模型参考自适应控制

1、第九章 模型参考自适应控制(Model Reference AdaptiveControl )简称 MRAC介绍另一类比拟成功的自适应控制系统，已有较完整的设计理 论和丰富的应用成果(驾驶仪、航天、电传动、核反响堆等等)。§ 91 MRAC的根本概念系统包含一个参考模型，模型动态表征了对系统动态性能的理想要求，MRAC力求使被控系统的动态响应与模型的响应相一致。与STR不同之处是MRAC没有明显的辨识局部，而是通过与参考模型的比拟，发觉被控对象特性的变化，具有跟踪迅速的突出优点。 设参考模型的方程为*Xm AmXm Br式(9-1-1)ym = CXm式(9-1-2)被控系统的方程为

2、XsAsBsr式(9-1-3)ys - CXs式(9-1-4) 两者动态响应的比拟结果称为广义误差，定义输出广义误差为e = ym -ys式(9-1-5)；状态广义误差为:=X m s式(9-1-6)。自适应控制的目标是使得某个与广义误差有关的自适应控制性能指 标J到达最小。J可有不同的定义，例如单输出系统的式(9-1-7)J ；e2( )d或多输出系统的t TJ 二eT( )e( )d0式(9-1-8)MRAC的设计方法目的是得出自适应控制率，即沟通广义误差 与被控系统可调参数间关系的算式。有两类设计方法：一类是“局部 参数最优化设计方法，目标是使得性能指标J到达最优化；另一类 是使得自适应

3、控制系统能够确保稳定工作， 称之为“稳定性理论的设 计方法。§ 9 2局部参数最优化的设计方法一、利用梯度法的局部参数最优化的设计方法这里要用到非线性规划最优化算法中的一种最简单的方法 梯度法(Gradient Method )。1. 梯度法考虑一元函数f(x)，当：汀(x)/= 0，且f2 (x) / ； x2> 0时f(x)存在极小值。问题是怎样调整x使得f (x)能 到达极小值？x有两个调整方向：当rf(x)/：x > 0时应减小x ;当rf(x)/：x < 0时 应增加x。两者合并表示为：f(X)式(9-2-1)为步长系数( > 0 )。把函数f(x)

4、在x方向的偏导数称为梯度。上式含义为：按照梯度的负方向调整自变量x。该结论可推广到多元函数求极值的情况。2 .具有一个时变参数一一可调增益的 MRAC设计(MIT方案)1958年由麻省理工学院提出。参考模型传函为y m ( S )_Kmq ( S)r(s)p(s)式中：q(s) = b isn-1+ + bn ;p(s) = s +ais + an广义误差为e = ym -ys性能指标为：式(9-1-7)。系统的可调增益为Kc,目标是设计出随着e而调整Kc的规律，以使J到达最小。J对Kc的梯度为2eto由梯度法有:t0将上式两边对t求导数，得到e式(9-2-2)Kc =2 ec广义误差对输入信

5、号的传函为W(s)=譽r(s)ym(s)- ys(s)r(s)(Km-KcKs)q(s)p(s)自适应回路开环情况下系统传函为引入微分算子：D = d/dt、D2 = d2 / dt2，由上式得到微分方程:P(D) e(t) = ( Km - KcK)q(D) r(t)两端对Kc求偏导数P(D)KcKsq(D)r得到式(9-2-3)q(D)KcP(D)由模型的微分方程：p(D) ym (t) = Kmq(D) r(t)得到q(D)ym代入式(9-2-3)，得出：P(D)rKmeKsKcKmym代入式(9-2-2)，得出K c 二 Bey m式9-2-4其中：B = 2 Ks / Km ,当Ks

6、与Km同号时B为正值常系数，即自适 应回路的积分时间常数。实现的方案如下列图，自适应回路由乘法器与 积分器组成。该方案能够使得J为最小，但是不能确保自适应回路是 稳定的。需要通过调整 B的大小，使得系统稳定且自适应跟踪速度也比拟快。MIT方案应用举例：二阶电传动调速系统的模型参考自适应控制马润津等 可控硅电传动模型参考自适应控制“自动化学报1979。第实验结构图§ 9 3基于李雅普诺夫第二方法稳定性理论的MRAC设计方法1.关于李雅普诺夫Liaupunov稳定性的第二方法是关于动态系统无论线性或者非线性稳定性分析的理论，特点是不需要求微分方程的解，而是直接根据某个特定的函数李雅 普诺

7、夫函数对时间的变化率来判断其稳定性，因此又称直接法。它 特别适用于非线性、线性时变或多变量系统的稳定性分析。a 李雅普诺夫意义下的稳定性对于以状态方程X= fX,t 且 f0,t=0 vt 式9-3-1 描述的动态系统，如果存在一个对时间连续可微的纯量函数VX, t ，满足以下条件：1V X, t 正定；2V沿方程式9-3-1 解的轨迹对时间 的一阶偏导数V存在，且为负半定或负定，那么称VX, t 为李雅 普诺夫函数，且系统式8-3-1 对于状态空间的坐标原点 X=0为李 雅普诺夫意义下的稳定或渐进稳定的。李雅普诺夫函数的几何意义可以理解为：VX表示状态空间原点到状态X的距离的量度，如果其原点

8、到瞬时状态Xt间的距离随着 t的增长而不断减小那么系统稳定，Vt对时间的一阶偏导数相当于 Xt 接近原点的速度。李雅普诺夫函数的物理意义可以理解为：一个振动着的力学系统，如果振动的蓄能不断衰减，那么随着时间增长系统将稳定于平衡状态，而李雅普诺夫函数实质上可视为一个虚拟的能量函数。b用李雅普诺夫第二方法分析线性定长系统的稳定性线性定长系统式 9-3-2可取一个正定的纯量函数V(X)二 XTP X式9-3-3其中P为正定的实对称矩阵。V沿式9-3-2的轨线的一阶导数为:V(X)二 X PX XTP X - (AX )T PX XTPAX 二 二 Xt(AtP PA)X XtQ x其中q与P满足线性

9、代数方程称李雅普诺夫方程At P PA Q式9-3-4如果Q是正定矩阵，那么VX的一阶导数是负定的，VX是李雅普诺夫函数，系统式9-3-2对于平衡状态X=0是渐进稳定的2 .应用李雅普诺夫第二方法设计可调增益的 MRACKmr$汕咖>-/Xk-?JKsA5沏心参考模型状态方程X A Xm Bm r ym 一 C X m式9-3-5其中:系统状态方程_KC= 1 01X A X s Bs r c x s式9-3-6Bs0Ks定义广义误差AA_ele = y m "ys ;XmX s = 1 1.e令E = Km - Ks ,由式9-3-5 和式9-3-6得出广义状态误差方程二 A

10、 B r式9-3-7其中 B = 0, E T为了保证MRAC系统稳定，要找到一个李雅普诺夫函数 V。 试取纯量函数V二 T p ； + e 2式9-3-8其中P为正定实对称阵，显然V也是正定的。求V沿式9-3-7 的轨线对t求导数dV/dt 二；P； 2 EE将式9-3-7 代入上式，有dV/dt = tA+ B TrP : + TPA +Br+2 EE=tA t P ；+ tPA + B t r P ；+ TPBr + 2 E E=t(A TP + PA)；+2TPBr + 2 EE 式( 9-3-9 )为保证dV/dt负定，须使二次型 J(A TP+PA)g负定，且后两项之 禾口为零。由

11、于A为稳定矩阵，方阵(A tP+PA)肯定是负定的。由式(9-3-9)的后两项之和为零的条件，得出：2 EE 二 2TPBr* s T P B r式(9-3-10)由于E 二九 ETr! - P1P21101g PB ="2 12P22上一=C1R2 + 名2P2)E所以E= - 1(R2 十 P2 s2)r(t)扎由E = Km - Ks (t),得到自适应控制律:Ks 二 1 (R2p2 2)厂(Co e C1 e) r扎其中：Co = P 12 /, C 1 = P 2 /,或与成:t式(9-3-11)Ks = (Co e C1 e) r(t) d Ksoto按照上式实施控制，

12、能够保证V；是正定而dV/dt是负定的，即V；是李雅普诺夫函数，自适应系统对于；二0的平衡状态是大范围渐进稳定的，也就是当t > :时；?0。系统结构如下列图：3. 应用举例：直流电传动自适应控制可控硅直流调速系统结构图，设二=t1 + t2,可简化为开环总增益 Ks = Ki K2 / C e i为时变且可调参考模型状态方程为_ - 11|Xm1 丨0 0I IJ rxd 1-1 I Xm2 J L1J-cr式 9-3-12被控系统状态方程为X 0 S丨丨x o |孕|= |： .-|XsV l r1X sd I-1 XS2丄式 9-3-13可见As和Bs中仅a12二Ks/二一个元素是

13、时变的。为了设计出比拟简单的自适应线路，选择正半定的 Q阵001b由李雅普诺夫方程At P PA Q式9-3-4解出:由于匚 0 ,所以P阵是正定的，将P代入As的第aj元素的自适应调整律1g厂 J(P * xS)ijd Sj(P xS)q fij to得到比例一一积分型的自适应律1 t凸 a 12='XS2d T + S12 名 1' X s 2 rl2 to而a12 = K s (t) /匚，那么有r12 to(1Xs2)dS12 ( 1 X S2 )其中的Xs2虽然不能从系统中直接测量，但是可由以下关系式XS2一 Usf1匚S很容易重构，得出Xs2的估计量。下列图示出了可

14、控硅电传动 MRAC实验系统的简化原理图:实验结果如下列图，被控系统开环增益 K°=3.4Km ,参加自适应控制后，能够自动调整 Ks使得系统的动态响应与参考模比尸b十栅睡庐一却2恵应一型的一致。§ 9 4基于超稳定理论的 MRAC设计方法超稳定理论最初由波波夫在研究非线性系统绝对稳定性时提出 的，该理论对研究非线性时变反响的非线性系统的稳定性很有用途， 特别是等将超稳定理论用于 MRAC系统的设计，取得良 好效果。本节仅就其根本概念和主要结果作一些简要介绍。一、关于超稳定性理论的根本概念1.直观概念先从简单的直观概念出发，体会稳定性的含义。讨论一个由线性定常的正向通道和非

15、线性时变的反响通道组成的单输入 单输 出闭环系统见下列图。如果该闭环系统能够满足以下两个条件：a线性定常的正向通道动态性能等价于一个无源网络；b非线性反响通道为正向通道提供的总能量 系统储能是有限的, 那么该系统一定是稳定的。由网络理论，以上的条件a等价于传递函数Zs二ys/us是正实函数；条件b可以用以下积分不等式来表示:T2J u(t) y(t) dt 式(9-4-1)0其中：T > 0,6为某一有限值的常数。2. 关于正实和严格正实函数函数的正实性概念是从网络分析中引申来的，数学的正实函数概 念上与物理的无源网络相关。无源网络能量的非负性，其传递函数是 正实的。Z (s)是正实函数

16、的定义是：(1) s为实数时Z (s)也为实数；(2) Z(s)无右半开平面的极点；(3)对于任意实的，(-：<<：)有 Re Z(j ) 一0。如果上述条件(2)改为Z(s)无右半闭平面的极点；(3)改为Re Z (j ) >0 ,那么函数Z(s)是严格正实函数。正实和严格正实传递函数有以下特点：(1) 严格正实传递函数对于-> 0的乃奎斯特图的矢端曲线完 全在第四象限内(正实传递函数的乃氏图可能与虚轴相切) ，即输出 对输入的相位滞后不超过900 ;(2) 如果Z(s)正实，贝卩1/Z(s)、Z (1/s)和c Z (s)也正实(c 为大于零的常数)；(3) 如果Z

17、1(s)和Z1 (s)正实，那么它们的串联Z1(s) Z 1(s)、 并联 乙(s)+Z 1 (s)和反响联接如乙(s) / (1+ Z 1 (s) - Z 1 (s)均也正实。3. 关于超稳定 (Hyperstable )和渐进超稳定 (Asymptotically Hyperstable ) 的定义：考虑一个多输入多输出系统X = AX + B U式(8-4-2)Y 二 C X式(8-4-3)其中U和丫分别为m维的输入和输出量，U为有界函数，且它的拉 氏变换存在；X为n维状态向量，假定该系统是某一传递函数矩阵Z(s)的最小实现Z(s) = C (sI- A)-1B超稳定的定义是：如果对于任

18、何 T > 0，输入和输出向量满足TJUT(t) 丫(t) d-62式(8-4-4)0(6 >0的常数)必有以X(0)为初始状态的解X(t)满足IIX(t) II 乞K ( IIX(t) 11+)式(8-4-5)(K> 0的常数)，那么称平衡点X = 0是超稳定的，简称为系统是超稳 定的。式中的IIX II表示向量X的模(长度)。如果超稳定的系统对于U(t)的任意解X(t)(在任意初始状态下) 都有式(8-4-6)lim xt= o那么平衡点X = 0称为渐进超稳定的，或简称系统是渐进超稳定的不等式Tu(t) y(t) dt式8-4-1被称为波波夫不等式，其意义可理解为：系统从 0到T时刻的储能 是有界的。这种情况下超稳定意味着状态的变化被局限在X = 0附近。式8-4-4 的积分与李雅普诺夫稳定性理论中的李雅普诺夫函 数V的作用相类似。4. 关于超稳定性的定理定理系统式8-4-2和式8-4-3 是渐进超稳定的充要条 件是传递函数矩阵Zs 是严格正实矩阵。、用超稳定理论设计MRAC系统思路是先将自适应系统转