相交线和平行线典型例题及拔高训练(附答案)

1、4.2 相交线和平行线典型例题及强化训练课标要求 了解对顶角，知道对项角相等。 了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。 知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质 知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条 直线的平行线。 体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 典型例题1. 判定与性质例1判断题：1）不相交的两条直线叫做平行线。（）2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。（）3）两直线平行，同旁内角相等。（

2、）4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等。（）答案：（1）错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。（2）错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。（3）错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。（4）错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。例2已知：如图， AB/ CD,求证：/ B+Z D=Z BED 分析：可以考虑把/ BED变成两个角的和。如图5，过E点引 一条直线EF/ AB,则有Z B=Z 1,再设法证明Z D=Z 2，需证EF/ CD这可通过已知 AB/ CD和 EF/ AB得至鷹证明：过点E作EF/ AB,则Z B=Z 1 （两直线平行，内

3、错角 相等）。/ AB/ CD（已知）， 又 EF/ AB （已作）， EF/ CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 Z D=Z 2 （两直线平行，内错角相等）。又 TZ BEDZ 1 + Z 2, Z BEDZ B+Z D （等量代换）。变式 1 已知：如图 6, AB/ CD 求证：Z BED=360 - （Z B+Z D）。分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的Z BED都是指E11小于平角的角，如果把ZBED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。证明：过点E作EF/ AB,则Z B+Z仁180（两直线

4、平行，同旁内角互补）。 / AB/ CD（已知），又 EF/ AB （已作）， EF/ CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 Z D+Z 2=180 （两直线平行，同旁内角互补）。 Z B+Z 1 + Z D+Z 2=180 +180（等式的性质）。又 TZ BEDZ 1 + Z 2, Z B+Z D+Z BED=360 （等量代换）。 Z BED=360 - （Z B+Z D）（等式的性质）。变式2已知：如图7, AB/ CD求证：Z BED=/ D-Z B。分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。证明：过点E作EF/ AB

5、,则/ FEB=/ B （两直线平行，内错角相等）。/ AB/ CD（已知）， 又 EF/ AB （已作）， EF/ CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 / FED=/ D （两直线平行，内错角相等）。/ BED/ FED-/ FEB / BED/ D- / B （等量代换）。变式3已知：如图8, AB/ CD求证：/ BED=/ B-/ D。分析：此题与变式2类似，只是/ B/ D的大小发生了变化。证明：过点E作EF/ AB,则/ 1 + / B=180（两直线平行，同旁内角互补） / AB/ CD（已知）， 又 EF/ AB （已作）， EF/ CD（平行于同一直线的两条直线互相平

6、行）。 FED+/ D=180 （两直线平行，同旁内角互补）。1+/ 2+/ D=180o1+/ 2+/ D- （/ 1 + / B） =180 -180 （等式的性质）。2=/ B- / D （等式的性质）。BED/ B- / CO即/例3 已知：如图 9, AB/ CD / ABF=/ DCE 求证：/ BFE=/ FEC 证法一：过F点作FG/ AB，则/ ABF=/ 1 （两直线平行，内错角相等）。过E点作EH/CD，则/ DCE/ 4 （两直线平行，内错角相等）。 FG/ AB（已作），AB/ CD（已知）， FG/ CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。又 EH/ CD （已

7、知）， FG/ EH （平行于同一直线的两条直线互相平行）。即/证法二：如图2=/ 3 （两直线平行，内错角相等）。1+/ 2=/ 3+ / 4 （等式的性质）BFE=/ FECo10,延长BF、DC相交于G点。/ AB/ CD（已知）， /仁/ABF （两直线平行，内错角相等）。又/ ABF=/ DCE（已知）， / 1 = / DCE（等量代换）。 BG/ EC （同位角相等，两直线平行）。 / BFE=/ FEC（两直线平行，内错角相等）。如果延长CE、AB相交于H点（如图11）,也可用同样的方法证明 程略）。证法三：（如图12）连结BC / AB/ CD（已知）， / ABC/ BCD

8、（两直线平行，内错角相等）。又/ ABF=/ DCE（已知）， / ABC-/ ABF = / BCD-/ DCE（等式的性质）。 即/ FBC=/ BCE BF/ EC （内错角相等，两直线平行）。/ BFE=/ FEC（两直线平行，内错角相等）。强化训练一. 填空1. 完成下列推理过程 / 3= Z 4 (已知)，_ /( ) / 5= / DAB(已知)， /( )/ CDA + =180(已知)， AD/ BC ()2. 如图，已知DE/ BC,BD是/ ABC勺平分线，/ EDC= 109,/ ABC= 50 则/ A度，/ BDC=度。3. 女口图，AB/ CD,BE,CE分另U平

9、分/ ABC / BCD,则/ AEBZ CED=。4. 将点P(-3 , y)向下平移3个单位，向左平移 2个单位后得到点 Q(x, -1)，则 xy= 。5、已知：如图，直线 AB和CD相交于O, OE平分Z BOC且Z AOC=68，则Z BOE=二. 选择题在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔C两直线平行，内错角相等;D 、两直线平行，同旁内角相等。的()A南偏西50度方向；C北偏东50度方向;2.如图,AB / EF/ DC, A 6 个 B .5B南偏西40度方向；D北偏东40度方向EG/ BD,则图中与Z 1相等的角共有()个C .43、4、同一平面内

10、的四条直线若满足 )a /如图D.2 个a丄b,b丄c,c丄d,则下列式子成立的是d B,Z 1和Z 2互补，Z 3=130 ,那么Z 4的度数是(B. 60C.70D.80AB/ CD 且Z ABC=20 , Z CFE=30 ,A. 50 5.已知：则Z BCF勺度数是()图2-4C两直线平行，内错角相等;D 、两直线平行，同旁内角相等。A. 160 B.150C.706(2003南 通 市)判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l 1 / I2的是(A)Z 1 = Z 3( B)Z 2=Z 3(C)Z 4=Z 5( D)Z 2+Z 4= 180 7. (北京市海淀区2003年).如图，

11、直线c与直线a、b相交，且a/b，则下列 结论：(1) Z1 Z2 ; (2) 1 =; (3) 3 =/2 中正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 38. (2004年浙江省富阳市)下列命题正确的是()A、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B两线与第三线相交，内错角相C两直线平行，内错角相等;D 、两直线平行，同旁内角相等。9. （2003年安徽省）如图，AB/ CD AC丄BC,图中与/ CAE互余的角有”（A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个/ 2的度数。第2题第5题第6题10.（日照市2004年）如图，已知直线 AB/ CD当点E直线AB与CD之间时，有Z BED=

12、Z ABEZ CD成 而当点E在直线AB与 CD之外时，下列关系式成立的是（）AZ BED=zI ABEzI CDE或Z BED=ZABEZ:CDE;BZ BED=zI ABE-zI CDECZ BED=zI CDI ABE或Z BED=ZABEZ:CDE;DZ BED=zI CDI ABE三. 解下列各题：1. 如图，已知 OALOC OBLOD Z 3=26，求Z 1、2、已知 AD/ BC, Z A= Z C,求证：AB/ CD3. 如图,AB / CD,求/ BAEZ AEFZ EFOZ FCD勺度数.求证：DEL AC.已知，如图 ACL BC,HFL AB,CDL AB, Z ED

13、(与Z CH互补,4. 如图，已知 AB/ ED, Z ABC=135 , Z BCD=80，求Z CDE勺度数。5. 已知：如图， ADL BC于 D, EGL BC于G, AE =AF.求证：AD平分Z BAC四、如图A、B是两块麦地，P是一个水库，A、B之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A B两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时省料经济合算？请说出你的设计方案，并说明理由。相交线与平行线2. 1 略；121 , 84; 3. 90 ; 4.-10 ; 5。56 题号12345678910答案BBAADBDCBC三.1.解：T OAL OC 0血 OD/ 1+/ 2 =90。，/ 3+/2 =90/ 仁/ 3=26 / 2=642证明：T AD/ BC / A+/ B=180/ / A= / C, / C+/ B=180 AB/ CD.1. 解：连结AC./ AB/ DC / CAB/ ACD=180/ CAE/ ACF+Z E+/ F =360 / CAB/ ACD=180 / BAEZ AEF+Z EFC+Z FCD=5404. 证明：T HF丄AB, AB丄CD CD/ HF, / CHFZ HCD=180/ ED（与/