正切函数的图象与性质教学设计吴永娇一教材分析1地位与作用

1、?正切函数的图象与性质?教学设计吴永娇一.教材分析1. 地位与作用?正切函数的图象和性质?它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。2. 教材处理教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。正切函数与正弦函数在研究方法 上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发冗现作正切曲线的一种方法。教材上直接圈定了区间，一，这样限制了学生的思维，我把2 2空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学 生

2、的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大 小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。二学情分析知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，而对正弦函数的研究又再一次做了一个模板， 所以学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。 但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真 的态度。心理特征：高一学生已经初步形成了是非观， 具备了分辨是非的能力及语言表达能力。 能够 通过讨论、合作交流、辩论得到正确

3、的知识。但在处理问题时学生很容易想当然用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。三教学目标确定及依据正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些 性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1. 知识与技能：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。2. 过程与方法：首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投

4、影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比 正弦，探索知识。3. 情感态度与价值观：在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。4. 重点与难点重点：正切函数的图象及其主要性质。依据：研究函数的性质离不开图象，对于正切函数来说，由于定义域的不连续性，导致了图 象的 间断性。所以，要探索出正确性质，必须准确画好图象。难点：利用正切线画出函数 y=ta nx，x的图象，对直线x= k， kZ是y=ta nx的渐2近线的理解，对单调性这个性质的理解。依据：由于定义域是X I X工I， -，k Z ，在

5、内考虑当X由小逐渐向.增大时，y'2 2的值如何变化，而x= k, k Z在图象上应怎样刻画。 学生还没有接触 极限问题，所以,2渐近线是学习的难点所在，而在对单调性的理解上， 学生会直观感受到这是增函数，而忽略应该是一段一段被割裂的单调增函数。四教学理念及流程设计一教学理念本着以人为本的教学理念及发挥学生主动性，使学生成为课堂的主体的教学原那么，遵循事 物的发生、开展成熟过程及学生的认知规律，通过学生的自主探索，总结出函数的图象，并通过 图象得出正切函数的性质，在此过程中表达生生、师生之间的团结合作，互相帮助的精神，学生 的内在潜能得以挖掘。 通过例题的分析，学生分析问题及严密推理能

6、力得以提高，学生体会到学习数学的乐趣，同时发现数学不但美妙而且神奇，并在此过程中体验成功后的喜悦。二流程设计1.复习：问题1就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？三角函数y=s inxy=cosxy=tanx定义域RRx Hk 兀 +丄，k E z2值域-1,1-1,1R周期性及周期2 n2兀JI奇偶性奇偶奇大家怎么知道正切函数的值域是R?通过单位圆中的正切线可以得到。那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。设计意图：通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；通过此问题来复习我们已经研 究过的正切函数的性质；通过比拟让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别； 因为在

7、作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维 在知识链接处提问问题2:我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即0, 2 内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。问题3:请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象；第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去；第三步：根据图象总结性质。2. 新知探究： 请同学们解决方案的第一步，先画出y=tanx在一个周期内的简图。给学生充足的时间与空间，发挥学生的主动性， 这样不仅提高了学生的动手实践能力，还培养了学生

8、对数学的兴趣。注：有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图，很多学生会画出(0二)的图象，教师暂时不予评价，等待学生形成图象。 教师用投影仪展示作图结果，学生之间相互评价，指出优点和缺乏之处，并鼓励学生阐述 自己的观点。教师直接在投影仪上纠正学生错误的图像；并将(0,兀)的图象与巴的图I 2 2 丿 像进行比拟来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。通过学生之间的点评与总结，弓I出渐近线，并请同学们总结出：要画出一个周期内的图象， 首先，选择哪段区间较好，其次，在画图象的过程中应该注意什么？ 投影仪展示完整图像。目的是标准作图，理顺思路的作用，并画出在定义域上的图象。(设计意图

9、：在做好整体知识方法的铺垫后，学生完全有能力自己得到图象，并且通过交流发 现自己的问题，所以整体做了一个这样的处理。而根据知识的发生开展和获得结论这个过程， 在最后给学生展示标准的图象以留下正确和深刻的印象) 总结正切函数的性质。分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质，并找出其它的性质(主要就指单调性，假设学生提及对称性就一起分析，假设学生不提也不加以讨论，因为高考 要求没有对对称性的涉及)。一组总结后，其它各小组补充或改正。培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。有局部学生会得到正切函数在定义域上是单调增函数的结论，所以为了突破这个难点，另外又设计了三道判断题让学生小组讨论形成结

10、果。判断以下语句是否正确：(1) y=tanx在定义域上是单调增函数；(2) y=tanx在第一象限是单调增函数；(3) "，而y=tanx是单调增函数，tan二- ta门二16 8 'P 16 8在整体形成应该如何理解正切函数的单调性的根底上，再完成两个比大小的问题。不求值，判断以下各式的大小 tan 138 0 1430,引导学生从数和形两个角度来完成, 利用三角函数线来比大小。13n3兀tan () tan ()45可以直接看图象， 可以转化到同一个单调区间，也可以(设计意图：根据原来的教学经验，学生在后续使用这个性质的时候经常会认为正切在定义域上是单调增函数，或者对第

11、一象限的认识就认为是0，所以准备这些辨析题就是让学生2缩短这个反复讲解的过程，留下正确的印象，而比拟大小是检验能否认识三角单调性的一个很 好的工具，诱导公式的使用又将前后内容联系起来)3. 例题分析例1:求以下函数的定义域。1 1y=；2y= . tanx3y=tan 2x1 -ta nx4由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。设计意图：根据以往学生的作业错误安排了这些例题，在1的解题过程中学生会忽略 tanx本身的定义域，在2的解题过程中学生不会选择一个周期通过图象来得到；在3的解题过程中应该用整体思想来解决，而整体思想对解决三角函数的很多类型题都非常有帮助。变式：在3中，同学们

12、还可以得到它的什么性质？设计意图：进一步熟悉整体思想求单调区间和周期公式4. 课堂总结：学生总结学到了什么？从知识和方法两个层面引导学生总结学到了什么？知识:正切函数的图象与性质；方法:数形结合的思想、研究周期函数的方法、整体思想、类比思想。5. 课后反思1y=|sinx|的周期变成了 2二，那y=|tanx|变成了什么？2在书本P34有正切、余切的由来，请同学们仔细阅读，并想想为什么直阴影是余切，反阴 影是正切？6. 教后反思1根据知识的前后联系在本节课设计时主要采取类比学习，学生自己动手绘图、自己研究性 质、自己完成辨析、判断和例题的过程。在学生能够自己独立完成的地方，教师退到幕后起到一

13、个推波助澜的作用和汇总学生意见，形成正确知识和方法的作用。2根据学生学习知识的发生开展成熟过程，在生成图象的过程中让学生自己先独立画，然后小组交流，再用投影仪来纠正学生错误图象，比拟不同周期的图象，最后用投影仪展现定义域内的标准图象，充分表达了学生的主体性，让学生活起来。3张寿松教授曾经说过：教师在教学的过程中会有三个阶段有教材无我有教材有我无教材有我，在这节课的教学中我经历了从到的转化过程，因为是对外大市公开课， 一开始我比较紧张，所以我感觉到我只是在将我备好的思路背出来，我眼中更多的是思路而不是学生，所以在新课引入时用研究一个周期进而研究整体定义域上的所有性质这一思想我没有强调到位，而导致后面解例1 2 时，一局部学生发生错误，后来课堂进行到把图象完成时，我突然觉得何必 如