函数的极值与导数

1、 1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数目标引领：目标引领：1 1、利用上节课导数的单调性作铺垫、利用上节课导数的单调性作铺垫, ,借助函数图形的直观性探索归纳出导数借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义的极值定义, ,利用定义求函数的极值利用定义求函数的极值. .2 2、感受导数在研究函数性质中一般性、感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习体会极值是函数的和有效性，通过学习体会极值是函数的局部性质，增强数形结合的思维意识。局部性质，增强数形结合的思维意识。 aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函数那么函数y=f(x) 为这个区为这个

2、区间内的间内的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内f/（x）0 得得f(x)的单调的单调递增区间递增区间; 解不等式解不等式 f/（x）0 得得f(x)的单调的单调递减区间递减区间.3 3、已知函数、已知函数 f( (x)=2)=2x3 3-6-6x2 2+7+7，求，求f( (x) )的单调的单调区间区间, ,并画出其图象并画出其图象; ;复习回顾：复习回顾：观察画出的图象，回答下面观察画出的图象，回答下面问题：问题：问题问题1：在点：在点x=0附近的图象附近的图象有什么特点？有什么特点？问题问题2：函数在：函数在x=0处的函数处的函数值和附近函数值之间有什么值和附近函数值之间有什

3、么关系？关系？问题问题3：在点：在点x=0附近的导数附近的导数符号有何变化规律？符号有何变化规律？问题问题4：函数在：函数在x=0处的导数处的导数是多少？是多少？x=0 x0单调递增单调递增f (x)0单调递减单调递减f (x)2x2x2x=2 f (x)+0 -f (x)单调递增单调递增f (2)单调递减单调递减极小极小值点值点极小极小值值 你能尝试给出极大值的定义吗？你能尝试给出极大值的定义吗？【函数极小值的定义】【函数极小值的定义】 设函数设函数y= =f( (x) )在在x= =x0 0及其附近有定义及其附近有定义若若x0满足满足1. f/(x)=0. 2.在在x0的两侧的导数异号的两

4、侧的导数异号,满足满足“左负右左负右正正”,o oa aX X0 0b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xf极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值,x,x0 0叫做函数的叫做函数的极值点极值点. .思考思考3、观察图、观察图1.3.10，回答以下问题：，回答以下问题：问题问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？大值点，哪些点为极小值点？问题问题2：极大值一定大于极小值吗？：极大值一定大于极小值吗？问题问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？有唯一性吗？问题

5、问题4：区间的端点能成为极值点吗？：区间的端点能成为极值点吗？问题问题5：极值是相对于函数的定义域而言的吗？：极值是相对于函数的定义域而言的吗？(1)(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念, ,反映了函数在某一点附反映了函数在某一点附近的大小情况近的大小情况; ;(2)(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值; ;(3)(3)函数的极大函数的极大( (小小) )值可能不止一个值可能不止一个, ,而且而且函数的函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值; ;【关于极值概念的几点说明】【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端

6、函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。点不能成为极值点。例例1.（1）下图是函数的图象）下图是函数的图象,试找出函数的极值点试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？哪些是极小值点？（2）如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是）如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是极大值点极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点?x yOf ( (x) ) x3 3 f (x)=3x2 当f (x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x

7、0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件思考4：导数为0的点一定是极值点吗？能举例说明吗？导数为0是可导函数在此处取极值点的什么条件？例例、求函数求函数 的极值的极值 4431)(3 xxxf例题讲解例题讲解解：解：)2)(2(42 xxxy当当x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy , +00+极大值极大值y2(-2,2)-2xy )2,( ), 2( 32834 极小值极小值令令 ，解得，解得2, 221 xx0 y当当 时，时，y有极大值，并且有极大值，

8、并且2 x328 极大值极大值y当当 时，时，y有极小值，并且有极小值，并且2 x34 极极小小值值y（1） 求导数求导数f/(x)；（2） 解方程解方程 f/(x)=0（3） 通过列表检查通过列表检查f/(x)在方程在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值数的极值点与极值.【求函数极值的步骤】【求函数极值的步骤】1yxxxX1+0-0+( )fx( )f x所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是是，函数的极大值是-2，当，当x=1时，函数的时，函数的极小值是极小值是21,0 xxx解：f(x)=所以导函数的正负是交替出现的吗？不

9、是不是22211( )1xfxxx ，( )01fxx 时，x当 变化时，f(x),f(x)变化如下表极大值极大值极小值极小值求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f (x)左正右负，则左正右负，则f(x)为极大值；为极大值； 若若 f (x)左负右正，则左负右正，则f(x)为极小值为极小值+-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是的，是局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间。因此一个函数在其整个定义区间上可能有上可能有多个极大值或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来，并对同一个函数来说，在某说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值一点的极大值也可能小于另一点的极小值。练习练习1.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是