2019年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文科数学试题及解析

1、精品文档2019年高考文数真题试卷（北京卷）一、选择题共 8小题，每小题5分，共 40分 .1 、（2019 ? 北京）已知集合 A=x|-1x1，则 AUB= （）A. （-1 ，1）B. （1，2）C. （-1 ，+ ）D. （1 ，+ ）【答案】 C【解析】【解答】 因为 Ax1 x 2, B x x1 ,所以 AUBx x 1 ,故答案为： C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和 B 直接求出交集即可 .【题型】单选题【分值】 5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）2 、（2019 ? 北京）已知复数z=2

2、+i，则 zz= （）A. 3B. 5C. 3D. 5【答案】 D【解析】【解答】 根据 z2i ，得 z 2i ，所以 z z(2 i ) (2 i)415，故答案为： D.【分析】 根据 z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.【题型】单选题【分值】 5【考查类型】中考真题.精品文档【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019年高考文数真题试卷（北京卷）3 、（2019 ? 北京）下列函数中，在区间（ 0， + ）上单调递增的是（）1A.yx 2B. y=2-xC. ylog 1 xD. y12x【答案】 A【解析】【解答】 A： y11x2 为幂函数，0 ，所以该函数在 0

3、,上单2调递增；1xB:指数函数 y2 x，其底数大于 0 小于 1，故在 0,上单调递2减；：对数函数 ylog 1x ，其底数大于 0 小于 1，故在 0,上单调递减；C21，其 k=10，故在上单调递减；：反比例函数 yD0,x故答案为： A.【分析】 根据幂函数、 指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可 .【题型】单选题【分值】 5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）4 、（2019 ? 北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）.精品文档A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 B【解析】【解答】

4、k=1，s=1， s= 21122 ，k3,故执行循环体k=1+1=2，322222 ；s232此时 k=20 ）的离心率是5 ，则 a= （）a2A. 6B. 4C. 2D.12【答案】 Dca 2 1，【解析】【解答】 双曲线的离心率 e5aa故 5a2a21, 解得 a21 , a1 ，42故答案为： D.【分析】 根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.【题型】单选题【分值】 5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）6 、（2019 ? 北京）设函数f （ x） =cosx+bsinx（ b 为常数）

5、，则“ b=0 ”是“ f （ x）为偶函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 C.精品文档【解析】【解答】若 b=0，则 f ( x)cos x 为偶函数，若 f (x)cos xbsin x 为偶函数，则 f ( x)cosx b sin x cos x b sin x f ( x) cosx b sin x ，所以 2b sin x0, B=0,综上， b=0 是 f（x）为偶函数的充要条件 .故答案为： C.【分析】 根据偶函数的定义， 结合正弦函数和余弦函数的单调性， 即可确定充分、必要性 .【题型】单选题【分值】

6、 5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）7 、（ 2019 ? 北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m 1 -m 2 =5 lg E1，其中星等为m k 的星的亮度为 Ek（k=1 ， 2） .己知太阳的星等2 E2是-26.7 ，天狼星的星等是 -1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 10 10.1B. 10.1C. lg10.1D. 10 -10.1【答案】 A【解析】【解答】 解：设太阳的亮度为E1 ,天狼星的亮度为E2 ，根据题意1.45( 26.7)5E1,lgE

7、22故 l g E125.25210.1，E25.精品文档所以E1 1010.1 ；E2故答案为： A.【分析】 根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.【题型】单选题【分值】 5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）8 、（2019 ? 北京）如图， A ， B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB 是锐角，大小为 .图中阴影区域的面积的最大值为（）A. 4 +4cos B. 4 +4sin C. 2 +2cosD. 2 +2sin 【答案】 B设圆心为 O，根据 APB, 可知 AB所对圆心角

8、 AOB 2 ,【解析】【解答】故扇形 AOB 的面积为2224 ，由题意，要使阴影部分面积最大，2则 P 到 AB 的距离最大，此时 PO与 AB垂直，故阴影部分面积最大值 S 4 SV AOB SV PAB ,.精品文档2sin22coscos，而 SVAOB24sin2sin222cos4sin cos，SV PAB24sin故阴影部分面积最大值 S 4SV AOBSV PAB44sin ,故答案为： B.【分析】 根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到 AB 的距离最大，此时PO与 AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值

9、.【题型】单选题【分值】 5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分，rrrr9 、（2019 ? 北京）已知向量a = （ -4.3）， b = （ 6 ， m ），且 ab ，则 m=.【答案】 8【解析】【解答】 根据两向量垂直，则数量积为0，得463m0,解得 m=8.故答案为 8.【分析】 根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解 .【题型】填空题【分值】 5【考查类型】中考真题.精品文档【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数

10、真题试卷（北京卷）x210 、（ 2019 ? 北京）若 x， y 满足y14x3y10.则 y-x 的最小值为，最大值为.【答案】 -3|1【解析】【解答】 作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（ 2,-1）时取最小值 -3，过（ 2，3）时取最大值 1.故答案为 -3；1.【分析】 作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值 .【题型】填空题【分值】 5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）11 、（ 2019 ? 北京）设抛物线y2 =4x 的焦点为F，准线为 l.则以 F

11、为圆心， 且与 l 相切的圆的方程为.【答案】x1 2y24【解析】【解答】 由题意，抛物线的焦点坐标F（1,0），准线方程： x=-1，焦点 F 到准线 l 的距离为 2，故圆心为（ 1,0），半径为 2，.精品文档所以圆的方程为x1 2y24 ；故答案为x1 2y24 .【分析】 根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可.【题型】填空题【分值】 5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）12 、（ 2019 ? 北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上

12、小正方形的边长为1 ，那么该几何体的体积为.【答案】 40.精品文档【解析】【解答】 根据三视图，可知正方体体积 V1 4364 ，242，去掉的四棱柱体积 V224 24故该几何体的体积V=64-24=40.故答案为 40.【分析】 根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.【题型】填空题【分值】 5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）13 、（ 2019 ? 北京）已知 l， m 是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：l m ； m ；l .以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题

13、：.【答案】 若 ，则 【解析】【解答】 若 l，则 l 垂直于内任意一条直线，若 m P，则 lm ；故答案为若 ，则 .【分析】【题型】填空题【分值】 5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）.精品文档14 、（2019 ? 北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60 元 / 盒、 65 元 / 盒、 80 元 / 盒、 90 元 / 盒 .为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元 .每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付

14、款的80%.当 x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付元；在促销活动中， 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为.【答案】 130|15【解析】【解答】 草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，140120，故顾客可少付10 元，此时需要支付140-10=130 元；要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120 元，故实际付款（ 120-x）元，此时李明得到120x80%，故 120 x 80% 120 0.7 ，解得 x 15；故最大值为 15.故答案为 130；1

15、5.【分析】 根据已知，直接计算即可；根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值 .【题型】填空题【分值】 5.精品文档【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）三、解答题共6 小题，共80 分.115 、（ 2019 ? 北京）在ABC 中， a=3 ，b-c=2 ， cosB=-.2（ I ）求 b ，c 的值：（ II ）求 sin （ B+C ）的值 .【答案】解：（I）根据余弦定理 b2a2c22ac cos B ，故 2 c9 c22 3c

16、1，22解得 c=5，B=7；（II ）根据 cos B1 ，得 sin B3，22根据正弦定理，bc，sin B sin C得 75 ，解得 sin C53 ，所以 cosC11 ，3sin C14142所以 sin B c sin B cosCcosB sin C31115 33 3 .21421414【解析】【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c 和 b；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出 sinC和 cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B+C）.【题型】解答题【分值】 13【考查类型】中考真题【试题级别】高三.精品文档【试题地区】北

17、京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）16 、（ 2019 ? 北京）设 a n 是等差数列，a1 =-10 ，且 a 2+10 ， a3 +8 ，a 4+6 成等比数列 .（I ）求 a n 的通项公式；（ ）记 a n的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最小值 .【答案】 解：（I）根据三者成等比数列，可知 a32a2 10 a46 ，8故 102d210 d10103d6，8解得 d=2，故 an10 2 n 12n 12 ；（）由（ I）知 Sn102n12nn211n ，2该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，故 n=5 或 6 时， Sn 取最小值 -30.【解析

18、】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 an ；（ ）由（ 1），求出 Sn ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值 .【题型】解答题【分值】 13【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）17 、（ 2019 ? 北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校.精品文档所有的 1000名学生中随机抽取了 100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用A 和仅使用

19、 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额不大于 2000 元大于 2000 元支付方式仅使用 A27人3 人仅使用 B24人1 人（I ）估计该校学生中上个月A， B 两种支付方式都使用的人数；（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1 人，求该学生上个月支付金额大于2000 元的概率；（III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于2000 元，结合（ II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由.【答案】 解：（I）据估计， 100 人中上个月A、B 两种

20、支付方式都使用的人数为 100-5-27-3-24-1=40 人，故该校学生中上个月A、B 两种支付方式都使用的人数为400 人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25 人，其中支付金额大于2000 的有一人，故概率为1 ；25（ III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过 2000 的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化 .【解析】【分析】（I）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；.精品文档（II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；（

21、III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.【题型】解答题【分值】 13【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）18 、（ 2019 ? 北京）如图，在四棱锥P-ABCD中， PA平面 ABCD ，底面 ABCD 为菱形， E为CD 的中点.（）求证： BD 平面 PAC ；（）若 ABC=60 ，求证：平面 PAB 平面 PAE；（）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由 .【答案】（ ）证明：因为 ABCD为菱形，所以 BDAC ，又因为 PA 平面 ABCD ，所以 BD PA ，而 PA

22、I ACA ，故 BD 平面PAC；.FG PPA ,精品文档（）因为ABC60 ,所以ADC60 ，故 VADC 为等边三角形，而 E为 CD 的中点，故 AECD ,所以 AEAB ,又因为 PA平面 ABCD ，所以 ABPA ,因为 PAI AEA ，所以 AB平面PAE ,又因为 AB平面 PAB ，所以 平面 PAB平面 PAE ；（）存在这样的F，当 F 为 PB的中点时， CF P平面 PAE ；取 AB 的中点 G，连接 CF、CG和 FG，因为 G 为 AB中点，所以 AE与 GC平行且相等，故四边形 AGCE为平行四边形，所以AE PGC ,故 GC P平面 PAE在三角

23、形 BAP中， F、G 分别为 BP、BA 的中点，所以故 FG P平面 PAE ,因为 GC和 FG均在平面CFG内，且 GC I FGG ,所以 平面 CGF P平面 PAE ，故 CF P平面 PAE .【解析】【分析】（ ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行 .【题型】解答题【分值】 14【考查类型】中考真题【试题级别】高三.精品文档【试题地区】北京【试题来源】

24、 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）19 、（ 2019 ? 北京）已知椭圆C： x2y2 1 的右焦点为（1.0 ），且经过点 A（0，1）.a2b2（I ）求椭圆 C 的方程；（II ）设 O 为原点，直线 l：y=kx+t（t 1）与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q ，直线 AP 与x 轴交于点 M ，直线 AQ 与 x 轴交于点 N ， |OM| |ON|=2，求证：直线 l 经过定点 .【答案】 解：（I）根据焦点为（ 1,0），可知 c=1，根据椭圆经过（ 0,1）可知 b=1，故 a2b2c22 ，所以椭圆的方程为 x2y 21；2（ II ）设 P x1, y1 , Q x

25、2 , y2 ，则直线y1 1x1 ，直线 AQ : yy21AP : yx2x 1，x1解得 Mx1 ,0 , N1x2,0 ,1 y1y2故 OMx1x2x1 x2，ON1 y1 y2y1 y21 y1 1 y2将直线 y=kx+t 与椭圆方程联立，得 12k2 x24ktx2t 220 ，故 x1x24kt2 , x1x22t 22，所以 y1 y28k2t2t8k 2 t2k 2t212k12k212k2 , y1 y212k2，故 OMON2 t12 ，t1解得 t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（ 0,0）.【解析】【分析】（I）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和 b，即

26、可得到.精品文档椭圆的标准方程；（ II ）设出 P 和 Q 的坐标，表示出 M 和 N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示 OM 与 ON，根据 OM ON 2 ，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.【题型】解答题【分值】 14【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】 2019 年高考文数真题试卷（北京卷）20 、（ 2019 ? 北京）已知函数f（ x） = 1 x3-x 2 +x.4（ I ）求曲线 y=f （ x）的斜率为 1 的切线方程；（ II ）当 x -2 ， 4 时，求证： x-6 f（ x）x；（）设 F（x）=|f （ x）-（ x+a ）|（ a R），记 F（ x）在区间 -2，4 上的最大值为M （a）.当 M （a ）最小时，求a 的值 .【答案】 解（ I） f x3 x22x1，令 f x1 ，则 x1 0, x2 8 ，43因为 f 00, f88，327故斜率为 1 的直线为 y=x 或 y8x8