解析几何中的定点问题

1、.解析几何中的定点问题解析几何中的定点问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，在求解过程中往往伴随复杂的运算。进步解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注度，以及根本运算才能的培养，都有非常积极的意义。解析几何中的定点问题的求解，本质就是等式恒成立问题的求解。一.直线中的定点问题例1. ，直线：，求直线经过的定点的坐标解：由，知， ，解得：所以直线经过定点变式：实数满足，直线：，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，求线段的最大值解： 因为，所以，即所以，解得所以直线经过定点Q，点在以为直径的圆上，由几何性质知的最大值为二.圆中的定点问题例2.椭圆的右焦点且为双曲线的右

2、顶点，椭圆与双曲线的一个交点是假设点是双曲线右支上的动点，直线交轴于点，试问以线段为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论解：由题意设椭圆的方程是，双曲线的方程是，那么=，椭圆的方程是， 由点在双曲线上得：，得，所以双曲线的方程是， 设，那么，直线的方程为得，以线段为直径的圆恒过定点变式1：圆，为坐标原点，为平面内一定点，对于圆上任意一点，都有 求点A的坐标解：设,由，得，化简得：，又因为，所以，因为对任意的x,y恒成立，所以.所以变式2：圆，圆，假设动圆同时平分圆和圆的周长，那么动圆是否经过定点？假设经过，求出定点的坐标；假设不经过，请说明理由。解：设圆心，由题意得：,即整理得：即圆心在直线上运

3、动.设那么动圆的半径为：所以动圆C的方程为：即由解得：或即动圆C过定点， 三.圆锥曲线中的定点问题常化归为直线中定点问题一椭圆中相关定点问题例3. 椭圆的离心率为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。设4，0，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明：直线与轴交于定点。解：由题意知来源:ZXXK故椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为设点直线的方程为整理，得 由得代入整理，得.所以直线与轴相交于定点1，0.变式1：椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，探究直线是否过定点.解

4、：因为，是等腰直角三角形，所以c2，所以a，故椭圆的方程为. 假设直线AB的斜率存在，设直线的方程为，联立方程得，消去，得，那么.由题知所以，即.所以，整理得.故直线的方程为，即.所以直线过定点.假设直线的斜率不存在，设直线的方程为，那么由题知，得.此时直线的方程为，显然直线过点.综上可知，直线过定点.变式2：椭圆：，四点，中恰有三点在椭圆上设直线不经过点且与C相交于两点假设直线与直线的斜率的和为1，证明：直线过定点证明：由于两点关于轴对称，故由题设知椭圆经过两点又由知，椭圆不经过点，所以点在椭圆上因此解得故椭圆的方程为.设直线与直线的斜率分别为.假设与轴垂直，设，由题设知，可得的坐标分别为，

5、那么，得，不符合题设假设与轴不垂直，可设那么由，得由题设可知.设，那么.而由题设知所以即，解得.所以所以过定点2，1变式3：椭圆C：，左焦点，且离心率，假设直线与椭圆C交于不同的两点不是左、右顶点，且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.求证：直线过定点,并求出定点的坐标.证明：由题意可知： 解得 所以椭圆的方程为： 由方程组 整理得 设那么 由，且椭圆的右顶点为 即也即 整理得： 解得均满足 当时，直线的方程为，过定点2，0与题意矛盾舍去当时，直线的方程为,过定点 故直线过定点，且定点的坐标为二双曲线中相关定点问题例4.双曲线的左、右焦点分别为,过点的动直线与双曲线相交于两点。在轴上是否存在定点

6、，使为常数？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由。解：假设在轴上是否存在定点，使为常数.设当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是：， 由得：那么所以因为是与无关的常数所以即，此时当AB与x轴垂直时，点A、B的坐标可分别设为此时综上所述：在轴上存在定点，使为常数三抛物线中相关定点问题例5. 抛物线，直线与C交于两点，为坐标原点。当直线的倾斜角之和为45时，求，之间满足的关系式，并证明直线过定点。解：抛物线的焦点为1，0，设 联立，消得*依题意0设直线的倾斜角分别为，斜率分别为，那么+=45，其中，代入上式整理得所以，即，此时，使*式有解的，有无数组直线的方程为，整理得消去，即时恒成立，所以直线过定点-4，4变式1：定点在抛物线：0上，动点且求证：弦必过一定点解：设所在直线方程为：与抛物线联立方程，消去得设，那么 由得，即 式可化为，即将代入得，