线性代数北京理工大学出版社习题解答

1、第一章行列式学习要求1 .理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2 .理解n级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；3 .理解n阶行列式的概念和n阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的n阶行列式；4 .掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；5 .理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；6 .掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解.1.1二阶与三阶行列式1 .计算二阶行列式:x1

2、1_(x1)(x2x41)x2_x3x21;x2x2x12 .计算三阶行列式:P0r(2)350=5*0+(=12)0-00=7;0410=0.x34解忏1x0=x2-4x3户仅一1）仅一3尸0，故原方程的解为x1或13.0x14.用行列式解下列方程组:3x1 _2x2 = 3,(1)-4xi 3x2 一 一 1.解(2)xiA 2x2比 x3 0, 2 xi _ x2号 x3- 1, xi - x2 2x3=3.D1-2_ 7,二一外12二9,故所求的方程组有唯一解:x1 7, x2 9.D2 11 =一222-118801 =4D2=4,D31=-12,故所求的方程组有唯一解:1x1- ,

3、 x2 -231,x326.当x取何值时,3* 0.3-13 二 3x9x+ 6=3( x -1)(x - 2) 0,解得且x 2.1.3n阶行列式的定义1 .写出四阶行列式中含有因子a22a34的项.解利用n阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个已知因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子a22a34的行标已经取了2,3,列标取2,4,所以剩下因子的行标只能取1,4,列标只能取1,3,因此未写出的因MF.a/22a34a43 和 a13a22a34a41.子为ana43和a13a41.又因为T(1243)干，(3241)=4,所以四阶行列式中含有因

4、子a22a34的项为(1)(1243)ana22a34243和(1)(3241)a13a22a34a41,即3.已知f ( x)xx11x223x11203,用行列式的定义求2xx3的系数解f(x)的展开式中含3的项只有一项：_T(2134),=_3，故3的系数为_1x(1)x1xxxx4.利用行列式的定义计算下列行列式：00002030000410=J1*4213)1*2延34=24;0解析由n阶行列式的定义可知:行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和.因为第1行只有一个非零元素再取了，再考虑第2行的元素，第不能再取了，对第3行的元素而言,1,先取a14 一 ，则第1行和第4列的元素

5、不能2行只能取 二a 22 2，则第 2行和第2列的元素也a -此时只能取313 ,则第3行和第 1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取a43:4,那么行列式的结果为(1) ( 4213) a14 a22a31 a43 = 1 23=4 24；补充练习5xx1.由行列式的定义写出D 二1x12 3x 12的展开式中包含2x312 2xx3和x 4的项.解 D的展开式中含x4的项只有一项11)1(1234)5x x x 2x =10 攵，而含 x3 的项有013两项(T)034)1xx12x和(-1)(4231)3xxx,从而展开式中含x3的项为:irT(一1)(2134)1xx2x(一1

6、)(4231)3xxx2x3=-3x3一5x3. 1.4 列式的性质accdcfae-de 一ef1 一 1abcdeH1- 1 一 11 1 -1 abcdef 00 - 20 221 .利用行列式的性质计算下列行列式:ab(2)bdbfr2Hr3一abcdef0一一4abcdef;-2(3)取公因子由于每一行(或列)的和都是等于6,故将第2,3,4行都乘以加到第一行，再提6,利用性质5化成三角形行列式即可求值11613(3)1(1)12(1)3122-42.证明下列等式:a2(a3(N)2-9+(5)320(2)b22cd2(b(c(d1)221)21)21)2(a2)(b2)十(c2)(

7、d2)2(3)X11y1X1y2证明(2)a2b2c2d2X2y1+x3y11X2y2X3y2把行列式中的括号展开,4(a1)(b1)(c1)(d1)2由性质(a(b(c(d3)2十3)3)一23)2X1+y3X2y3+X3y3列乘以-1加到其它列,(a(b(c(d2)22)22)2)(a(b(c(d+3).3)水3)3)1x1y2十1X2y21X3y2列拆开,x1y3X2y3+x3y3a2b22a2bc2d2十2c+2d4a4b4c4dX1y1X2X3y1y1+1x1y2十1X2y2*1X3y2化简行列式6a6b6c6dy3X2y3X3y348;99二0；999二一10.20将第1个行列式的

8、第1列乘以-1加到第2、3歹U,第2个行列式第1列提取yi,得1x1y2=D1x2y21X3y2X1y3X11太1y2X2y3+y1x21+x2y2X3y3X31+X3y21x1y31+X2y3,1+X3y3将第1个行列式第2、3列提取y2,y3,将第2个行列式的第2歹I、第3列分别拆开，最后可得如下行列式,X1X2X3X1X2X3JX1yX2IX31X11+X21X31X1y3X1X1y21X2y3+X2X2y21X3y3X3X3y2X1X1y2X1y31X2X2y2X2y3X3X3y2X3y3J二000；3.计算下列n阶行列式X1211 X1：!；11X(2)12222222223e2;2

9、22n解(1)把第2,3,，n列分别乘以1加到第1歹U,得到第1列的公因子x(n-1),提取公因子之后，再给第1行乘以(1)加到第2,3,.一，n行，化成上三角形行列式，得到行列式的值.1)11)X1)1III|11IIIin41xid：=X(n-)：:IVRIIII11川X(n1)1HI1X1III0J+_:：=X(C)(X-1)n1El.I0WX-1(2)把第2行乘以(-1)分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得1 22川2 22川223IL.|TB4I*V222川2二0:，riI1IIIn0002201弓.11004.求方程1+11111-11111什力I解第1行乘以（-1）加

10、到第2,3,4再将上述行列式的第即可求出根2.已知行列式000222010ific1率00n-22（n2）!0的根行，得如下行列式1隰1.一0一二一01100000双2,3,4列乘以1加到第1歹U,化成上三角形行列式4000兀=0或九二=4.ana12a13a21a22a23a31a32a332a11213a112a12223a122a13233a1311a21a212a12a22a2213a23a23ana21a212a12%a22a13a23a23补充练习求行列式%1-咒1a22a32二a112a122a11a21-3a11a212a12223a12222a13233a1323a213a1

11、1a21-a31a22_3a12a22-a32a31a32的值.a33a23a33-a31a32a112a12a13a233a13a2333-3a11a21a313a12a22a32a331a13a11a212a12a22a13a233a13-a31一a32:-a33a23a112a21a31a33a12a22a32a13a=234a3321.求行列式531.5行列式按行（列）展开0402中元素5与2的代数余子式_11003k15解元素5的代数余子式为A212.10(FT元素2的代数余子式为23-(1)2y0=_2.12.已知四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2,它们的余子式依次为2、1

12、、-1、4,求行列式的值解由行列式按行（列）展开定理，得DaA-aA+v-aA+aA3131323233333434313,233=X伙X抚+仅一4(1)23(1)10(1)8308-13.一34一(1)(2)一(1)43.求下列行列式的值123C3(-1)c11222I1012c4+(-2)C11000(2)311031一4万120一512-1T222斗1=1鼠J1广一1-4-62-1-7c2.(1)C120C3(-1)C1132一30|丫1+=3=55一2(1)!-3-9-24；9（3）所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得111112一2x_2(21)021)(-22

13、)(x-1)(x-2)x-C2)144x218-8x3二12(x一1)(x-2)(x2).11004.讨论当k为何值时，行列式1k20Ho.00k3111k00000020C2+(4)ci11000k00012k3011=1虱_1)今_(k.1)(1)11k33=(k-1)(k_3)(k+3),k231100所以，当k 1,且k3 3，且k/一3时,1k20金0.00k3003k5.计算n阶行列式(3)按第1列展开，得1x上斗101Dn2(1)n1(1)。000III1III2A410-0HI000210001,12上式右端的行列式再按第一行展开，得Dn一2Dn-Dn二,移项，得DnD-n-1

14、Dn-1Dn-2,12 2 1,-2递推得D=DDDD=D=D从而得Dn=DnT*1,DnDn*1,62=D1+1,把上面n-1个等式相加，得Dn-D1n一1一2n一111.7.设四阶行列式D4一试求A A A142434A44的值,其中Ai4 (的元素的代数余子式解根据行列式按行(列)展开定理的推论，有ai2A14a2AM”32A3/4244-0,即bAi4bA24bA34bA44b(A1424A34A44)0,Al4，A24A34A44-0.1.6行列式的应用i.用克莱姆法则解线性方程组2xiX2-X3X41,(3)Xi2X2-X3X42,X22X33X4-3,XiX2X35.解:=1 1

15、r2( 1)r4(Z)4 0-1(1)4 1 1-3211180,所以方程组有唯一解D1.1-111=-18,30D236,D3 一一18,所以方程组的解为_18X1一一一1,D18一D3_36_X32,D-18_D2_Z36X2一一一2,D18jJ8_X4一_1.D一182 .二满足什么条件时，线性方程组X1X2X3_1,X13X2X3=2,j为X1X2+3X3=1,有唯一解?解 由克莱姆法则知，当系数行列式D 0,线性方程组有唯一解,121_ 3381 一 2=_ 2(5 +1), 38时，题设的线性方程组有唯一解.1当D学0时，-a2(5-.*1尸0,即当九丰一-153 .当k为何值时，

16、齐次线性方程组2X1kX2X3-0,kx1X2X30,(4X15X25X3-0,有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0,2 kD k _ 14 524(k 1)(5k 4),4由D=0得：k=1,k之一一二54 .a和P为何值时，齐次线性方程组购性，+#*=-cX1X2X30,4aB+=cX1X2X30,X12X2X30,有非零解?解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式由D =0得:r21)rir31)riOE1 一1a1 - -1 , 3O 1)D D (1O-OI 2P=0或”=1.即当花=0或=1时，方程组有非零解5 .求二次多项式f(x)=aX2bXc，使得f(1)

17、=T,f(1)解由f(1)=-2,f(一1尸10,f(2)5二一，得a-bc_2,abc10,4a2bc5.-要求二次多项式需要求出系数La,b,c,即要求出上述非齐次线性方程组的解由其系数行列式111D1-1仁6H0,421所以可用克莱姆法则求解.由于-211Dr10-11-521从而6,1-2D2=1104511-36,1Dr-210=18,-5D1duD2aD3oa=二1,b二6)cn33DDD即所求的二次多项式为f(x)-x2-6x3.补充练习ai 2 y2.系数ai1,ai2,ai3,ai4(i=1,2,3,4)满足什么条件时，四个平面ai1xai3z+ai4=0(iE2,3,4)相

18、交于一点(x0,V。,z。)？解把平面方程写成如下形式ai1x+ai2yi3zai4t0,(t=1,i=1,2,3,4),于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组auxa12ya13za14t0,a21xa22ya23za24t_0,1、，+c、十cr+cX=na31xa32ya33za34t0,a41xa42ya43za44t0,有一非零解(x0,y0,z0,1).根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式D0,即四个平面相交于一点的条件为ana12a13%a21a22a23az、aaaa0.31323334a41a43a44(4, 18),求3.设平面曲线y=ax3+bx2+

19、cx.d通过点(i,0),(2,-2),(3,2),系数a,b,c,d.解由平面曲线通过点(1,0),(2,-2),(3,2),(4,18),得abcd-0,8a4b2cd=-2,27a9b3cd-2,64a16b4cd48.我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数18D-27D1D364160-2122-0-22189160-24-276421811= -36 ,112= 24,2764916218276491621810 127从而D1a -Db-D2- 3DD3 c -D*2 .D第二章矩阵学习要求1 .理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质

20、；2 .掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的事与方阵的多项式的性质；3 .理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念，掌握通过伴随矩阵求可逆矩阵的方法；4 .知道分块矩阵的概念及其运算规律；5 .了解矩阵等价的概念，掌握矩阵的初等变换，弁能用初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形.掌握用初等变换求逆矩阵和矩阵方程.理解初等矩阵的定义及其理论；6 .理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的相关性质，弁能用初等变换求矩阵的秩；2.1矩阵的概念2.图2.1表示了b省三个城市bi、b2、b3和c省三个城市ci、C2、C3相互间高等级

21、道路的通路情况.试用矩阵表示b省和c省之间的通路情况.图2.1中两省的城市相互间的通路情况可以用矩阵表示，规定矩阵元素1,城市i与城市j之间有通路aij。，城市i与城市j之间没有通路由上规定，b省和c省之间的城市通路情况可用下列形式表示:c1c2c3b1110b2011b3101补充练习123 图 2.241 .图2.2表示某物质在四个单位之间的转移路线.设1,物质在单位i和单位j之间有转移a.ij二10,物质在单位i和单位j之间没有转移试用矩阵表示该物质在这四个单位之间的转移路线解图2.2中物质在四个单位间的转移情况可用一个4次4矩阵表示:(01100001A;1100I1010/y1一X1

22、ii：X22 .若有线性变换jyiiM2,试与出该线性变换的矩阵yn-xn解该线性替换的矩阵为n阶单位矩阵:11En二13 .某一城市在2000年的城市和郊区人口数量分别为0和S0,一年后约有5%的城市人口移居郊区（其他95%留在城市），而2%的郊区人口移居城市（其他98%留在郊区）.假设2001年的城市和郊区人口数量分别为1和S1,请用线性方程组表示2001年该市的城市和郊区人口分配情况，弁写出相应的移民矩阵解根据题意，可写出下列方程组门一00.95S00.02力-S1=00.05S00.98该方程组的系数即构成了移民矩阵，即由：城市郊区移至：0.950.02城市0.050.98郊区记为0.

23、950.02M.0.050.98R_2.2矩阵的运算1321.设A=I015：624解132A-2B-015624-330三j-23=1I_4.2-61325A=3B=5015624201B=1113,计算At505)20113flJ21-13-0150562rB1-201531-130505302、计算11(4)2110j5C,土卷,Fa;,，*i211201x,灰土1102112B和5A+3B.24025r2-261II4100101510603(1J,525I3-39102015015(1)21111(1)11(2)13(1)213小品比一?.4-vjipV,21110(-2)23120

24、311011(23)5(1)061451216(3)0(1)266401一89-16365.设矩阵 M为某公司在第一季度生产的四种产品A、B、C、D的产量表:ABCD：3020502。一月10 20矩阵N为这四种产品的生产成本的各种费用： 原材料 ,20003000N -50004000M60|403010;二月，1825J三月人工杂费300150!A280180$B250120，C200140JD求该公司第一季度各月生产这四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费解记该公司第一季度各月所需费用为矩阵K原材料人工杂费111k12k13一月K二k21k22k23二月三月1

25、k31k32k33那么k1j(j=1,2,3是)一月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费k2j(j=1,2,3是)二月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费k3j(j=1,2,3是)三月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费根据矩阵乘法定义，有fxf200030015030205020可|=:3000280180KMN604030105/5000250120工10201825乂I4000200140450000-43000027000031100169003870021200.1810010760J450000、31100 和 16900;所以一月份生产四种产品所需的

26、原材料费用、人工费用和杂费各为二月份所需的原材料费用、人工费用和杂费各为430000、38700和21200;三月份所需的原材料费用、人工费用和杂费各为270000、18100和10760.补充练习a102.我A0a11计算An.00a解本题的求解方法是：先根据方阵的事的定义，具体计算A2,A3,A4,?,弁从中找出An的规律.找到规律后，用数学归纳法证明该规律2a10a10aIIAA0a10a1;000a00a02a1a22a0a2a22a1|a10jja33a2A2A0a22a0a1=0a300a200a00*F*3a3a2a33a23aa10a44a36a2A4-A3A0a33a20a1

27、-0a44a300a300a00a4a44a3A5-A4A-0a4006a2a10a55a410a34a30a1-0a55a4a400a00a5?由以上A的各次窑的计算结果可推断ann-1nan(n1)aAn1An1naana101以下用数学归纳法证明A的帚的规律：当n=1时，A1=；0a1显然成立;II00a1L/!akkakk(k1)ak如2设当n=k时，Ak=J|0aknaJ成立,00akXJ于是则有fakkak彳k(kFak2,2fa10当n二k十时，Ak什二AkAII0akkakj0a100ak(00aJa*1(k1)akk(k1)ak1-2十：+k0ak1(k1)ak+00ak1故由归纳法得annanAn_|0an003.计算(3)TTT.T(1*111*因止匕(E：A尸k(EA2E+LA*22由此可得043一130434一9一194i=9000010。_23.