材料习题解答[第五章]

1、(2)用单元体表示危险点的应力状态(即5-1构件受力如图5-26所示。试： 确定危险点的位置; 用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力)。勺Adi -TA2T一的?卜斗的F(a)B 3T(c)MTA “ |i! d(d)题5-1图解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2)用单元体表示的危险点的应力状态见以下列图。b) 1) 危险点的位置：外力扭矩 3T与2T作用面之间的轴段上外表各点;2)应力状态见以下列图。c) 1) 危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点;2 )应力状态见以下列图。d) 1 )危险点：杆件外表上各点；2)应力状态见以下列图。d)a)b)c

2、)5-2试写出图5-27所示单元体主应力(71、(T 2和厅3的值，并指出属于哪一种应力状态(应力单位为MPa。50+ 50a)解：a)1 =50 MPa,2 =c)b)c)1=20 MPa, 2 =10 MPa,3 = 30 MPa,属于三向应力状态5-3一点的应力状态如图 切应力。5-28所示应力单位为MPa。试用解析法求指定斜截面上的正应力和a)c)3010b)1=40 MPa, 2=0,3 = 30 MPa,属于二向应力状态x sin 2x cos2b)取水平轴为x轴,根据正负号规定:c)x = -40MPa ,带入公式，得：4002400 .sin 2取水平轴为x轴,y =0 , x

3、=20 MPa , a =120cos 24020si n240224020cos240 =7.32MPa=7.32MPax= -10MPa ,y =40MPa , x = -30MPa, a =30代入公式得:1040210 40 . sin240cos60 ( 30)sin 60 =28.48MPa6030cos60 =-36.65MPa题5-3图解：a取水平轴为x轴，那么根据正负号规定可知:x =50MPa , y =30MPa , x =0, a = 30带入式(5-3 ) , (5-4 )得x ycos 22=45MPaxysin 22=-8.66MPa5-4一点的应力状态如图5-2

4、9所示应力状态为MPa。试用解析法求：1指定斜截面上的应力；2主应力与其方位，并在单元体上画出主应力状态;3最大切应力。a)b)c)题5-4图a解：1 求指定斜截面的上应力取水平轴为x轴，那么x=100MPa ,y =40MPa ,x =40MPa, a =45max minb )解:带入公式,10040得：30 cos902210040si n9040cos902求主应力与其方向，由公式40sin 90=30MPa5-8 )得:=30 MPa10040按代数值11120 MPa,2100 40402120MPa2020 MPa,MPa由公式5-7 可求得主应力方向tg2 02 40100 4

5、01.330 = 53.13,0 = 26.57最大主应力最大切应力由公式5-20max1的方向与x轴正向夹角为顺时针120 060 MPa1求指定斜截面上的应力取水平轴为x轴,x=60MPa , y= -20MPa ,代入公式得26.57x = -30MPa, a = -3060 ( 20) 60 ( 20) cos( 2 260 ( 20) =sin( 60) 30cos(2)求主应力与其方向，由公式(5-8 )得：2xy22 xx ymaxmin260 ( 20)2按代数值1c)解:60 )30sin( 60 )=14.02MPa60) = -49.64MPa60 ( 20)i 70 M

6、Pa,20 MPa,由公式5-7 可求得主应力方向tg2 030)23070MPa30MPa3060 ( 20)0.752 0 = 36.87,0 = 18.43最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针 26.57如下列图:3最大切应力由公式5-20max70( 30)250 MPa取水平轴为x轴，那么=60MPa ,代入公式得:60 02y =0 , x = -40MPa, a = -150-0cos( 300)2x=6O_40si 门(300)(40)sin( 300) =79.64MPa40 cos( 300) =5.98Mpa求主应力与其方向，由公式5-8 得:max min2xyxy

7、L J 2 260 0 60 0 2 80 (40)MPa0按代数值123得1120 MPa,220 MPa,30 MPa由公式5-7 可求得主应力方向tg2 02 40460 032 0 = 53.13,0 = 26.57最大主应力i的方向与x轴正向夹角为逆时针 26.57如下列图:3最大切应力由公式5-20max5-5一点的应力状态如图80 ( 20)505-30所如下列图应力状态为MPa。试用图解法求:1指定斜截面上3最大切应力。a)的应力；2主应力与其方位，并在单元体上画出主应力状态;题5-5图由图示应力状态可知解：1求指定斜截面上的应力x=40MPa ,y=20MPa , x=10M

8、Pa, y =-10MPa由此可确定面的D D'两点，连接D D'交于C。以C为圆心,圆，斜截面与x轴正方向夹角为60，在应力圆上，由 D逆时针量取120得坐标即为斜截面上的正应力和切应力：'为直径可做应力，按比例量的 E点xE=60MPa yE=3.7MPa2求主应力与其方程应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力:Xa= max =44.14MPa， Xb= min = 15.86Mpa按照 i 23得约定，可得三个主应力为：i=44.14MPa,2 =15.86MPa ,3 =OMPa由D转向A的角度等于2 0。量得2 0=45 顺时针因此，最大主应力

9、与x轴正方向夹角为顺时针22.5 。3最大切应力等于由1 3画出的应力圆的半径 max=22.07MPab解：首先做应力圆：其中 D0，-20D'50，+201斜截面与y轴正方向夹角45逆，因此从D逆时针量2 0 =90得E点：XE =5MPa yE = =25Mpa2XA = max =57MPa Xb = min = -7Mpa按照 123 得 1 =57MPa 2 =0MPa，3 = -7MPa1主应力方向：最大主应力与y轴夹角为D CA 19.33 顺23最大切应力等于由1, 3画出的应力圆的半径：max 32 MPac解：由图示应力状态可得应力圆上两点D -20，20和d&#

10、39; 30,-20连DD交 轴于C,以C为圆心，dD为直径作圆，即为应力圆，如下列图1 斜截面与x轴正方向夹角为60 顺,因此由D顺时针量120得E点xE =34.82MPa， yE = =11.65MPa2主应力与其方位应力圆与轴的两个交点 A,B的横坐标即为两个主应力：xA = max =37MPa> xB = min = -27Mpa因此 1 =37MPa 2 =0MPa，3 = -27MPa由D'到A的夹角为逆时针38.66 ，因此最大主应力为由 y轴正方向沿逆时针量 19.33所得截面上的正应力。3最大切应力为由1, 3画出的应力圆半径max 32 MPa5-6 一矩

11、形截面梁，尺寸与载荷如图5-31所示，尺寸单位为 mm试求：1梁上各指定点的单元体与其面上的应力；2作出各单元体的应力圆，并确定主应力与最大切应力。题5-6图解：1各点的单元体与应力由梁的静力平衡求得 Fa FB 250kNA,B,C三点所在截面上的弯矩 M 250 1030.2562500Nm剪力 Fq 250 kNPa=93.75MPa 压应力1 20.1 0.22646.875 MPa 压应力3 Pa2 0.1 0.218.75MPab 3 c 14.06 MPa42作各单元体的应力圆A 点：1 0, 2 0, 393.75MPa max =46.875MPaB 点：XA13.9MPa

12、xB50.7 MPa 20，max=27.3MPaC 点：xA118.75MPa， Xb2 0,3=-18.75 MPa，max =18.75MPa5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力与最大切应力应力单位为MP3。a20bc题5-7图解:a 主应力50 MPa由于其它两方向构成纯剪切应力状态,所以有，max七亠=50吩b 一个主应力为50MPa其余两个方向应力状态如下列图x=30MPa y = -20MPa， x=20MPa代入公式5-830( 20)30 ( 20) 22022 237MPa27所以 1=50MPa 2 =37MPa,3 = -27MPamax13 =502738

13、.5MPa2b)一个主应力为-30MPa,其余两方向应力状态如下列图取 x=120MPay = 40MPa，x =-30MPa代入公式所以1=130MPa13max =2max min120402 =30MPa，120 403 =0MPa=型4 80MPa30)2130MPa305-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。(T(ThT题5-8图解：a三个主应力为1, 230三向应力圆可作如下0,b这是一个纯剪切应力状态其三向应力圆为max = T三向应力状态：一个主应力为零先做一二向应力状态的应力圆，得1,3再由1 ,2 和 2,3分别作应力圆三个应力圆包

14、围的阴影局部各点对应三向应力状态5-9二向应力状态如图 5-34所示。试作应力圆并求主应力应力单位为 MPa。解：画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴,y=50MPa , x = ?,a =30 时 =80MPa,=0代入式5-3 5-4x 502-50 cos 60x sin 602=80Mpa-50 si n602x cos60x=70MPa , x10、3 MPa可做应力圆如下列图由应力圆可求的三个主应力分别为1 =80MPa 2 =40MPa,3 =0MPa最大切应力为 max =40MPa5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态,AB面上无应力作用。试求切应力T和三个主

15、应力。题5-10图解：画出二向应力状态单元体，取水平方向为x轴那么x=15MPa ,y=-15MPa , x = T,a =135 时 =0,=0代入式(5-3)(15)( 15)2=0(5-4)(15)( 15)cos270xsin 270x cos2703sin2702=0(自然满足)由上式解得 x=15MPa主应力可由公式5-8 求X ymaxmin2(15)( 15)(15)( 15)因此三个主应力为22(15)0MPa301=0，=0，3 =-30MPa0 ( 30)215 MPa5-11单元体的应力圆或三向应力图如图 力图，并指出应力圆上A点所在截面的位置。5-36所示应力单位为

16、MP3。试画出单元体的受*(T00一o3o3irToA20*(Te)d)题5-11图f)5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。:80 MPa,40 MPa,50 MPa。试求主应力和最大切应力。x题5-12图解:x=80MPa , y =40MPa , x= t,=50MPa, a =6050 I将以上数据代入公式80 40 cos12025-3)x sin 120x=0再把代入公式5-8 求主应力max min因此三个主应力为804080 400280MPa1=80 MPa，2 =40 MPa，=-30MPa3 =40MPa5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。两个斜截面a和

17、卩上的应力分别为40 MPa, 60 MPa；200 MPa, 60 MPa=试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径Ro解: =40MPa,=200MPa,=60MPa, =60MPa由上面两组坐标可得应力圆上两点D,D2,连DD2,作其垂直平分线交b轴于 C点，以C为圆心,CD为半径作圆即为所求应力圆。由图中几何关系可得圆心坐标C(120,0)半径 R. 602 802 =1005-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆外表上某点K任意两互垂方向的线应变和 。试求所受拉力F。材料弹性常数E、v，圆杆直径do| .£s'./题5-14图解:围绕K点取单元体,两截面分别沿s'

18、;和 s方向。如以下列图所示由广义胡克定律联求解得E ' E "2我们还可以取K点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面截取 根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量得：E ' E " 12所以F= A=d2145-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴外表K点与轴线成30°方向的线应变30。试求外力偶矩T。圆轴直径d ,弹性模量E和泊松比v。解:围绕K点沿£ 30方向和与之垂直的方向取单元体如左图6060303030由沿横纵截面单元体如右图 由公式5-3、5-4)得:cos120sin120cos120sin(cos(3060

19、60 )12由胡克定律60E-12E2E 30又T丄Wp16Td3'd316所以T 2d E 303 d3E 3016 3 124 110X 10 X 10mm,铝材铝块的三个主应力与相应的变形。解:F力作用面为一主平面，其上的正应力为6 1032 MPa = -60MPa10前后面为自由外表,也为主平面,1=05-16 一刚性槽如图5-41所示。在槽紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为 的弹性模量E=70GPa v =0.33。试求铝块受到 F=6kN的作用时，由题意知 2 =0由胡克定律所以19.8MPa所以111119(0 0.25(200 10919( 60 0.25(0 19.8

20、) = 763.8200 1019.860)=376.2 10 6376.2 10 6 103.672 10 3mm10 612125-17现测得图外径之比为763.8106107.64 103mm5-42所示受扭空心圆轴外表与轴线成45°方向的正应变45，空心圆轴外径为D,a。试求外力偶矩45和135面上主应力取得极大值和极小值，为主平面,1 = T,T解:受扭圆轴外表上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上由胡克定律1451=E 11代入化简得 e45所以E 451由受扭圆轴外表上一点剪应力公式Wp16TkTD3(1164)D(14) E 45_161D314E 451

21、615-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K点与轴线成45°方向的线应变 4550 1 0 6，材料的弹性模量E 200G Pa ,0.25。试求梁上的载荷F之值。0.5m1mKE& 45°题5-18图 解：K 点的应力状态如下列图其中t由公式3-40 求得3 Fq2 bh602f3100 10600010又K点有,135方向有 1，代入到胡克定律45Pa比轴两式有F600010 6451 0.25=48000N=48kN5-19图5-44所示受拉圆截面杆。A点在与水平线成60°方向上的正应变604.010直径c=20mm材料的弹性模量 E 200

22、 103 MPa,0. 3。试求载荷F。F题5-19图解:6060304E 3又所以20210200 1 09 4 1 0 4-d24(3)=37233.7N=37.23 kN3 0.30 03cos1200si n1202 240013022-cos( 60 )0sin( 60 )4由胡克定律A点应力状态如下列图由公式5-3 605-20试求图5-45所示矩形截面梁在纯弯曲时AB线段长度的改变量。：AB原长为a,与轴线成45°，B点在中性层上，梁高为h，宽为b，弹性模量为 E泊松比为v，弯矩为 MM题5-20图解:求AB的伸长量需先求 AB方向的应变，去AB中点位置C其应力状态如下

23、列图，其中 =MyCIz1M asi n452bh由此可求出AB方向与与其垂直方向的正应力AB00cos27O 0si n 270-2 2 2ABcos900si n901111ABEABAB E22由胡克定律2E 1l ABab Lab1彳M -asin45. 2 . “ “、123Ma sin45(1)a厂2E 1 . . 3Ebh3bh12EEr2212210902 1'、.04545905-21用45°应变花测得受力构件外表上某点处的线应变值为& 0° =-267 X 10-6, & 4了 =-570 X 10-6与&=79X 10-

24、6。构件材料为Q235钢，E=210GPa v =0.3。试求主应变，并求出该点处主应力的数值和方向。解：由公式5-36 可求主应力：210 10921 0.326779210 109.2 1 0.32267 570570 79 2 10 653.61110.01106106Pa53.61MPa110.01由公式5-34 求主应变，在此之前先由(5-33)求45570090902cos2sin22267 792267 792cos90106sin90代入5-34xy2 22xy22 x267 792 26779 2( 952)2 10 6x6925 10412.46 10600 10主应力与主应变同方向：由(5-35 ): tg2 0952267 792 a 0=70 , a o=356 65-22在某液压机上横