正弦量的相量表示法

1、5. 2正弦量的相量表示法一、复数及其运算1、复数的形式及其相互转换(1)代数形式(直角坐标形式)：A =a jb其中：a为实部，a = ReA 1，b为虚部,b = Im lA 1;每一个复数在复平面上都可找到唯一的点与之对应，而复平面上的每一点也都对应着唯一的复数。复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。复数A = a jb，可以用一个从原点 0到P点的矢量来表示，这种矢量称为复矢量。 由图可知：复数A的模一一矢量的长度：r =|A| = Ja2 +b2复数A的辐角：矢量和实轴正方向的夹角® :规定|旳nK二arctan(复数落于第i、w象限)aK或 二arctan_二(复数落于第

2、n、川象限)a实部：a = r cos：，： - A cos虚步：b = r sin = A sin(2) 复数的三角形式：A= Acos j Asin|A cos jsin(3) 复数的指数形式：A=Aej (欧拉公式：e® = cos申+ jsin® )(4) 复数的极坐标形式：A*例5-3 写出复数A1 = 4 - j3 , A2 = -3 j4的极坐标形式。解 A1的模r ,42 - -32 =5辐角-二arctan三二-36.9?(在第四象限)14那么A!的极坐标形式为 A 5Z - 36.9A2的模2 -32 42 = 54辐角2-arctan180 -126.

3、9 在第二象限-3贝U A2的极坐标形式为 A2126.9?。例5-4 写出复数A =100/ 30?的三角形式和代数形式。解 三角形式：A = 100(cos30 ?+jsin 30?)代数形式：A = 100(co?K3 0 jin30) 8 6.2、复数的运算设A = 4 jb r = A, 1A =32 jb A2(1) 复数相等：两个复数相等，那么其实部和虚局部别对应相等或模、辅角相等。即：假设Ar= A2，那么一定有：ar= a2,b|= b2 或 A=A2, = 2。(2) 复数的加减法：实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。A)士 A2 =01 ±a2 厂 j br &

4、#177;b2形法。如图为复数相加减矢量图。复数的加减运算也可用几何作图法一一平行四边形法和三角(3) 复数的乘法运算：模相乘，辐角相加。A A =人八1 A八2 = A乓上化+码)(4) 复数的除法运算复数相除就是其模相除，辐角相减。A2繼备Z)般来说，复数的乘除运算用极坐标形式较为方便，加减运算用代数形式较为方便。3、旋转因子旋转因子ej =1，即它是一个模为 任何一个复数A =皿"乘以ej ',即: 模不变；当复数A = 2除以e时，即: 模不变。如以下图(a)所示。1、辐角为的复数。Aej ：，相当于复数 A逆时针旋转角度，而 A / e：，相当于把A顺时针旋转角度，

5、而当时，e j ： j。假设一个复数乘以j，就等于这个复数向量在复平面上按逆2时针方向旋转 n，如以下图(b)所示；假设一个复数除以 j，就等于该复数乘以 -j，即该复数2在复平面中按顺时针旋转 n，如以下图(c)。2(a)(b)(c)、正弦量的相量表示1、相量设u =Umsin 4在复平面上做一个矢量，如下图，矢量的长度按比例等于振幅Um ；矢量和横轴正方向之间的夹角等于初相角；：:矢量以角速度-绕坐标原点逆时针方向旋转。当时间t = 0，该矢量在纵轴上的投影为 O'a =Um sin。经过 一定时间t =t1，矢量从OA转到0B，这 时矢量在纵轴上的投影为O'b =Um s

6、in( £亠门i，即为t1时刻正弦量的瞬时值。由此可见，上述旋转矢量既能反映正弦量的三要素，又能通过它在纵轴上的投影确定正弦量的瞬时值，所以复平面上一个旋转矢量可以完整地表示一个正弦量。复平面上的矢量与复数是对应的，用复数Ume：来表示复数的起始位置， 再乘以旋转因子ej上便为上述旋转矢量，即Ume： ej & =Umd(")=UmCos( t -J r jUmSin(:那么 u »2U si二lm、2Uej ej t可见，复指数函数中的 Ue：是以正弦量的有效值为模，以初相为辐角的一个复常数， 这个复常数定义为正弦量的有效值相量，记为U , U二Uej

7、=U Z o同理，设i = lm sin t :，那么正弦电流的有效值电流相量为= L 。例：电流i =222sin(100t 30? A，那么其有效值相量为I =22Z30?A。角频率 =100rad/s的正弦量u的有效值相量为 U =10Z - 45?V，那么其正弦量 瞬时值表达式为u=10jsi n(100t-45?V。2、相量图正弦量的相量是复数，可以将相量在复平面上用矢量表示。相量在复平面上的表示图称为相量图。注意：只有同频率的正弦量所对应的相量才能画在同一复平面上。三、正弦量的根本运算1、同频率正弦量的代数和设，h二2I1 sin(t，i2 =、2l2sin(，t 2 ,，这些正弦

8、量的和设为正弦量i，那么i+i2 + = lm、,2 I1 ej 鋼 Tm , 2 I2ej t-= lm、2(li 丨2 )ej t而i = lm . 2 I ej 打有Im 一2 I ej t二 lm、.2(li 丨2 )ej '上式对于任何时刻都成立，故有l =112 2、正弦量的微分设正弦电流i = 2l sin(t 打，对i求导，有i'型二2l sin(，t ：；讥 1 dt dt= 2l sin(，t 亠仃in2二 2l zsin(，t1n2其中l' = l -,那么i' = l /( n2)=j l上式说明：正弦量的导数是一个同频率正弦量，其相量等

9、于原正弦量的相量乘以此相量的模为原来的 倍，辐角那么超前原相量n2。3、正弦量的积分设正弦电流i = ,2l sin(，t 匚，对i积分，有i '= idt 二.2l sin( t dt=72 I sin(cot +% _ 冗)时i 2 f=、2 I 'sin( t llI ' - Z (- n2)=Z cojco上式说明：正弦量的积分结果为同频率正弦量，其相量等于原正弦量的相量除以其模为原正弦量有效值的 ir-,其辐角滞后原正弦量n2。例5-5 试求以下正弦电压 u。(1) u = 3cos2t 4sin 2t先将原式各项-rad/s)解因原式中各项均为同频率的正弦量，可用相量法求解。具体做法是：均统一成sin函数，即u =3cos2t 4sin 2t = 3sin(2t 90? 4sin 2t再用最大值相量表示：Um =3乙90?，4/0片4 73=536.9?那么u =5s in (2t36.9?(2) U = j7