江苏省2012年高考数学的命题研究与预测

1、0,2 上满足f(x)氨x)的x的范围是9 883 372 1 094 9甲乙否 .ac给束v 4.函数f (x)x332x ,对任意的 t -3,3 , f(tx -2) f (x) ： 0恒成立，那么 x 的江苏省2021年高考数学的命题研究与预测一、填空题i题组(一)1 .集合 A - x x2 -4x < 0, x ：二 Z , B = y | y = log2(x 1),x A，那么 A B =2.假设(a，3i)i =b，其中a, bR，i是虚数单位，那么a-b二2 23 .双曲线C: x4 m= 1(m > 0)的离心率等于2,那么该双曲线渐近线的斜率是 4.设等比数

2、列an的前n项之和为Sn，假设8a2 - a0，那么§的值为.S35 .直线l丄平面a,直线mu平面3,给出以下命题： a/ = I丄 m； a丄 3= l / m ； I / m 二 a丄 3； I 丄mn a/ 3- 其中正确命题的序号是 .(写出所有你认为正确命题的序号)2、题组(二)1.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.那么甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .2 .a、b、c为集合A= 1, 2, 3 , 4, 5中三个不同的数，通过如下图算法框图给出的一个算法输出一个整数a，那么输出的数a= 5的概率是 3. f(x)= sin x

3、, x R, g(x)的图象与f(x)的图象关于点：，0对称，那么在区间取值范围是5.设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，假设f(x)=2x，g(x)在0,1上的值域为-1,3，那么 f(x)在区间0,3上的值域为 BE6.在厶ABC中，E, F分别是 AC, AB的中点，且3AB =2AC，假设: t恒成立，那么t的最CF小值为.E*提示：不妨设 AB =4,AC =6，在 ABE 中，BE2 =25 -24cos A, 在厶 ACF 中，CF 2 =40 24cosA ,BE225 -24cosA152 1 -CF 40 -24cosA 40 -24cosA/ 0 A ：二，二 一1

4、 ： cos A ：1 ,1 BE24916 帝 641 BE<4 CFBECF:t恒成立时,t的最小值为.817 .点P(x),y0)是曲线C:y=(x> 0)上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、yx轴分别交于代B两点，点O是坐标原点.给出三个命题：PA= PB ； OAB的面积为定值；曲线C上存在两点M ,N，使得 OMN为等腰直角三角形其中真命题的个数是 .1 1提示：对于曲线C在点P处的切线方程为y -丄二-A(x-x°),xXo易得 A(2x),0), B(0,) , PA= PB ; x。对于，厶OAB的面积等于OA OB =2，为定值；2对于，设M (

5、為，1 ),N(%, 1 )，要使 OMN为等腰直角三角形, 石X2不妨设 OM _NM,OM =MN ,当OM _ NM时，可得x；X2 =1 ,即可算得x2 yf -2(xf yf),故真命题的个数个数为 3 个.3、题组(三)1.对于函数y =f(x)，假设存在区间a,b，当a,b时的值域为ka,kb (k 0)，那么称y = f (x)为k倍值函数.假设f(x) =lnx x是k倍值函数，那么实数 k的取值范围是 .提示： f(x)J10 , f(x)在(0,；)上是增函数，xIn a a = ka,In b 亠 b = kb,即a,b是方程Inxx=kx的两个不等的正实数根，问题等价

6、于方程有两个x不等的正根.设 g(x)nx，易得 0 , k -11 , (1,1 1).xee2 .如下图,A, B, C是圆O上的三点,CO的延长线与线段 BA的延长线交于圆 O外的点D, 假设OAOC =mOA nOB,贝y m + n的取值范围是 .提示：由题意，OC =kOD (k cO)，又 |kc1_1 <k <0 .|OD |又 B, A, D三点共线， OD =，OA (1 )OB , mOA nOB =k OA k(1rjOB , m =k，,n = k(1 ；), m n = k，从而 m n 三(-1,0).xy3 .定义在(-1,1)上的函数f(x)满足：

7、f (x) -f(y) =f( )，当x30时，有f (x)0 ,1 _xy且 f(-丄)=1.211 1设m = f () f (厂* f (二)n > 2, n N *，那么实数m与1的大小关系511n2+n-1为.提示：函数 f(x)满足 f (x) - f (y) = f (y)，令 x = y = 0 得 f(0)=0;令 x=0 得- f (y)二 f (-y). 1 xy f(x)在(1,1)为奇函数，单调减函数且在(1,0)时，f(x)>0，那么在(0,1)时f()x0 .又f(l) 721 1f (丄)f( 1 nT f ( 21) = f (1) = f (n

8、F )=n +n -1n(n +1)111n n 11丄1 上亠111丄11 丄亠11m"(1)5)"(3)一七旷-f(-f(n)1 11=f() f( 一)- 4 f( 一)心2n亠1n亠1二、三角函数JT1.在 ABC中，内角 A, B, C的对边长分别为 a, b, c,函数f(x)二sin(2x)满足:对于任意xR,f(x) w f(A)恒成立.(1)求角A的大小;(2)假设a= 3，求BC边上的中线AM长的取值范围.解(1)由题意，：对于任意 x：二R, f(x) w f (A)恒成立, f(x)=sin(2x 1)的最大值为6f(A),当f(x)取得最大值时，2

9、x 2k ,kZ ,6 2ji亍k Z， A =k二，k Z，又I A是三角形的内角，即3(2)T AM是BC边上的中线，0 ： A :-：JI,A =在厶ABM 中，AM 2- -2AM 3 cos. AMB =c2,42'在厶ACM 中，AM 2- -2AM 3 cos AMC =b2 ,2/ cosAMB =-cosAMC ,AM2 2b 2 c -c b 63-c 3=bc222b 0 : b2c2 -3=bcw,22 23 : b c3 一 一AM w 4 4:AM w 32 22.函数 f(x)=2cos2r 3sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)假设川

10、为第象限角，且f (:一)cos 2：的值.1 cos2： - sin 2二3. a= (sinx,1), b= (1, cosx)，且函数 f(x) = a b, f'x)是 f(x)的导函数.(1) 求函数F(x) = f(x)f'x)+ f 2(x)的最大值和最小正周期；1 . i 2(2) 假设 f(x) = 2f'x)，求一2 + sin x 的值.cos x sinxcosx2 24. ABC 中，角 A、B、C 对边分别是 a、b、c,满足 2AB AC =a -(b c) (1)求角A的大小；(2 )求2.3cos2C-si n(4B)的最大值，并求取得

11、最大值时角B C的大小.23三、应用题1如图，有一位于 A处的雷达观测站发现其北偏东 45°相距20石海里的B处有 一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45 -(其中tanv -1,0 讥45 )且与观测站 A相距5.13海里的C处.5(1) 求该船的行驶速度 v (海里/小时)；(2) 在离观测站 A的正南方20海里的E处有一暗礁(不考虑暗礁的面积)，如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由.解：(1 )由题意， AB=20“, AC =5.13,/BAC =日,526，1tan v - 1 ,0： v : 45 ,5余弦定BC2 二

12、AB2 - AC2 -2AB AC cosv -800 325 -2 20 2 5 13 即 BC =5.5 .该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5 5海里，该船的行驶速度V =衣 =15. 5 海里/小时.1AB2 BC2 -AC2800 125 -32531，SinB=T10.(2)由(1)知，在厶ABC中，cosB =2 .AB BC2疋20血疋575 寸10.AFB =45 _B,. ACF - v B ,5 13设BC延长交AE于F,那么AF一AC一 = 一AZ，即sin ZAFB sin ZACFsin( 45"B)si n(r B)3.1.5,si n 二，cos r

13、10 10 .26 .26.5J13sin(日+B) 5、13(sin Ocos B+cosTsin B)AF20sin(45 o_B)在厶AFC中，由正弦定理1又 t sin B,cos B =务cosBSBF与E重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险.海里.图1图22某个公园有个池塘，其形状为直角 ABC , C =90 ,AB = 2百米，BC = 1百米.1现在准备养一批供游客欣赏的鱼，分别在 AB、BC、CA 上取点D , E, F，使得EF | AB,EF _ED,在厶DEF喂食, 求厶DEF面积def的最大值；2 现在准备新建造一个荷塘，分别在AB, BC, CA上取点 D

14、, E, F，建造 DEF连廊不考虑宽度供游客休憩， 且使 DEF为正三角形，求 DEF边长的最小值.3 .某企业有两个生产车间分别在 A, B两个位置，根据生产流程，A车间有a名员工，B车间有4a名员工，AC是厂区的一条直道， A, B, C中任意两点间的距离均 有1 km,现要在直道 AC上找一点D,修一条直道 BD,并在D处建一个食堂，使得 所有员工均在此食堂用餐，设/BDC=，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S.1 写出S关于的函数表达式，并指出 :的取值范围；2问食堂D建在距离A多远时，可使总路程 S最少？4一家公司生产某种品牌服装的年固定本钱为10万元，每生产1千件需另投入2.7

15、万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，1 210.8 30x (O<xw 10,且 R(x) =108 1 000 乂"3T(x>10)(1) 写出年利润 W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2) 年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润=年销售收入年总本钱)四、解析几何2.X2. -22PNOF1 .椭圆G:y 1和圆C2: x y 1，左顶点和下顶点分别为A, B, F是椭圆G的右焦点.(1 )点P是曲线Cl上位于第二象限的 一点，假设 APF的面积为-2，求证:API

16、0P;24(2)点M和N分别是椭圆G和圆C2上位于y轴右侧的动点， 且直线BN的斜率是直线 BM斜率的2倍，证明直线 MN恒过 定点.解( 1)设曲线 C-上的点 P(xo,yo)，且 xo : 0, yo . 0 ,-：2由题意 A(_. 2,0), F(1,0)，: APF的面积为24SaapfAF y(卜疥2)y°，解得 y°,x° ,即 P(',')22242222 AP OP=(M 匹)(一辽)=0 , AP 丄 OP.2 2 2 2(2)设直线BM的斜率为k,那么直线BN的斜率为2k，又两直线都过点 B(0, _1),直线BM的方程为y

17、=kx_1，直线BN的方程为y=2kx_1 .得(1 2k2)x2 -4kx =0解得xM4k,4k , 2k2 _1 yM2kn4k2k2 12k2 一1、2k21)y =2kx -1,1 2 2x2 2y2 =2,得(1 4k2)x2 -4kx =0 ,解得xN4k24k2 1,yM=2k4k24k2124k -14k2 124k -124k2 1直线MN的斜率kMN直线MN的方程为12k2 24k -1 2k -1 2 2 2 2_4k2 1 2k2 1 _(4k -"Ek? 1)-(4k J)(2k -1) 4k 4k4k(2k21) -4k(4k2 1)2 24k 1 2k

18、 -12k2 -114k 、2(x 2)，2k 1 2k 2k 11整理得，yx 1，直线MN恒过定点(0,1).2k2变题：如图，椭圆C1: x y2 =1和圆4C2 ：x2 y2 =1，左顶点和下顶点分别为A, D,圆C2与x轴交于点B。(1 )过A的直线与圆C2相切于点C,求线段BC的长；-(2)点M和N分别是椭圆G和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线 DN的斜率是直线DM斜率的4倍，求证：直线 MN恒过定点。变题：(1)假设F是椭圆C1的右焦点，贝y AC/ DF；( 2) DMN是直角三角形;(3)求当/ MDN最大时，直线 MN的方程；(4)求证：AC= BC;(5) 一般化，当椭

19、圆的离心率 e=时，上述纟口论都可以证明。2x2込4 椭圆C：笃 2 =1(a b 0)的离心率为 ，右焦点F关于a b2直线x 2y= 0对称的点在圆x y =4上.(1) 求此椭圆的方程；(2) 设M是椭圆C上异于长轴端点的任意一点，试问在x轴上是否存在两个定点A, B,使得直线MA , MB的斜率之积为定值。假设存在， 那么求出这两个定点及定值；假设不存在，请说明理由. y22如图，椭圆 2 =1(a b .0)的左，右焦点为 Fi,F2，点P为椭圆上a b动点，弦PA PB分别过点F,F2.(1 )假设F,(-3,0)，当PF, _F,F2时，点O到PF的距离为24，求椭圆的方程；_一

20、17(2 )设 PF 1F1A，PF2=，2F2B，求证：、2 为定值.3如下图，以点 A( 1,2)为圆心的圆与直线11： x+ 2y+ 7= 0相切.过点 B( 2,0)的动直线1与圆A相交于M , N两点，Q是MN的中点，直线I与11相 交于点P. ( 1)求圆A的方程；(2)当MN = 2 19时，求直线I的方程；y(3) 假设BQ BP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.2x5 设 F2是椭圆C : 2a2y =1( a b 0)的左、右焦点，A,B分别b 由 n = -1,m R , mxx 1 > x ,即 m?ex -,ex其左顶点和上顶点，.1BRF2

21、是面积为 .3 的正三角形.(1) 求椭圆C的方程；(2) 过右焦点F2的直线I交椭圆C于M ,N两点，直线AM , AN分别 与直线x=4交于点P和Q,试探究以线段 PQ为直径的圆与直线I 的/亠护¥方位置关糸.五、函数综合题1 .己知函数f(x) =(mx n)e» ( m,nR , e是自然对数的底).(1) 假设函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为xey-3=0,试确定函数f(x)单调区间；(2 当n=_1 , m R时，假设对于任意乂三丄2，都有f(x) > x恒成立，求实数m的2最小值； 当m二n=1时，设函数g(xxf (x) tf (x) e

22、 (r R)，是否存在实数a,b,c 0,1, 使得g(a) g(b) : g(c)?假设存在，求出t的取值范围；假设不存在，说明理由.mex _(mx n)ex -mx (mn)解：(1)由题意f (x)(e )e/ f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为 x，ey-3=0,2 t1刨 m + n2-n1小仆f (1), f (1) ，即，解得 m =1, n =1 .eeeeee二 f (x) =x x1 , f (x)-【,ee当 x 0, f (x) <0 , x ：0, f (x)0 , f (x)在(0,：)上单调递减，在(-：,0)单调递增.对于任意x. r，2,都有f

23、 (x)> x恒成立，等价于m> ex 1对于任意1,2恒成立.2x,(x) =e 2 ,xx1212，： h (x)二ex3 0 对 x ：= ,2恒成立， h(x)二 ex _xx2记： (x)二 ex设 h(x) =ex在单调递增.1 1 而 h(?)=e 4 ：0,h(2) =e20 , (x) =e1- X (,Xo) ,(x) ：0 , x (x°,2) ,(x) 0 ,2上单调递增，- (x)的最大值是(；)和(2)中的较大的一个， 严吧),即尸® 2 >2 即 I 21 m?e"2),阡e %,假设存在a、b、c 0,1,使2(g

24、(X)min :： (g(X) max -x2+(1t)x+1.“、Qg(x)x ，g(x)xee 当t >1时，g (x)< 0 , g(x)在0,1上单调递减，3 _te 2g(1) ：g(0)，即 21,得 t 3-一 1.e2 当t < 0时，g (x)> 0 , g(x)在0,1上单调递增，3 _t- 2g(0) :：: g(1)，即 2，得 t ：3 2e ： 0 .e 当 0 ：t ：1 时，在0,t)上，g'(x)：0, g(x)在0,t)上单调递减，在 x (t,1上,g'(x)0 , g(x)在(t,1上单调递增， 2g(t) ：ma

25、xg(0), g(1),即在-,2上有唯一零点x 21-(x)在(,Xo)单调递减,22 1 m的最小值为e亠-2得 g(a) g(b) ： g(c),那么问题Xo ,在(x°,2)等价于c t 1- 3-t、2 t max 1, . (*)eet +1t +143_t 3由(1)知f(t) t在r 0,1上单调递减，故2 厂 > ，而，不等式ee e e e(*)无解.e 综上所述，存在t (-匚,3 2e) U (3，:：)，使得命题成立.22 .函数f x二 一a在区间m, n 1上为增函数，且f m f n - -4.1 +x(1) 假设f n - f m最小时，求a的

26、值；(2) 假设 P(x1, y1), Q(x2, y2) ( x： x2 : n)是 f (x)图象上的两点，且存在实数x0使得 f'(x0)= f (x2)- f (xd，证明： ：冷：x2.X2 X2f(X )3.函数f x =x bx c b, R，并设F x x .e(1) 假设F x图像在x = 0处的切线方程为 x_y = O，求b、c的值；(2) 假设函数F x是-：,亠j上单调递减，那么：2 当x> 0时，试判断f X与x c的大小关系，并证明之；2 2 对满足题设条件的任意 b、c，不等式f c -Me w f b -Mb恒成立，求M 的取值范围.六、数列综合

27、题1 .数列an中，ai=1, n N*,an0 ,数列a.的前n项和为Sn,且满足2an 1 ：Sn 十 * Sn 1(1 )求数列an的通项公式；(2)数列Sn中存在假设干项，按从小到大的的顺序排列组成一个以S首项，3为公比的等比数列bk.求这个等比数列的项数k与n的关系式k =k( n);1亠、十、n1 2£，；)3 3(Sn 1 七心 Sn ) -(Sn 1 - Sn) = 2 ,n(n > 2)，求证：送c k(n)-11 )由an 1 二 Sn 1 Sn-(Sn -一)2 =2 ,21 22. . 卜 .、./、 . . rz t .、./、t 2 -18n 72(

28、n -1)，由 a1,an 0 , Sn 1 , &44当 2 时二 c c J +8n 一7 J +V，8n15 寸8n 778n15 -当 n?2 时，an=SnW4=()(厂222小小(二(Sn 1 -一亍2数列(Sn - 一)2成等差数列，公差为1 2 12，首项为(1_一)=_2二(<)2丄 8n - 72 2 ，_1, n =1,当 n=时，印=. an =(寸8n _7 r''8n _15 门> ?I 2".Si首项,(2) 由题意，数列Sn中存在假设干项，按从小到大的的顺序排列组成一个以 3为公比的等比数列d,那么bk =3k，设b

29、n是Sn中的第k项，即7 = 3n,解得n 1n 1k=(3一1)3 -1, n N *21n 1(3 一 _1) 3 .k(n)1, n N *2 1 2当n?2时，c2(k(n) -13 - (3 - -1)1 1 2对于 i >2,i N * ,二 1 刍，3 一 1 33 -1 1 1 1c =2(3n二_尹)":2(尹-了)，丄 _11111.丁 二才(32 73显然区C?C2 =1 ,综上所述，y3i =2n11FTn 1 ),3 _ -13 -2( 1 1 、 2( 1 1 、 m) ： 2(tfn)，313 -3 -311 12)=2()：3n)(3 3n)3，n 1v G C，2