18.解法1设正方体的棱长为1,如图所示,以为单位正交基底

1、18解法1 设正方体的棱长为1，如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系. （I）依题意，得B（1，0，0），E（），A（0，0，0），D（0，1，0），所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 （II）依题意，得设是平面A1BE的一个法向量，则由，得所以取设F是棱C1D上的点，则F（t，1，1）又所以D而平面A1BE，于是B1F/平面A1BE为C1D1的中点，这说明在棱C1D1上存在点F（C1D1的中点），使B1F/平面A1BE.解法2（I

2、）如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A2为正方形，所以EM/AD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，于是，在中，即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 （II）在棱C1D上存在点F，使B1F/平面A1BE. 事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点为F，G，连结EG，BG，CD1，FG.因A1D1/B1C1/BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD

3、1是平行四边形，因此，D1C/A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG/D1C，从而EG/A1B，这说明A1，B，G，E，共面，所以BG平面A1BE. 因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG/C1C/B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F/BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F/平面A1BE.19解：（I）设边界曲线上点P的坐标为 当时，由知，点P在以A，B，为焦点，长轴长为的椭圆上，此时短半轴长因而其方程为 故考察区域边界曲线（如图）的方程为 （II）设过点P1，P2的直线为，过

4、点P2，P3的直线为，则直线的方程分别为设直线平等于直线，其方程为代入椭圆方程消去y，得由解得m=8，或m=-8从图中可以看出，当m=8时，直线与C2的公共点到直线的距离最近，此时直线的方程为之间的距离为又直线到C1和C2的最短距离，所以考察区域边界到冰川边界的线的最短距离为3.设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，得，所以故冰川界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.20解：（I）易知由题设，对任意的即恒成立，所以，从而于是故当时，有即当时， （II）由（I）知，当时，有令而函数的值域是因此，当时，M的取值集合为当时，由（I）知，此时从而恒成立.综上所述，M

5、的最小值为21解：易知令 （1）若则当单调递增；当单调递减；当单调递增.故取得极小值. （2）若仿（1）得，在取得极小值. （3）若无极值. （）当时，由（1）知，因则由（1）知，因为，则由（2）知，.又因为则由（2）知，由此猜测：当时，下面先用数学归纳法证明：当时，事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.假设当成立，则由（2）知，从而，所以故当时，成立.于是由（2）知，当时，因此综上所述，当a=0时， （II）存在a，使数列是等比数列，事实上，由（2）知，若对任意的n，都有，则即数列是首项为a，公比为3的等比数列，且而要使，即都成立，只需对一切都成立.记令，则，因此，当时，从而函数在上单调递减，故当时，数列单调递减，即数列中最大项为于是当时，必有这说明，当时，数列是等比数列.当由