l.tg.即 解得 整理pptLJ常量 二、刚体定轴转动的角动量守恒定律如果刚体所受的合外力矩为零，或不受外力矩的作用，如果刚体所受的合外力矩为零，或不受外力矩的作用，刚体的角动量将保持不变刚体的角动量将保持不变，这个结论称对固定转轴的角固定转轴的角动量守恒定律动量守恒定律。 当合外力矩M=0时 说明：说明： 若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相对同一转轴若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相对同一转轴的角动量；的角动量；2. 2. 对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中的基本定律之一。对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中的基本定律之一。整理ppt【例题例题3-10】一根长l，质量为M的均匀直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一颗子弹，质量为m，以水平速度v0射入棒的下端而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的角速度。 解：解：如图所示，由于从子弹进入棒到二者开始一起运动所经过的时间极短，在这一过程中