算术平均数与几何平均数

1、如有你有帮助，请购买下载，谢谢！典型例题一例1已知a,b,cwR,求证a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明：a2+b2之2ab,b2c2_2bc,22c+a圭2ca,三式相加，得2.222.22.2(a+b+c)之2(ab+bc+ca),即a+b+c之ab+bc+ca.说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握.典型例题二例2已知a、b、c是互不相等的正数，求证：a(b2c2)b(a2c2)c(a2b2).6abc证明：b2+c2>2bc,a>0,a(b2c2).2abc同理可得：b(a2c2)2abc,c(a2b2)2abc.三个同向不等式相加，得222222_a(b+c)

2、+b(a+c)+c(a+b)>6abc说明：此题中a、b、c互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立.特别地，a=b,b#c时，所得不等式仍不取等号.典型例题三例3求证Ja2+b2+v'b2+c2+Jc2+a2之M2(a+b+c).分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式a2+b21ab,并能由J2(a+b+c)这一特征，思索如何将a2+b2之2ab进行变形，进行创造”.证明：a2+b2>2ab,两边同加a2+b2得2(a2+b2)父(a+b)2.,，、22,2(ab)即a+b>-.2“a2+b22;|a+b(a+b).v1222同理可得：Vb2+c2>(b

3、+c),2三式相加即得va2+b2+yb2+c2+；c2+a22M2(a+b+c).典型例题四例4若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解：a,bwR*,，ab=a+b+3之270b+3,令y=%：ab,得y22y3之0,.y之3,或yW-1(舍去).，y2=ab殳9,.ab的取值范围是6,)说明：本题的常见错误有二.一是没有舍去y<-1；二是忘了还原，得出abw13,+望).前者和后者的问题本源都是对Wb的理解，前者忽视了痴上0.后者错误地将y2视为掠.因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之.典型例题五6,x21例5(1)求y=I

4、的最大值.x44(2)求函数y=x2+'的最小值，并求出取得最小值时的X值.X216 . x2 16 x2 1< 6 = .3.2、3(3)若x>QyA0,且x+y=2,求x2+y2的最小值.解：(1)y=-n=-7=x24(x21)3x2.1_3_.x21即y的最大值为V3.当且仅当收+1=3时即x2=2x=±J2时，取得此最大值.=x2 1y的最小值为3,当且仅当x21-1-24-1=3x21，=x2+1,即(x2+1=4,x2+1=2,x=±1x21时取得此最小值./2(3)，x2+y2>2xy2(x2+y2)>(x+y)2即x2+y2

5、>-(x-y)-22222<x+y=2.-x十y之2即x+y的最小值为2.当且仅当x=y=4时取得此最小值.说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件.典型例题六一，一3例6求函数y=12x的最值.x分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件.如：x#0,应分别对xA0,x<0两种情况讨论，如果忽视xwR+的条件，就会发生如下错误:333y=1-2x一=1_(2x十)<1-2J2x一=1-26,ymax=1246.xx；x.一,一，3一3解：当x>0时，2x>0,>0,又2x=6,xx当且仅当2x=3,即x=E

6、6时，函数2x+。有最小值26.x2xYmax=1-26.一,3一3当x<0时，2x>0,>0,又(2x)()=6,xx363当且仅当2x=,即x=+时，函数(2x+)最小值2K6.x2xymin-126.典型例题七一,一、“，x210例7求函数y=x-的最值.x29，2一、分析:Y=(x9)1=.x29-12*x29x291，、，Y = x + 一在x 上 1时单倜递增 x这一性质，求函数1 , C、Y=t+；（t之3）的最值.但等号成立时x2=-8,这是矛盾的！于是我们运用函数14页解：设t=4x2+9*3,x2101当t23时，函数y=t+-递增.一一,110故原函数的

7、最小值为3+-=一,无最大值.33典型例题八x2»5一例8求函数y=的最小值.1, C、 ，一y = t+t（t之2）,再利用函数x24分析：用换元法，设t=4x2+4之2,原函数变形为,1y=t+t（t至2）的单调性可得结果.或用函数方程思想求解.解：解法一：设t = dx2 +4 >2,故 y =x2 5x2 41t -(t -2).t1t2 - 1t1t211设t2t1-2,y1-12=(t2)()=(t1-2)t1t2由t1tz<0,“2>2,得：“21>0,故：y1<y2一.，115.,.函数y=t十_（t之2）为增函数，从而y>2+-=

8、-t22解法二：设Jx2+4=t之2,知y=t+1（t主2）,可得关于t的二次方程t2yt+1=0,由根与系数的关系，得:垃2=1又t之2,故有一个根大于或等于2,25设函数f(t)=t-yt+1,则f(2)<0,即42y+1W0,故ya.x251说明：本题易出现如下错斛：y=f=nx+4+j222.要知道，x24x24Jx2+4=无实数解,即y#2,所以原函数的最小值不是2.错误原因是忽视了,x24等号成立的条件.当a、b为常数，且ab为定值，a¥b时，abxab,不能直接求最大（小）值，可2以利用恒等变形a+b=V（a-b）2+4ab,当a-b之差最小时，再求原函数的最大（

9、小）值.典型例题九ECCC4f1f1'一例9a>0,b>0,a+b=4,求a+i+b+-i的最小值.ka；<b,J分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值.22,、2斛：由a+b=4,得a+b=（a+b）_2ab=162ab.又a2+b2之2ab,得162ab之2ab,即ab<4.故 a + H+fb< a)12+-I的最小值是竺.b22 2b b -2-a说明：本题易出现如下错解:22,11、f1、故a+一+b+-i<a)bbJ的最小值是8.错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有a=1和b=1,但在a+b=4的条件下，这

10、两个式子不会同时取等号（a=1时，b=3）.排除错误的办法是看都取等号时,与题设是否有矛盾.典型例题十例10已知：a,b,2R1求证：bc+ac+-ab>a+b+c.abc分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明.bcacabc2bcaco证明：一+>2J=2c,即一+>2c.ab-ababbcabacab同理：一一2b,2aacbc说明：证明本题易出现的思维障碍是：（1）想利用三元重要不等式解决问题；（2）不会利ab用重要不等式上上之Jab的变式；（3）不熟练证明轮换对称不等式的常用方法.因此，在2证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式.另外，本题的

11、证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性.典型例题十一例11设a、b、c、d、ewR,且a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e的最大值.22分析：如何将a+b与a+b用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键.算术平1O均数与几何平均数定理a2+b2之2ab两边同加a2+b2之后得a2+b2>-（a+b）2.2212斛：由a+b之/(a+b),则有说明：常有以下错解：16e2=a2+b2+c2+d2>2(ab+cd)之4Jabcd,8e=a+b+c+d>44/abcd.,(16-e2)28-e4u故>abcd,()>abcd.4242两

12、式相除且开方得16e9>1=>0<e<.(8-e)2541错因是两不等式相除，如2>1,1a,相除则有2>2.22212不等式a2+b2(a+b)2是解决从“和”到“积”的形式.从“和”到“积”怎么办呢?有以下变形：a2+b2>(a+b)2或Ja型L主(a+b).2.22典型例题十二22例12已知：x>y>0,且：xy=1,求证：-y22，2,并且求等号成立的条x-y件.分析：由已知条件x,yWR+,可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有x-y,(x-y)(x-y)无法利用x+y2jxy,故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现型，再

13、行论证.证明：丫xay>0,，x-y>0.又丫xy=1,，2等号成立，当且仅当(x-y)=时.(x-y)6，2.6一，：2由以上得x二,y=22'62'6-2即当x=,y=时等号成立.22说明：本题是基本题型的变形题.在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式,这容易形成思维定式.本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式.要注意灵活运用均值不等式.典型例题十三例13已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.30-x分析：由x+2y+xy=30,可得，y=,(0<x<30)2x,30x-x230x-x2故

14、xy=(0<x<30)，令t=-2x2x利用判别式法可求得t(即xy)的最大值，但因为x有范围0<x<30的限制，还必须综合韦达定理展开讨论.仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解.30-x解法一：由x+2y+xy=30,可得，y=3°-(0<x<30).2x注意至U(x+2)+-6>2/'(x+2)-6=16.x2,x2可得，xy<18.64一当且仅当x+2=石，即x=6时等号成立，代入x+2y+xy=30中得y=3,故xy的最大值为18.解法二：二x,yWR+,x+2y>22xy=2V2Jxy,代

15、入x+2y+xy=30中得：2&jxy+xyE30解此不等式得0WxyW18.下面解法见解法一，下略.说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷.典型例题十四例14若a、b、MR+,且a+b+c=1,求证：11-1-11-1|>8.abc分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式11-ab-c2bc所得三个“2”连乘而来，而'1=a=bc至仝变.aaaa证明：”-1=3=W，又a>0,b>0,c>0,aaabc2bc口h1-a2bc二>,即>.aaaa1.

16、2.ca问理一-1_bb1当且仅当a=b=c=时，等号成立.3说明：本题巧妙利用a+b+c=1的条件，同时要注意此不等式是关于a、b、c的轮换式.典型例题十五例15设a、b、cer求证：va2+b2+db2+c2+cc+a2AJ2(a+b+c).分析：本题的难点在于Va2+b2、Vb2+c2、Jc2+a2不易处理，如能找出a2+b2与a+b之间的关系，问题可得到解决，注意到：a2+b2之2ab=2(a2+b2)之(a+b)2=02(a2+b2)之a+b,则容易得到证明.2222222证明：a2+b2之2ab,2(a2+b2)>a2+b2+2ab>(a+b)2,于是vE之早la+ga

17、+b).同理：之学(b+c)'，K'?(c+a).三式相加即得：Ja2+b2+Yb2+c2+Vc2+a2AJ2(a+b+c).说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于a、b、c的轮换式.因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性.典型例题十六例16已知：a、bWR +(其中R+表示正实数)求证:一 .ab -1 1分析：要证明的这一串不等式非常重要,a2 b2称为平方根, 2a b ,称为算术平均2数，J茄称为几何平均数，二一称为调和平均数.11ab2,2证明:ja+b1,？nI=(ab)之0.I2J4，22a +b2alb,当且仅当"

18、;a = b"时等号成立.之Jab ,等号成立条件是“L等号成立条件是“，Jab,等号成立条件是“a=b11+ab说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题.本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法.典型例题十七2.2例17设头数a1,b1,c1,a2,b2,c2满足a1a2A0,ac之bi,a2c2之b2,2求证(a1+a2)(c1+c2)之(bi+b2).分析：由条件可得到a1，a2,G,C2同号.为方便，不妨都设为正.将求证式子的左边展开后可看出有交叉项ac2和a2C1无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后

19、，重新搭配，可利用条件求证.证明:a1a20,.a1,a2同号.22同理,由a1c1b1,a2c2b2知a1与c1同写)a2与C2同写a1,G,a2,C2同号.不妨都设为正.22_2>b1+b2+2bb=(b1+b2)2,即(a1+a2)(c1+C2)之(b+b2)2.说明：本题是根据题意分析得a1,c1,a2,c2同号，然后利用均值不等式变形得证.换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法.2.2头际上，由条件可知a1,C1,a2,c2为同号，不妨设同为正.又ac上b1，a2c2之b2,2,2，4a1cl之4bl,4a2c2之4b2.不等式a1x2

20、+2bx+c1之0,a2x2+2b2x+c2>0对任意实数x恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得（a1+a2）x2+2（b1+b2）x+（c1+c2）>0,它对任意实数x恒成立.同上可得：（a1+a2）（c1+c2）>（b1+b2）2.典型例题十八例18如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36ml问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x,y,即求xy的最大值.注意条件4x+6y=36的利用.解：设每间羊圈的长、宽分别为x,y,则有4x+6y=36,即2x+3y

21、=18.设S=xy上式当且仅当2x=3y时取“=”.2x=3y , 2x =3y = 18 ,9x 二一 ,2y = 3.9,一.羊圈长、宽分别为-mi,3m时面积最大.2说明：（1）首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；（2）注意在条件2x+3y=18之下求积xy的最大值的方法：直接用不2f2x + 18-2x等式18=2x+3y22x3y,即可出现积xy.当然，也可用“减少变量”的方法:1c111y=-(18-2x)>S=xy=x(18-2x)=2x(182x)三3366且仅当2x=18-2x时取“二”.典型例题十九例19某单位建造一

22、间地面面积为12m的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m2,房屋侧面的造价为800元/m2,屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？，12 一 ，则长为22 m再设总xy .根据题意，可得:34600 元.分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系.从已知条件看，矩形地面面积为12mt但长和宽不知道，故考虑设宽为xm,造价为y.由题意就可以建立函数关系了.12解：设矩形地面的正面宽为xm,则长为mi;设房屋的总造价为x当x=16,即x=4时，y有最小值34600元.x因此，当矩形地面

23、宽为4m时，房屋的总造价最低，最低总造价是说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立.典型例题二十例20某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，顶部每1m2造价20元.计算：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系.解：设铁栅长为xm一堵砖墙长为ym则有S=xy.由题意得40x245y2