2019北京各区年中、年末考试试题分类汇编-导数及其应用

1、2019 北京各区年中、年末考试试题分类汇编 - 导数及其应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1. 2018 年昌平区高三期末考试理8定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2)=1，f (x) 为 f (x)的导函数 .y f( x) 的图象如下图 , 假设两个正数 a, b满足 f (2ab)1，那么 b1 的取值范围是 Af ( x)a21,1)B. (1)A.(,( 1 ,)88C. ( 8,1)D.(, 8 )(1 ,)ox2. 2018年西城区高三期末考试文11 假设曲线yx3ax 在原点处的切线方程是2x y 0，那么

2、实数 a _、答案： 2。3. 2017 年海淀区高三年级第一学期期中练习理9 曲线 y = 1 在 x = 2 处的切线的斜率x为。1答案：4 。考点： 8 个基本函数的导数的求法；导数的几何意义。4. 顺义区 2018 届高三尖子生综合素质展示10设函数 f ( x), g(x) 在 (0,5) 内导数存在，且有以下数据：x1234f (x)2341f ( x)3421g(x)3142g (x)2413那么曲线在点 (1, f (1)处的切线方程是；函数f ( g( x) 在 x 2处的导数值是。答案： y 3x1，12。考点：导数的几何意义；复合函数的求导。5. 2017 年东城区高三示

3、范校高三综合练习(一 ) 文3定义在 R上的函数f ( x)1 ax3bx2cx2 同时满足以下条件： f ( x) 在 0,1上是减函数， 在 1,上3是增函数； f '( x) 是偶函数；f ( x) 在 x0处的切线与直线yx 2 垂直 . 求函数 yf ( x) 的解析式；设 g( x)1x3f (x) ex ，求函数 g( x) 在 m, m 13上的最小值 .解： f '(x)ax22bxc . . 1分f(1)0,a 2bc0,a1,由题意知2b0,即b0,解得b0, 4 分f(0)1.c1.c1.所以函数 yf ( x) 的解析式为 f (x)1x3x2. .5

4、分3g (x)1x3f ( x) exx 2 ex ，'()ex+x2exx1ex.3g x令 g (x) 0 得 x1 ，所以函数 g( x) 在,1 递减，在1递增. 7分当 m1时， g(x) 在 m, m1单调递增， yming(m)( m2)em . 9 分当 m1 m1时，即 0m1时，g ( x) 在 m,1单调递减，在1, m 1 单调递增， yming(1)e. 10 分当 m+1 1时，即 m 0 时，g ( x) 在 m, m 1 单调递减， yming(m1)(m1)em 1. . .12分(m2)em ,m1,综上， g (x) 在 m, m1 上的最小值 y

5、mine,0m1,. 13分( m1)em 1 ,m0.6. 2017 年海淀区高三年级第一学期期中练习文17某工厂生产某种产品，每日的成本C单位：万元与日产量x单位：吨满足函数关系式C3x ，每日的销售额S单位：x 的函数关系式 S3 xk5 ，( 0x6),万元与日产量x814 ，(x6).每日的利润 LS C ，且当 x 2时， L3 . 求 k 的值；当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值。2xk2,0x 6x8 2 分解：由题意可得：L11x, x6因为 x =2时，L=3，所以 322k2. 4分28所以 k =18. 5 分当0 < x < 6时，

6、L = 2x +18 + 2.所以x -8（）18+ 18= - 2(8 -x) +18+ 18 -（）18.L = 2x -8 +x-82 28-x ?18= 68 -x8- x当且仅当（）18，即x5时取得等号 . 10分2 8-x =8 - x当 x 36时， L= 11-x ? 5 . 12 分所以当 x =5 时， L 取得最大值 6.所以当日产量为5 吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.13分7. 2017 年海淀区高三年级第一学期期中练习理17某工厂生产某种产品，每日的成本C单位：元与日产量x单位：吨满足函数关系式C1000020x，每日的销售额R单位： 元与日产量 x 的函数

7、关系式 R1 x3ax2290x,0 x 12030，每日的利20400, x120润 yRC ，且当 x30 时， y100 . 求 a 的值；当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.ì132?，?-x + ax + 270x - 10000, 0 < x < 120解：由题意可得：y = í30 2分?20x,x ? 120.?10400-?因为 x30 时， y100 ，所以 - 100= -1?303a? 302270? 3010000. 4分所以 a =330.5分当0 < x < 120 时， y = -1x3 + 3x

8、2 + 270x- 10000. 6分30y ' = -1 x2 + 6x + 270 . 8 分10由 y '= -1 x2 + 6x + 270 = 0 可得： x1 = 90, x2= -30 舍 . 9 分10所以当 x ? (0,90) 时，原函数是增函数，当x ? (90,120) 时，原函数是减函数 .所以当 x =90 时， y 取得最大值 14300. 11 分当 x 3 120 时， y = 10400 - 20x ? 8000 . 12 分所以当日产量为90 吨时，每日的利润可以达到最大值14300 元. 13 分8. 2017年东城区高三示范校高三综合练

9、习(一)理 17f ( x)x ln x, g( x)x2ax3 . I 求函数 f (x) 在 t ,t2(t0) 上的最小值； II 对一切 x(0,),2 f ( x)g( x) 恒成立，求实数a 的取值范围 .解： 1 f ( x) 定义域为0,， f ( x)ln x1，当 x1,f ( x)0 , f (x) 单调递减，0,e当 x(1 ,) ， f ' ( x)0,f ( x) 单调递增 . 2 分e1 , t 无解；当 0tt23 分1e111当 0tt2，即 0t)e时， f (x) minf (； 4 分当 11eeett2 即 t时， f ( x) 在 t, t2

10、 上单调递增，f ( x)minf (t)t ln t ； 5 分ee101,t所以 f ( x) minee6 分t ln t ,t1 .e2 2x ln xx 2ax3 ，那么 a 2ln xx3，对一切 x0,恒成立 .7分x设 h( x)2 ln xx3 ( x0) ，那么 h'( x)(x3)( x1)，xx2当 x(0,1), h' ( x)0, h( x) 单调递减，当 x(1,), h' ( x)0, h( x) 单调递增 . 10 分h( x) 在 ( 0,) 上，有唯一极小值h(1) ，即为最小值 .所以 h( x)minh(1)4 ，因为对一切 x

11、( 0,),2 f (x)g( x) 恒成成立，所以 ah(x) min4.13分9. 2017年海淀区高三年级第一学期期中练习文19 函数 f (x)31 ax29 (a 0) .1 x322当 a3 时，求 f ( x) 的单调递增区间；求证：曲线yf ( x) 总有斜率为 a 的切线；假设存在x1,2 ，使 f ( x) 0 成立，求 a 的取值范围 .解：当 a 3时，函数 f (x)1 x33 x29 .322f '( x) =x2 - 3x . 2 分令 f '(x) = x2 - 3x > 0 ，解得 x < 0 或 x > 3. 3 分所以，函

12、数f (x) 的单调递增区间是(,0) ， (3,) . 4 分 f '( x) = x2 - ax令 f '( x) = x2 - ax = a ，即 x2 - ax - a = 0.因为 a > 0 ，所以 = a2 +4a > 0 恒成立 . 6 分所以方程 x2 -ax -a = 0 对任意正数 a 恒有解 . 7 分所以曲线 yf( x) 总有斜率为 a 的切线 . 8 分由可知：f '( x) = x2 - ax .令 f '( x) =x2 - ax = 0，解得 x1 = 0, x2 =a . 9 分因为 a0 ，所以当0 <a

13、 < 2 时， f '(x), fx的变化情况如下表x- 1(1,0)0(0, a)a(a, 2)2f '(x)+0-0+25 - 3a927-a343- 12af (x)6266因为 25 - 3a > 0, 27 - a3> 0 ，66所以，对于任意x ? 1,2 ， f ( x) > 0 . 即此时不存在 x1,2 ，使 f (x)0成立 . 11 分当 a 32 时， f '(x), fx 的变化情况如下表x- 1( 1,0)0(0, 2)2f '(x)+0-f ( x)25 - 3a943 - 12a626因为 25 - 3a

14、-43- 12a =3a - 6 ? 0 ，66243- 12a所以，函数f ( x) 在 - 1,2 上的最小值是6.因为存在 x 1,2 ，使 f ( x)0 成立，43 - 12a < 0a > 43所以，6. 所以，12.13分(43,+ ? )所以 a 的取值范围是12.14分10. 2017 年海淀区高三年级第一学期期中练习理18 函数f ( x)ln xaxa 2 x 2 (aR) 假设x = 1 是函数 y = f (x) 的极值点，求a 的值；求函数f ( x) 的单调区间 .解：函数f (x) 的定义域为(0, + ? ) . 1 分12f '(x) =

15、+ a - 2a x 3 分2 2= - 2a x + ax + 1 . x因为 x = 1是函数 y = f ( x) 的极值点，所以 f '(1)= 1+ a - 2a2 = 0 . 5 分所以 a = -1.或 a = 121经检验， a = -或 a = 1 时， x = 1 是函数 y =f ( x) 的极值点 .2所以 a 的值是 -1或 1. 6 分2由知： f '( x) = 1+ a -2a2 x = - 2a2 x2 + ax + 1.xx假设 a = 0 ， f '(x) = 1> 0 .x所以函数 f ( x) 的单调递增区间为(0, +

16、? ) ；8 分假设 a 1 0 ，令 f '(x) = (2ax + 1)(- ax + 1) = 0 ，解得 x1= - 1 , x2 =1.9 分x2aa当 a > 0 时， f '(x), fx 的变化情况如下表x(0, 1)1( 1 ,)aaaf '(x)+0-f (x)极大值函数 y f ( x) 的单调递增区间是(0,1 ) ，单调递减区间是( 1 ,)； 11分aa当 a < 0 时， f '(x), fx 的变化情况如下表x(0,1 )1(1,)2a2a2af '(x)+0-f ( x)极大值函数 y f (x) 的单调递增

17、区间是(0,1) ，单调递减区间是(1 ,).13分2a2a11. 2017 年朝阳区高三年级第一学期期中统一考12 aR 且 a0 . 求函数 f (x)f ( x) l nxa x( a 1 ) x2试理 20函数的单调区间；记函数 yF ( x) 的图象为曲线 C . 设点A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两点 . 如果在曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ，使得：x1x2；曲线 C 在点 M 处的切线平行于x02直线 AB ，那么称函数F (x) 存在“中值相依切线”. 试问：函数 f (x) 是否存在“中值相依切线”，请说明理由

18、.解： ( ) 显然函数 f (x) 的定义域是 (0,).1分由得，1).2分1a( x 1)(xf '(x)a 1aaxxx当 a 0 时 , 令 f '( x)0 , 解得 0 x1; 令 f '( x)0 , 解得 x 1 .所以函数 f ( x) 在 (0,1)上单调递增 , 在 (1,)上单调递减 .3分当 a0 时，当1时，即 a1 时 , 令 f '( x)0, 解得01 或 x 1 ;a1xa令 f '(x)0, 解得1x.a1所以，函数f ( x) 在(0,1和 (1,) 上单调递增 , 在1上单调递减4 分)(,1)aa当1时，即

19、a1 时 , 显然，函数f ( x) 在 (0,) 上单调递增；5 分a1当1时，即1a0 时 , 令 f '(x)0,解得 0x1 或1 ;a1xa令 f '(x)0, 解得x1 .1a所以，函数f ( x) 在 (0,1)和(1上单调递增 , 在1上单调递减 . 6 分,)(1,)aa综上所述，当a0 时 , 函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增 , 在 (1,) 上单调递减；当 a1 时 ,函数在和上单调递增 , 在上单调递减；f ( x)(0,1 )(1,)( 1,1)aa当 a1 时 ,函数 f ( x) 在 (0,) 上单调递增；当1a 0 时, 函数在和

20、1 ,上单调递增 , 在上单调递减 .7 分f ( x)(0,1)()(1,1)aa( ) 假设函数 f ( x) 存在“中值相依切线” .设 A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) 是曲线 yf ( x) 上的不同两点，且0x1x2，那么1 ax12，1 ax22.y1ln x1(a 1)x1y2ln x2(a 1)x222kABy2y1(ln x2ln x1)1 a( x22x12 )(a 1)(x2x1)x2x12x2x1ln x2ln x11 a( x18 分x2 ) (a 1)x2x12曲线在点 M (x0 , y0 ) 处的切线斜率kf ( x0 )fx1 x2)2x

21、1x2，9分( a1)(2x2a2x1依题意得： ln x2ln x11 a(x1x2 )( a1)2ax1x2( a1).x2x12x1x22化简可得： ln x2ln x1x12x2，即 ln x2= 2( x2x1 )2( x21).11分x2x1x1x2x1x1x21x1设 x2( t1) ，上式化为：ln t2(t1)24,x1tt1t1即4.12分ln t2t 1令ln t4,14(t1)2 .g(t)t 1g '(t)t (t1)2t(t1)2因为 t1, 显然 g '(t)0 ，所以 g(t ) 在 (1,)上递增,显然有 g (t )2恒成立 .所以在 (1,

22、) 内不存在 t , 使得4成立 .ln tt12综上所述，假设不成立. 所以，函数f ( x) 不存在“中值相依切线” . 14 分12. 顺义区2018 届高三尖子生综合素质展示16现有 10000 元资金可用于广告宣传或产12品开发、 当投入广告宣传和产品开发的资金分别为x 和 y 时，得到的回报是 Px 3 y 3 、求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.1212解： 由于 xy 10000 ，所以 P x3 y 3(10000 y) 3y 3, 0 y 10000 、 4 分考虑 P3(10000 y) y 2 ，由 (P3 )20000y 3y 20 得 y120000

23、0, y2，-8 分20000200003由于当 y3 )0 ；当y0 ，-10分时， (P时， (P3 )33所以 y2200003 的极大值点，从而也是P 的极大值点、 -12是 P分3故当投到产品开发的资金为20000 元时，得到的回报最大.-13分319 a0 ，函数13. 顺义区2018 届高三尖子生综合素质展示文f ( x)1 a2 x3ax22， g ( x)ax1， xR . 当 a1时 , 求函数 f ( x) 在点331(1, f (1)的切线方程；求函数f ( x) 在 1,1的极值 ; 假设在区间 (0, 上至少存2在一个实数 x0，使 f (x0 )g( x0 ) 成

24、立，求正实数a 的取值范围、解: 由 f ( x)1a2 x3ax22求导得，f (x)a2 x22ax . 1 分33当 a1时 f (1)1,f (1)0 3分所以 f ( x) 在点 (1, f (1) 的切线方程是 yx1 4 分令 f( x)0得：0 , x22 。x1a2(1) 当01即 a2时a(0, 2)2(2,1)x(-1,0)0f( x)aaa+0-0+f (x)极大值极小值6 分故 f ( x) 的极大值是 2; 极小值是 2a4;7分(2)当233a1 即 0 a2 时af ( x) 在 (1,0)上递增 , 在 (0,1) 上递减 , 8 分所以 f (x) 的极大值

25、为 f (0)2分,无极小值 .93设 F ( x)f ( x)g( x)1 a2 x3ax2ax 1 x(0, 1 .332对 F (x) 求导，得 F (x)a2 x22ax aa2 x2a(12x) ， 10 分因为 x(0, 1 ， a0 ，所以 F ( x)a2 x2a(12x)0 ，211F (x) 在区间 (0, 上为增函数，那么F (x)maxF () . 12分22依题意，只需 F (x)max0 ，即1 a21a1a110 ，即 a2384236a80，解得 a317 或a317舍去 .所以正实数 a 的取值范围是 ( 317,). 14分14. 顺义区2018 届高三尖子生综合素质展示18函数 f ( x)x2ax ln x ， a R.假设 a0时，求曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程； 假设函数f ( x) 在1,2上是减函数， 求实数 a 的取值范围；令 g( x)f ( x) x2，是否存在实数 a ，当 x(0, e e是自然对数的底时，函数g( x) 的最小值是3，假设存在，求出 a 的值；假设不存在，说明理由、解：当 a0 时 f ( x)x2ln x ， 1 分所以 f ' ( x)2x1' (1)1，又