1819 　1　12　余弦定理

1、1.2余弦定理学习目标：1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用(难点)2.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点)自 主 预 习·探 新 知余弦定理阅读教材P49P50例4以上部分，完成下列问题语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C推论cos A；cos B；cos C作用实现三角形边与角的互化.思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？提示余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看

2、作是余弦定理的特例(2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？提示已知两边及其夹角，解三角形；已知三边，解三角形基础自测1判断正误(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC是锐角三角形()(3)在ABC中，若已知abc12，可以解三角形()解析(1)错误，如已知a，b和A，可利用公式a2b2c22bccos A求c，进而可求角B和C.(2)错误，由b2c2a2和cos A可得cos A0，则A是锐角，但角B或C可能是钝角，ABC未必是锐角三角形(3)错误，已知ABC三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边

3、，即不能解三角形答案(1)×(2)×(3)×2在ABC中，符合余弦定理的是()Ac2a2b22abcos CBc2a2b22bccos ACb2a2c22bccos ADcos CA由余弦定理知选A.3在ABC中，若已知a2，b3，c，则cos A_. 【导学号：91022153】解析cos A.答案4在ABC中，已知A60°，b2，c1，则a_.解析a2b2c22bccos A412×2×1×3，所以a.答案合 作 探 究·攻 重 难利用余弦定理解三角形在ABC中，(1)已知a2，c，B45°，求b及A

4、；(2)已知b3，c3，B30°，求角A，C和边a.(3)已知a2，b62，c4，求A.解(1)由余弦定理，得b2a2c22accos B(2)2()22×()×2×cos 45°8，b2.由cos A，得cos A.0°A180°，A60°.(2)由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22×3a×cos 30°，即a29a180，所以a6或a3.当a6时，由正弦定理，得sin A×1，所以A90°，C60°，当a3时，同理得A30

5、76;，C120°.(3)由余弦定理得cos A，又A(0，)，所以A30°.规律方法利用余弦定理解三角形的方法(1)已知两边及一角解三角形有以下两种情况：若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求解.(2)已知三角形的三边或其比值解三角形：已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解.若已知三角

6、形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形.跟踪训练1(1)在ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若A，b2，SABC2，求a.(2)在ABC中，abc2，求ABC中最大角的度数. 【导学号：91022154】解(1)因为SABCbcsin A×2×cc2，所以c2.根据余弦定理得a2b2c22bccos A482×2×2×4，所以a2.(2)abc2，令a2k，bk，ck(k0)，由bac，知C为ABC最大内角，cos C，又0°C180°C150°.正弦定理、余弦定

7、理的综合应用在ABC中，若c·cos Bb·cos C，cos A.(1)求sin B的值；(2)若b2，求a.解(1)法一：由c·cos Bb·cos C，结合正弦定理，得sin Ccos Bsin Bcos C，故sin(BC)0，0B，0C，BC，BC0，BC，故bc.cos A，由余弦定理，得3a22b2，再由余弦定理，得cos B，故sin B.法二：由余弦定理和c·cos Bb·cos C得c×b×，化简得bc，cos A，故3a22b2，即ab，又由cos A，知sin A，由正弦定理得sin B&#

8、215;.(2)法一：由(1)知bc2，所以a2b2c22bccos A442×2×2×，则a.法二：因为cos A，所以sin A，由正弦定理得a.规律方法正、余弦定理的综合应用(1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段.(2)在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.(3)解题时注意三角恒等变换的应用.跟踪训练2在ABC中，已知b2ac，a2c2acbc. 【导学号：91022155】(1)求A的大小；(2)求的值解(1)由题意知，b2accos A，A(

9、0，)，A.(2)由b2ac，得，sin B·sin B·sin A.三角形形状的判断探究问题1在ABC中，sin Asin B，能够判定ABC为等腰三角形吗？提示能由正弦定理和sin Asin B知ab，故ABC是等腰三角形2在ABC中，sin 2Asin 2B，能够判定ABC为等腰三角形吗？提示不能由sin 2Asin 2B得2A2B或2A2B，即AB或AB，故ABC是等腰三角形或直角三角形3在ABC中，acos Abcos B，要判定三角形的形状，是把acos Abcos B中的边化为角，还是把角化为边？提示都可以，化角为边：由余弦定理得a×b×，

10、化简得(ab)(ab)(c2a2b2)0，故ab或c2a2b2，所以ABC是等腰三角形或直角三角形化边为角：由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，故2A2B或2A2B，则AB或AB，所以ABC是等腰三角形或直角三角形4判断三角形形状的基本思路是什么？提示思路一：从角的关系判定思路二：从边的关系判定思路三：从边与角的关系判定在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C，确定ABC的形状解法一：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，所以，即c2b2c2a2，所以a2b2

11、，所以ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2，即b2c2.所以bc，所以abc.所以ABC为等边三角形法二：因为ABC180°，所以sin Csin(AB)，又因为2cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.又因为A与B均为ABC的内角，所以AB.又由(abc)(abc)3ab得(ab)2c23ab，所以a2b2c22ab3ab，即a2b2c2ab.由余弦定理，得cos C，又0°C180°，所以C60°.所以ABC为等边三角形

12、母题探究：1.(变条件)把例3的条件换为：b2ccos A，c2bcos A，判断ABC的形状解法一：由条件b2ccos A，c2bcos A得cos A，即bc，把bc代入b2ccos A得cos A，所以A60°，所以ABC是等边三角形法二：由正弦定理知sin B2sin Ccos A，sin C2sin Bcos A，即sin(AC)2sin Ccos Asin Acos Ccos Asin C，即sin Ccos Acos Asin C，所以sin(AC)0，AC，同理可得AB，所以三角形ABC为等边三角形母题探究：2.(变条件)把例3的条件换为：cos2，试判断ABC的形状

13、解法一：cos2且cos2，即cos A.由正弦定理，得cos A，cos Asin Csin(AC)，整理得sin Acos C0.sin A0，cos C0，C.故ABC为直角三角形法二：同法一得cos A.由余弦定理得，整理得a2b2c2，故ABC为直角三角形规律方法判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论.当 堂 达 标·固 双 基1在ABC中，已知a5，b4，C120°，则c为()【导学号：91022156】ABC或 DBc2a2b22abcos 120°25162×5×4×61.c.2在ABC中，若a1，b1，c，则ABC的最大角的度数为()A60°B90°C120°D150°Ccab，C是最大角，由余弦定理得：cos C.C120