2019北京各区一模数学文试题分类解析-导数及其应用

1、2019 北京各区一模数学文试题分类解析- 导数及其应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！21 、 2018高考模拟文科本小题总分值 12分 假 设 x1、 x 2(x 1x )2是 函 数f ( x)ax 3bx2a 2 x (a0) 的两个极值点。假设x11，求函数 f ( x) 的解析式；, x213假设x1x22 3 ，求 b 的最大值。21、解析： f ( x)ax3bx 2a2 x (a0) ， f( x)3ax 22bxa 2 ( a0)依题意有1 和 1 是方程 3ax 22bxa 20 的两根32b2 解得a1 ， fxx3

2、x2x 、经检验，适合5 分3a3b1a133 f (x) 3ax 22bx a2 (a 0) ,依题意， x1 , x2是方程 f (x)0 的两个根，a且 x1x223，x1 x2302、2b24a、分x1x21212,b23a29a3a3 b20 0a9 、分设29，那么pa54a9a2 、p a3aa由 p ( a)0 得 0 a6 ，由 p (a)0 得 a6 、即函数 p( a) 在区间0,6 上是增函数，在区间6,9 上是减函数，、 10分当 a6 时， p(a) 有极大值为324 ， p( a) 在 0,9上的最大值是324 ， b 的最大值为 18、12 分18. 2018

3、东城一模文科 本小题共 13 分x 1是函数 f (x)(ax2)ex 的一个极值点、( a R )求 a的值；当 x1， x2 0,2时，证明： f (x1) f (x2 )e 、解： f '( x)( axa2)ex ， 2 分由得 f ' (1)0 ，解得 a1 、4 分当 a1 时， f (x)(x2)ex ，在 x1 处取得极小值、所以 a1. 5 分证明：由知，f (x)( x2)ex ， f '(x) ( x 1)ex .当 x0,1 时， f '( x)(x1)ex0 ， f (x) 在区间 0,1 单调递减；当 x1,2 时， f '(

4、 x)( x 1)ex0 ，f (x) 在区间 1, 2 单调递增 . 8 分所以在区间0,2上， f ( x) 的最小值为又 f (0)2 ， f (2) 0 ，所以在区间0,2上， f ( x) 的最大值为f (1)e ，f (2)0 . 12 分对于 x1 , x2 0,2，有 f (x1)f(x2 ) f max ( x) f min ( x) 、所以 f ( x1 )f ( x2 ) 0 (e)e . 13 分18. 2018 丰台一模文科 本小题共 13 分函数1x3ax2(aR) 、f ( x)31假设曲线y=f ( x) 在(1 ， f (1) 处的切线与直线 x+y+1=0

5、平行，求 a 的值；假设>0，函数= (x)在区间( ，2-3) 上存在极值，求a的取值范围；ay faa假设 a>2，求证：函数y=f ( x) 在 (0 ， 2) 上恰有一个零点、解： f (x)x22ax ，1 分f (1)12a ，2 分因为曲线 y=f ( x) 在 (1 ， f (1) 处的切线与直线x+y+1=0 平行所以 12a1，3 分所以 a1、 4 分令f ( x)0 ， 5 分即 f ( x) x( x 2a) 0 ，所以 x 0 或 x 2a 、6 分因为 a>0，所以 x0 不在区间 ( a， a2-3)内，要 使 函 数 在 区 间 ( a ，

6、a2-3) 上 存 在 极 值 ， 只 需a 2a a23 、 7 分所以 a3、9 分证明：令f( x)0 ，所以 x0 或 x2a 、因为 >2，所以 2>4，10 分aa所以 f (x)0 在 (0 ， 2) 上恒成立，函数f ( x) 在 (0 ，2) 内单调递减、又因为 f (0)10 ，11 12a， 11分f (2)30所以 f ( x) 在 (0 ， 2) 上恰有一个零点、13 分18、 2018 石景山一模文科 本小题总分值14 分函数 f ( x)x22a ln x .假设函数f ( x) 的图象在 (2, f (2) 处的切线斜率为 1，求实数 a 的值；求函

7、数f ( x) 的单调区间；假设函数2在 1,2 上是减函数，求实数a 的取值范围 .g( x)xf ( x)解：2a2x2a 1 分2f '( x) 2xxx由 f '(2)1，解得 a3. 3 分 II函数 f ( x) 的定义域为 (0,) . 1当 a0 时 , f '(x)0 ， f(x) 的单调递增区间为(0,)； 5分 2当 a0 时2( xa )( xa ) .f '( x)x当 x 变化时， f '(x), f (x) 的变化情况如下：x(0,a )(a ,)af'(x)-0+f (x)极小值由上表可知，函数f (x) 的单调递

8、减区间是(0,a ) ；单调递增区间是 (a,). 8分II 由2x2得22x2a ， 9 分g (x)x2a ln xg '( x)x2x由函数 g (x) 为 1,2 上的单调减函数，那么 g '(x)0 在 1,2上恒成立，即22x2a0在 1,2上恒成立 .x2x即12在 1,2上恒成立 . 11分axx令h(x)1x2，在 1,2 上h '( x)12x(1，xx222x) 0x所以 h( x) 在 1,2 为减函数 .h(2)7 ,h( x) min2所以7. 14 分a218. 2018 高考仿真文科 本小题总分值13 分设函数ax 3b x 2，其图像过

9、点 0,1 .f ( x)c21当方程f ' ( x) x 1 0 的两个根分别为是 12， 1 时 , 求 f(x) 的解析式；2当2 ,b时，求函数 f(x)的极大值与极小值 .a03解：由题意可知， f(0)=1所以 c=1.1分( )由3b2得f'(x)3ax2bx.f ( x)ax1,x2因为 f ' ( x)x10 ，即 3ax2bxx1 0 的两个根分别为1,12所以1b1解得23a10a42233ab110b2故2 x 3x 2.6分f ( x)13f (x)2 x3b x2c32所以，f ' ( x) 2 x2bx 2x( xb) . .7 分

10、2假设 b>0，那么当 x(,0) 时， f '( x)0 函数 f(x) 单调递增当b时， f '( x)0 函数 f(x)单调递减x(0,)2当b时， f '(x)0 函数 f(x)单调递增x (,)2因此， f(x) 的极大值为 f 0 =c=1,f(x) 的极小值为f（ b )1b3.10分224假设 b<0，那么当x(,b 时， f ' (x)0函数 f(x)单调递增)2当b时， f '( x)0 函数 f(x)单调递减x( ,0)2当 x (0,) 时， f ' ( x)0 函数 f(x)单调递增因此， f(x)的极大值为

11、f（ b )31 b224f(x) 的极小值为 f 0 =1.综上所述，当b>0 时,f(x)的极大值为 1, 极小值为1 b3 ,24当 b<0 时 ,f(x)的极大值为1b3, 极小值为 1. .13 分2418. 2018 朝阳一模文科 此题总分值 14 分函数 f ( x)ax21 ex , aR .假设函数f ( x) 在 x1 时取得极值，求 a 的值；当 a0 时，求函数f ( x) 的单调区间 .解：f( x)ax22ax1x .xR 2 分e依题意得 f (1) (3a1) e = 0 ，解得a1 . 经检验符合题意 . 4分3 f ( x)ax22ax1ex ，

12、设 g(x)ax22ax1， 1当 a0 时， f (x)ex ， f (x) 在,上为单调减函数 . 5 分 2当 a0 时，方程 g(x)ax22ax1= 0 的判别式为4a24a ，令0,解得 a0 舍去或 a1 .1°当 a 1 时， g ( x)x22x 1( x 1)20 ，即ax22ax1ex，f ( x)0且 f( x) 在 x1 两侧同号，仅在x1时等于 0 ，那么 f ( x) 在,上为单调减函数 . 7 分2°当1a0 时，0 ，那么 g(x)ax 22ax 10 恒成立，即 f( x)0 恒成立，那么f ( x) 在,上为单调减函数 . 9 分3&#

13、176; a1 时，4a24a 0 ，令 g (x)0 ，方程 ax22ax10 有两个不相等的实数根x11a2a ，x21a2a ，aa作差可知2a2，1a1aaaa那么当2时， g( x)0 ， f(x)0 ， f ( x) 在2上x1aa(,1aaa )a为单调减函数；当a2aa2a 时， g (x)0 ， f ( x)0 ，1ax1af ( x) 在22上为单调增函数；(1aa ,1aaa )a当1a2时， g(x)0 ， f ( x)0 ， f ( x) 在12a ,上为xa(a)aa单调减函数 . 13 分综上所述，当1a0 时，函数 f ( x) 的单调减区间为,；当 a1 时，

14、函数 f ( x) 的单调减区间为(,1a2a，a2a)，函数 f (x) 的a)(1,a单调增区间为 (1a2a ,1a2a ) . 14 分aa18. 2018 东城示范校二模文 ( 此题总分值 13 分)函数 f ( x)2ax33ax21，a3(aR ) .g (x)x2( ) 当 a1 时 , 求函数 y4f ( x) 的单调区间；( ) 当 a0 时，假设任意给定的x00,2,在 0,2上总存在两个不同的得f (xi ) g( x0 )成立，求 a 的取值范围、 .co解： I f( x) 6x26 x6x( x 1).-2由 f ( x) 0, 得 x1或 x0 ；由 f ( x

15、)0,得0x 1；故函数 f ( x) 的单调递增区间是(,0)和(1,)；单调递减区间是-6分xi (i1,2) ，使分0，1.II当 a0 时，3 ，显然不可能满足题意；f (x)1, g( x)-72分当 a0时， f ( x) 6ax 26ax 6ax (x1) .x0 0，111，2f ( x)0+0f ( x)1极大值1a-9分又因为当a 0时, g(x)ax3 在 0 ，2 上是增函数，42对任意， -11 0,2, g ( x)3a3x ,222由题意可得a3a212解得 a1 . 综上， a 的取值范围为 (, 1) .-1318. 2018 房山一模文科 本小题共 13 分

16、设函数1 x32ax2.f ( x)3a2 x a(a R)3当 a1 时，求曲线 yf ( x) 在点 3, f (3)处的切线方程；求函数f (x) 的单调区间和极值；214a分分假设对于任意的 x(3a, a)，都有f ( x)a 1，求 a 的取值范围 .解： I 当 a1 时，1 x32x2，1 分f ( x)3x 13f ( x)x24x3 2 分当 x3时， f (3)1， f (3)0 3 分曲线 yf ( x) 在点 3, f (3)处的切线方程为y1 0 4 分II f( x)x24ax-3a2( xa)( x3a) 5 分a0 时， f ( x)0，( ,) 是函数的单调

17、减区间；无极值；6 分a 0 时，在区间 (, a),(3 a,) 上， f( x) 0 ；在区间 (a,3 a) 上， f(x)0 ，因此 (, a),(3 a,) 是函数的单调减区间，(a,3 a) 是函数的单调增区间，函数的极大值是f (3 a) a ；函数的极小值是4a3；8 分f (a)a3a 0 时，在区间 (,3 a),( a,) 上， f( x) 0 ；在区间 (3a, a) 上， f(x)0 ，因此 (,3 a),( a,) 是函数的单调减区间，(3a, a) 是函数的单调增区间函数的极大值是4a3，函数的极小值是f (3a)a 10 分f ( a) a3(III) 根据 I

18、I问的结论， x(3a, a) 时，f (a)a4a3 11 分f (x)3因此，不等式f (x) a1在区间 (3a, a) 上恒成立必须且只需：4 a3，解之，得3 13 分aa1a6 ,032a018、 2018 海淀一模文科 本小题总分值13 分函数1 x2 1.f ( x) a ln x(a R且 a 0)22求 f ( x) 的单调区间；是否存在实数 a ，使得对任意的 x1,，都有 f (x) 0 ？假设存在， 求 a 的取值范围；假设不存在，请说明理由.解： f ( x) 的定义域为 (0,) .axx2a . 2 分f '( x)xx当 a0 时，在区间 (0,) 上

19、， f'( x)0 .所以 f ( x) 的单调递减区间是(0,) . 3 分当a0 时，令 f '( x) 0得 xa 或 xa 舍 .函数f ( x),f '( x)随 x 的变化如下：x(0,a )a( a ,)f '( x)+0f ( x)极大值所以 f ( x) 的单调递增区间是(0, a ) ，单调递减区间是(a ,) .6 分综上所述，当 a0 时， f ( x) 的单调递减区间是(0,) ；当 a0 时， f (x) 的单调递增区间是(0,a ) ，单调递减区间是( a ,) .由可知：当 a0 时 , f ( x) 在 1,) 上单调递减 .所

20、以f (x) 在 1,) 上的最大值为f (1)0 ，即对任意的x1,) ，都有f ( x)0.当 a 0 时， 当 a1，即 0a1 时， f ( x) 在 1,) 上单调递减 .所以f ( x) 在 1,)上的最大值为f (1)0 ，即对任意的x 1,) ，都有f (x )0. 当a1 ，即 a1 时， f ( x) 在 1,a) 上单调递增，所以 f ( a )f (1) .又 f (1)0 ，所以 f (a ) 0 ，与对于任意的 x 1,) ，都有 f ( x)0矛盾.综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是 (,0) (0,1 .13 分16. 2018 门头沟一模文科

21、 本小题总分值 13 分函数 f (x) x3 ax 2 bx 1 在 x 1 处有极值 1、I 求实数 a，b 的值；II 求函数 错误！未找到引用源。g (x)axln x的单调区间 、解 I 求导，得f( x)3x22axb2分由题意f (1)1 ，解得 a2，b16分f (1)0 II 函数 g(x)axln x 的定义域是 x| x0 ，9 分g (x)2111分x解1且 x | x 0， 得x1 ，2x002所以函数 g( x) 在区间1上单调递增；12分(0,)2解1得x1 ，2x02所以函数 g( x) 在区间 1,上单调递减。13分()218、 2018 密云一模文科 本小题

22、总分值14 分设函数1 x32ax23a2 x 1, 0 a 1.f ( x)3 I 求函数f ( x) 的极大值； II假设 x1 a,1a时，恒有af ( x)a 成立其中 fx是函数 f x的导函数，试确定实数a 的取值范围、解： I f ( x)x 24ax3a2 ，且 0a1 ，1 分当f (x)0时，得 ax3a ；当f(x)0时，得x或3a；a x f ( x) 的单调递增区间为(a,3 a) ；f (x) 的单调递减区间为(, a) 和 (3a,) 、3 分故当 x3a 时， f ( x)有极大值，其极大值为f 3a1、4 分 II fxx24ax3a2x2a2a2 ，当a1

23、时， 1 a2a ，03 f ( x) 在区间内是单调递减、6 分1a,1a2、f（x）maxf1- a8a6a1,f（x）minf1+a2a1 af (x)a ，8a26a1a,2a1a.此时， a、9 分当 1时，f（x）maxf2aa2 、a13 af (x) a ， a2a,即0a 1,11分2a1a,1 ,8a26a1a.a3717a717 .1616此时， 1a717 、13 分316综上可知，实数a 的取值范围为1 , 717、14 分31618. 2018 师大附文科 函数 f ( x)ax ln x ，在点 (e, f (e) 处的切线与直线 4xy 0 平行。 1求函数 f ( x) 的解析式； 2求函数 f ( x) 在 m, m2( m0) 上的最小值。解： 1因为 f ( x)ax ln x ，所以( x)a1 。fx因为曲线 yf (x) 在点 (1, f (1) 处的切线与直线 xy 10 平行，所以切线的斜率 k1 。所以 f(1)1，即 a11 。所以 a2 。 2因为函数f ( x) 的定义域是 (0,)，且( x)1ax1 ，faxx当当a0 时， f (x)0 ，所以 f ( x) 在 (0,) 上是减函数。a0 时，令1 。f ( x)0, xa所以当a1时， f ( x)0 ， f ( x) 在1上是增函数。(0,)(0,a)a当1