浙教版八级数学下册-第1章-二次根式-知识点总结

1、奔驰教育个性化辅导讲义知识点一:二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义:形如.的式子叫二次根式，其中|；叫被开方数，只有当：是一个非负数时，、二才有意义.【例2】假设式子 =1 有意义，那么x的取值范围是举一反三:1、使代数式x2 2x 1有意义的x的取值范围是12、如果代数式 电厂不有意义，那么，直角坐标系中点 P m n的位置在JmnA、第一象限B、第二象限C第三象限D、第四象限【例3】假设y= x 5 + 5 x +2022，那么x+y=解题思路：式子 2a> 0，x55x00,x5 ， y=2022，那么 x+y=2022举一反三：1、假设 x11x(xy)2，那么x y的值为

2、A. 1B.1C.2D.33、当a取什么值时，代数式 2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。1 1a是J5整数局部，b是 J5的小数局部，求a 的值。假设 J17的整数局部为X，小数局部为y，求x2 一的值.b 2y知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. ( .a)2 a(a 0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a 0)a(a 0)注意：1字母不一定是正数.2能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.3可移到根号内的因式，必须

3、是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.2a( a 0) 24.公式.a2|a|与(_ a) a(a 0)的区别与联系a(a 0)a的范围是非负1a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.2( a)2表示一个数的算术平方根的平方,数.3 a2和( .a)2的运算结果都是非负的.【典型例题】2【例4】假设a 2Jb3 c 40,那么a b c 举一反三：1、直角三角形两边 x、y的长满足丨x2 - 4丨+、,：y2 5y 6 = o,那么第三边长为2、假设a b 1与.a 2b 4互为相反数，那么2005a b公式0 a)2【例5】化简：a 1 )2的结果为A 42a B、

4、0 C、2a4 D、4举一反三：3直角三角形的两直角边分别为a(a 0)的运用显和' 5 ，那么斜边长为公式#a2a|a(a 0)a(a 0)的应用例 6】x 2 ,那么化简 x2 4x 4的结果是举一反三： 2、化简 4x2 4x 1A 2 B 4x 4 C一 2 D4x 43、a 0，化简求值：J4 (a丄")2 (4 (a丄)2【例7】如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如下列图，那么化简丨a - b| +、心 b2的结果等于A . - 2b B . 2b C . - 2a D . 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如下列图：化简:.'(a 2)2【例8】

5、化简1 X, X2 8x 16的结果是2x-5，那么x的取值范围是ax为任意实数B1 < xW 4Dx< 1举一反三：假设代数式 2 a2.a 42的值是常数2，那么a的取值范围是d. a 2 或 a【例9】如果a a2 2a 11，那么a的取值范围是A. a=0 B. a=1 C. a=0或 a=1 D. a < 1举一反三:J 如果 a - a2 6a93成立，那么实数a的取值范围是A . a0B .a3；C.a3 ; D .a32、假设,(x3)2 x30 :，那么x的取值范围是A： x3Bx3Cx 3Dx 3【例10】化简二次根式a 'a2的结果是 a2a：a

6、 2 B: a 2 C2 2 D y 21、把根号外的因式移到根号内：当 b > 0时，x =； a 1 11x 1 a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：1最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式可合并根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例11】以下根式中能与.3是合并的是A. .8 B. 27 ,5 D. 1 2举一反三：1、 以下各组根式中，是可以合并的根式是A ' .3和 18 B、.3和，J

7、C、_a2b和. ab2 D、2 1和' a 12、 如果最简二次根式 J308与J2a能够合并为一个二次根式，那么a=.知识点四：二次根式计算一一分母有理化【知识要点】1. 分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2. 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用x a a a来确定，如：、,a与:/a， ：7a b与.a b， a b与、a b等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a 与a< a b与i a ，a , x b、，y与a、x b、

8、y分别互为有理化因式。3. 分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例12】 把以下各式分母有理化(1)举一反三：1、x -_t3，y 2_旦，求以下各式的值：1-y 2x2 3xy y2232.3x y知识点五：根式比拟大小【知识要点】1、根式变形法当a 0,b0时，如果a b，那么 a b ；如果a2、平方法当a 0, b 0时，如果a2 b2，那么a b ；如果ab2，那么3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比拟。4、分子有理化法通过分子有理化，利用

9、分母的大小来比拟。5、倒数法6、媒介传递法适中选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比拟。7、作差比拟法在对两数比拟大小时，经常运用如下性质：ab 0 a b : a b8求商比拟法a它运用如下性质：当 a>0， b>0时，那么：1b【典型例题】例 13】比拟3 5与5 3的大小。【例14】比拟'一与二一的大小。1 V2 1【例15】比拟.76与 65的大小。 【例16】比拟.73与.873的大小：厂十厂，求：丄"的值.次根式和一元二次方程经典练习题1.把a的根号外的因式移到根号内等于2.假设a b 1与2b4互为相反数，那么 a b20053.假设2 y a

10、 y 3，那么 、2 a 2, a 32 等于a. 5 2a b. 1 2a c. 2a 5 d. 2a4.假设a 1，那么订1 a 化简后为B.C.D.! 2J25.计算：.2a1.12a的值是A. 0b.4a 2C.24a dy符合的条件是2 4a 或 4aA. x< 0, y 工 0C.xv0, y工0B. x< 0, y为一切实数D.以上都不对xy a 0，化简二次根式的正确结果为9.假设 1yxy2，那么 v, 44x2 xx2 2x 1化简的结果是A. 2x 1 B.2x1C. 3D. -310.假设 <i8x :疵x*g10,那么x的值等于2 xA. 4 B.2

11、 C. 2D.411.假设、3的整数局部为x，小数局部为y，贝U 3x y的值是A. 3 33 B. 、3 C. 1 D. 3a5与4a是同类二次根式，那么a , b根式，那么a。假设最简二次根式-4a2 1 与-6a21是同类二次2313、以-3和7为根且二次项系数为 1的一元二次方程是2 214、 如果x 2 m 1 x m5是一个完全平方式，那么 m .215、xn x2是一元二次方程4x2(3m 5)x 6m0的两个实数根，且|互| 3，那么m=x22216、x-i， x2是方程4ax4ax a 40的两实根，是否能适中选取a的值，使得7.假设J2m n 2和J33m 2n 2都是最简

12、二次根式，那么m , n8.5 (x1 2x2)(x2 2x1)的值等于一.4217、 关于x的二次方程 mx 2(m 1)x 4 0(m 0)的两根一个比1 大,另一个比1 小,那么m的取值范围是 18、 二次方程kx2 (2k 3)x k 10 0的两根都是负数，那么k的取值范围是.2 219、 方程x 2(m 1)x m 4 0的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21,那么m =.220、一元二次方程x 5x k 0的两实根之差是3，那么k .2 11121、 实数x满足x一2 X 一 0 ,那么x -的值是xxxA1 或-2 B-1 或 2 C1 D-22t4122、 关于x的方

13、程2x2 2tx t 0的两实根满足( 1)(x2 1) 2，那么的值是t 1A-5B5 C- 9 D-15223、 a、b、cabc的三边，试判断关于 x的方程(b c)x 2ax b c 0(b c)的根的情况.224、xb x2是关于x的方程xkx 1 k(k 4)0的两个实根，k取什么值时,4(花2)(X22)3742 225、关于x的方程x kx kn 0有两个不相等的实数根 X1X2，且(2X1x2) 8(2 为x2) 15 0.1求证：n 0 . 2试用k的代数式表示x1 3当n 3时，求k的值.226、：xP x2是关于x的方程x22a 1 x a0的两个实数根且 x, 2 x2 211，求a的值.227、关于x的一元二次方程x4m 1 x 2m 10.1求证：不管m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根.2假设方程两根为x1> x2，且满足1x11x21，求m的值.22 1 228、关于x的方程x (k 1)x k 1 0的两根是一个矩形两邻边的长.1k取何值时，方程在两个