线性方程组的一样解法

1、线性方程组的一般解法收地，忽个未知量，沸个方程组成的线性方程组可以表示为:再T1即孤=d2Ml.+以22演*卜=*2其中，勺，/是方程组的川个未知量,与，（I=12得J=12用是第物程,）.第j个未知量为的系”.4°=12他）是第。个方程的常数项.若心则按矩阵乘法和矩阵相等的定义式可写成AX=B其中沸xm矩阵工称为线性方程组（1）的系数矩阵，己乂1矩阵X称为未知量矩阵，训火1矩阵§称为常数项矩阵.显然，线性方程组解的情况取决于未知量的系数和常数项.幽*3+1）矩阵'=（工，'）称为线性方程组（1）的增广矩阵，可以表示为%abl瓦、A=A,B)=%*以222起

2、% 一以14四2仪求x线/则线性方程组(1)与其增广矩阵是一一对应的.如果用常数益易'4依次代替线性方程组中的抬个未知中'租/时，中逸个方程均成为恒等式，则称再二菰二京，与二盘为的一个解.此时也称方程组有解，并可表示方程组的解为矩阵形式也称?3X1解矩阵为(1)的一个解向量，或者说X=4是的解.那么，方程组解的情况如何？是有解还是无解？有解时是有唯一一组解还是有无穷多组解？就是我们将要解决的问题，回想第一章讲到的线性方程组的特殊情形.设搐=”用克莱姆(Cramer)法则求解方程组.，,M0°,即方阵工可逆,则线性方程组有且仅有一个解X=AB用克莱姆(Cramer)法则

3、只能求解方程的个数与未知量个数相同，并且其系数行列式不为零的线性方程组,随着未知生个数的增加，计算量的增长速度大的惊人.这是该方法的不足之处.在中学，我们已经学会广川高斯(Guass)消元法解二元、三元线性方程组，仃纳用高斯(Guass)消元法解线性方程组的过程,也就是对方程组进行同解变换.先给出一个定义定义17；浅叫方程”=B的解都是线性方程组CX=D的解;反之CX=D的解,也都是Al=B的解,则称线性方程组AX=B与CX=D是同解方程组.先举一例来回顾一下解线性方程组的消元法.1.解线性方程组2再一电十3x2=114玉+2x2+5x5=42西+2均=6解将第一个方程的一2倍、一1倍分别加到

4、第二、第三两个方程上，与原方程同解的方程组2五一无2十3电=114x2-x3=2.与一均=5在上述方程组中，将第三个方程的1倍，一4倍分别加到第一、第二两个方程上，并交换第二、三两个方程的位置，得同解方程组2x1十2元3=6,电一药=5_3均二一1821第个方程两端同乘以2,笫三个方程他注司乘以3.烈将第三个方程的一1倍、1倍分别加到第一、第二两个方程上，得玉二9，电=一二一6这就是原方程组的解.归纳上述解线方程组的过程，不外乎对方程组施行以下三种变换：1 .交换两个方程的位置；2 .用一个非零常数乘以一个方程3 .把一个方程的若干倍加到另一个方程上.它们统称为线性方程组的初等变换.经过初等变

5、换得到的方程组都与原方程组同解,而解线性方程组的过程，就是利用这三种变换逐次“消元”，使原方程逐步化简为与其同解的、能够直接给出解的方程组C从例1解答过程中，不难发现，在对方程组施行初等变换时，参与变化的仅是未知量的系数和常数项。因此，对线性方程蛆AX=B施行的初等变换，相当于对增广矩阵“=（从'）施行初等行变换，反之依然。那么，求解线性方程组的过程，就是用初等行变换将增广矩阵N化为简化的行阶梯型矩阵的过程。这时上面的求解过程可以表示为矩阵形式：'2-1=（*,£）=42<20(100产L臼0100135-69-1-6这时已汨增触孙为化为简化的行阶梯里矩阵它代表

6、线性方程组1勺十0兀2十0叼=9，。五+lx2+0元3=-1Ox1+0x2+lx3=-6所以此线性方程组的唯一解为Aj=9fl73=一3或表示为向量形式X =值得注意的是,例1也可以利用克莱姆法则或逆矩阵求解,尽管求解过程不同,但结果一定一样,所以.在以后解线性方程组时，为r书写简明，只需写出方程组的增广矩阵的初等行变换过程即可.i.解线性方程组勺2无2+4心一=33Kl+64+x4=5一勺+勺-103+5x4=-74/一11的一2x3+8%=。加对增广矩附N进行初等彳，化为阶梯型矩阵，有-24-761-10-11-2-1 3 1155-78 0 >q-240-1-6->0-1-

7、610一 3一 18-13 14-44- 412 12/1_24-13、0-1-64-4勺000000000>所得的阶梯型矩阵第3行与第3行是零行，它们代表同解方程组的第3与第4个方程J。五+0x2+0x3+0x+=0五十0x2十0x3+Ox+=0这是恒等关系式，对线性方程组的求解不起作用，是多余的方程.这意味着构成此线性方程组的四个方程不是完全有效的,其中的两个方程（如第3个方程与第4个方程）可以去掉,而其余的两个方程（如第1个方程与第2个方程）是有效的方程,而两个有效方程只能求解两个未知生，那么另外的两个未知量可以自由取值,今后对于可以自由取值的未知量称之为自由未知量.不能自由取值的

8、未知量称之为非自由未知量.在方程中的未知量中，如何选择非自由未知里依据的原则是：由克莱姆法则，对于非自由未知量，其系数行列式不为零。当然，符合这一原则的选择不是唯一的，通常将下脚标较小的未知量选作非自由未知量.下脚标较大的未知量选作自由未知量,在本例题中，得到的阶梯型矩阵的第1行与第2行代表着有效方程组1工1+45-lz4=3<Ox1一lx2-6x3+4x4=-4将含未知量当，4的项移到等号的右端，得久_2xi=-4a3十工4十3<一元2=双一4一4对于未知量，人2,其系数行列式CI给的人"；的，4的一组值，依据克莱姆法则，得到未知量为出口的唯一解，它们构成线性方程组的一

9、组解，由此得出线性方程组有无穷多解.对所得的阶梯型矩阵继续作初等行变换,化为简化的行阶桶型矩阵,有rl00-2 4-1-60 00 0-1 小4 -40000,10 一0-21004 -1 3、644000000/0163、016->0001000-91P-440000,所得的简化的行阶梯型矩阵第1行与第2行代表线性方程组一对十16药一9亢4=11<x2+6均-4x4=4选择与，/为自由未知量，牛42为非自由未知量,则五1，七由五3，乙表示的表达式为勺=-16次十94十11<x2=-6x3+4x4+4当自由未知量的取任意常数C14取任意常数时，此方程组有无穷组解的一般表达式为

10、占二一16cl十9勺十11x2=-6q+4c2+4A5=Cl（%,%为任意常数）若此方程组的一股解改写如下犬1=-16匕1+9。2+11x2=-5%+4%+4a5=I5+Oc2+0x4=Ocj+lc2+0则此方程组的一般解又可表示为向量和的形式A卜169、电-644X=个=勺1+。20+0<0>3求出线性方程组的解之后,应该验算.对于唯一解情况,只需验算一组答数.对于无穷多解情况,可以3叫：花无穷，解的一般表达式中含一个任意常数*则只经3令c=0c=1的网组答数;若无穷多解的一般表达式中含两个任意常数,1、（,则只须验算令得到的三组答数,如此等等,在例1中,将求得的唯一解犬1=9&

11、#39;=-173=一6回代原线性方程组后，使得等式成立,困此所求得的唯一解正确无误：在例2中，令得到的三组答数将以上三组答数回代原线性方程组后，使得等式成立,因而所求得的无穷多解表达式正确无误.当然,解线性方程组的过程不是唯一的.例3求解线性方程组七一天2+2二3玉二1X+2汗2Aj-X4=22xl+及2+W-24=1折时增广矩阵N进行初等行变限pA = A,B)= 1<2-1212-11-1-1-21)2 b-1332-3-3-1001) 1-bfl 占一改 T 0-12-11、3-30100021所得的阶梯型矩阵第三行代表第三个方程0元+0x2+0x3+0x4=-2即有0=-2得到的结果出现矛盾,这是由于原线性方程组中存在相互矛盾的方程的反映，说明未知里的任何一组取值都不能满足所有的方程，所以此线性方程