偏微分方程初步

1、2022-3-9北京科技大学数力系1Partial Differential Partial Differential Equation (P.D.E)Equation (P.D.E) 数学物理方程数学物理方程吴事良2022-3-9北京科技大学数力系2lKeep mind active, make yourself comfortable.2022-3-9北京科技大学数力系3PDEPDE的起源及发展：的起源及发展：l欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，随后，达朗贝欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，随后，达朗贝尔也在尔也在论动力学论动力学中提出了特殊的偏微分方程。中提出了特殊的偏微分方程。l17461

2、746年，达朗贝尔在其论文年，达朗贝尔在其论文张紧的弦振动时形成的张紧的弦振动时形成的曲线的研究曲线的研究中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。了偏微分方程这门学科。 l丹尼尔丹尼尔贝努利也研究了数学物理方面的问题，提贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法。拉格朗日也讨出了解弹性系振动问题的一般方法。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程。论了一阶偏微分方程。2022-3-9北京科技大学数力系4l今天，偏微分方程的应用范围更广泛。从

3、数学自身的今天，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。l偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪。法国数学家偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪。法国数学家傅立叶，在从事热流动的研究中，写出了傅立叶，在从事热流动的研究中，写出了热的解析理热的解析理论论，在文章中他提出了三维空间的热方程。，在文章中他提出了三维空间

4、的热方程。2022-3-9北京科技大学数力系5教材教材：数学物理方程数学物理方程 谷超豪等谷超豪等 高教出版社高教出版社( (第三版第三版) )参考参考：l偏微分方程偏微分方程, , 周蜀林周蜀林, , 北大出版社北大出版社l偏微分方程偏微分方程, , 陈祖墀陈祖墀, , 中科大出版社中科大出版社( (第二版第二版) )lPartial Differential Equations, L.C.Evans,Partial Differential Equations, L.C.Evans, AMS,2008, fourth printing AMS,2008, fourth printing h

5、ttp://evans/ /evans/2022-3-9北京科技大学数力系6Definitions:Definitions:lDifferential equation: Equation that relates the derivatives of an unknown functionlODE: the unknown function in the differential Eq. only depends on a single variablelPDE: the unknown function in

6、the differential Eq. depends on more than one variable0duudt0uutx1. 2. E.g.(ODE) (PDE) 2022-3-9北京科技大学数力系7lODE ODE One Variable Calculous(One Variable Calculous(一元微一元微积分积分) )lPDEPDE Multi-Variable Calculous(Multi-Variable Calculous(多元微多元微积分积分) )2022-3-9北京科技大学数力系8记号记号(Notations)1111( )( ) :,1,2, nnkkn

7、nkkxxu xD u xkkkkkk且12,(,.,),nnRxxxx 12( )(,.,) :nuu xu xxxR be a function.the set of all derivatives of order k.111:(,)(,)nxxnuukDuuuxxgradient(梯度梯度).2():,():,iiijijxxx xx xiijuuuuuuxx x Let2022-3-9北京科技大学数力系922222211:niniuuuuxxxLaplacian of u.1(,) :nnFFFR 1( ):niiiFdiv Fx().div Dube a vector-valued

8、 function,LetDivergence(散度散度) of u.Clearly,()kC= | all derivatives of order k are continuous :uR u2022-3-9北京科技大学数力系101.1. Basic Concepts(PDE1.1. Basic Concepts(PDE的基本概念的基本概念) )12( ,),nxx xx),()(21nxxxuxuunknown function, ( ),( ),( )0(1)mF x u xDu xD u x order PDE:lOrder：lClassical solution： and sati

9、sfies the Eq. (1) . ( )muCthm the highest order derivative occurring in the Eq.2022-3-9北京科技大学数力系11分类一分类一：LinearNon-linearSemilinear(半线性半线性)Quasilinear(拟线性拟线性)Full nonlinear(完全非完全非线性线性) )PDE2022-3-9北京科技大学数力系12u线性线性 DEDE：PDEPDE中对所含未知函数及其各阶导数的全中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如体都是线性的。例如( (二阶线性二阶线性PDE)PDE)：21111

10、,11( ,)( ,)( ,)( ,),nnijnjnnni jjijjuuaxxb xxc xx uf xxx xx ,ijja b c系数均为常数.l常系数线性常系数线性PDE:PDE:不然称为变系数的不然称为变系数的l齐次线性齐次线性PDE:PDE:0f .不然称为非齐次的不然称为非齐次的l线性线性PDEPDE的主部的主部: : 具有最高阶数偏导数组成的部分具有最高阶数偏导数组成的部分主部主部2022-3-9北京科技大学数力系13PDEPDE中对最高阶导数项是线性的。例如：中对最高阶导数项是线性的。例如：l半线性半线性PDEPDE：l完全非线性完全非线性PDEPDE： PDEPDE中对最

11、高阶导数不是线性的。中对最高阶导数不是线性的。211,111(, ,)(, ,).nijnni jnijnuuuuuau xxfu xxxxx xxx 211,11( ,)(, ,).nijnni jijnuuuaxxfu xxx xxx l拟线性拟线性PDEPDE：拟线性拟线性PDEPDE中，最高阶导数项的系数仅为中，最高阶导数项的系数仅为自变量的函数。例如：自变量的函数。例如：u非线性非线性 PDEPDE：PDEPDE中含有未知函数及其各阶导数的非中含有未知函数及其各阶导数的非线性项线性项。2022-3-9北京科技大学数力系14u例子例子经典方程经典方程（未知函数为二元函数）：（未知函数为

12、二元函数）：0 xu1.1.0 xuatu2.2.xxat变换：1( ),uf yfC()uf xat0uaTransport Eq.(Transport Eq.(输运方程输运方程) )2022-3-9北京科技大学数力系15022222xuatu4.4.20u 3.3.( )( )ughxatxat变换：20u ()()ug xath xatWave Eq. (Wave Eq. (波动方程波动方程) )2022-3-9北京科技大学数力系1602222yuxu5.5. Laplace Eq. Laplace Eq.6.6.2222uuutxyHeat Eq. Heat Eq. 热传导方程热传导方

13、程 2022-3-9北京科技大学数力系177.7.( )tuuf u 8.8.二阶拟线性二阶拟线性9.9.()0tuH Du一阶完全非线性一阶完全非线性Reaction-Reaction-Diffusion Eq.Diffusion Eq.Hamilton-Hamilton-Jacobi Eq.Jacobi Eq.1/2201 |DudivDu极小曲极小曲面方程面方程二阶半线性二阶半线性2022-3-9北京科技大学数力系18u例子例子经典方程组：经典方程组：1.1.1( ),1( ),( )( )0,Ecurl BctBcurl Ectdiv Ediv B 这里这里 分别为电场强分别为电场强度

14、和磁场强度，度和磁场强度， 为光速为光速. .,E B c18731873年，伦敦皇家科学院年，伦敦皇家科学院J.C.MaxwellJ.C.Maxwell用系统而精确用系统而精确的形式表达了有关电和磁的全部定律的形式表达了有关电和磁的全部定律。爱因斯坦称。爱因斯坦称赞它是赞它是“在牛顿以来物理上所经历的最深刻、最有成果在牛顿以来物理上所经历的最深刻、最有成果的一次真正观念上的变革的一次真正观念上的变革”，它开辟了无线电时代的新，它开辟了无线电时代的新纪元。纪元。2022-3-9北京科技大学数力系19( )0tudivF u 2.2.System of System of conservatio

15、n laws (conservation laws (守守恒律方程组恒律方程组) )3.3.Reaction-diffusion Reaction-diffusion system(system(反应扩散方程组反应扩散方程组) )( )tuuf u ( , )()u x tU xct行波解行波解( (传播过程中波传播过程中波形不变形不变) )：传染病、神经网：传染病、神经网络、化学反应等络、化学反应等2022-3-9北京科技大学数力系20,( )0,tuu DuuDpdiv u 4.其中其中 为粘性系数，为粘性系数， 分别为流体的速度和压力分别为流体的速度和压力Navier-Stokes Eq

16、s. Navier-Stokes Eqs. for incompressible, for incompressible, viscous flow(viscous flow(不可压不可压缩粘性流缩粘性流) ), u p1 1、The NavierThe NavierStokes equations are the most Stokes equations are the most fundamental equations of fluid mechanics.fundamental equations of fluid mechanics.2 2、The existence or non

17、-existence of global The existence or non-existence of global solutions is a major unsolved problem (open solutions is a major unsolved problem (open problem) in mathematicsproblem) in mathematics！2022-3-9北京科技大学数力系211.2. Well-posed problems(1.2. Well-posed problems(适定性问题适定性问题) )1 1、定解问题定解问题PDE+PDE+定

18、解条件定解条件( (具体方程时阐述具体方程时阐述) )2 2、适定性适定性若一个偏微分方程定解问题满足：若一个偏微分方程定解问题满足： (i) (i) 它的解存在；它的解存在； (ii) (ii) 它的解唯一；它的解唯一； (iii) (iii) (稳定性稳定性) )它的解连续的依赖定解条件和它的解连续的依赖定解条件和定解问题中的已知函数，则称此定解问题是适定的；否定解问题中的已知函数，则称此定解问题是适定的；否则称为是不适定的则称为是不适定的. .注：稳定性是非常必要的注：稳定性是非常必要的. .数学模型是实际问题的近似，得到的初始与数学模型是实际问题的近似，得到的初始与边值数据都会有误差，

19、因而边值数据都会有误差，因而定解问题的解与实际问题的解必定有差异，我们定解问题的解与实际问题的解必定有差异，我们只能只能要求测量的误差越小时，定解问题的解与实际问题的解越靠近要求测量的误差越小时，定解问题的解与实际问题的解越靠近.2022-3-9北京科技大学数力系222( , )ttua uf x t ( , )uf x t Wave Eq. (Wave Eq. (波动方波动方程程)双曲型双曲型2( , )tu a uf xt Poissions Eq(Poissions Eq(位位势方程势方程)椭圆型椭圆型Heat Eq. Heat Eq. 热传导方热传导方程程 抛物型抛物型内容内容：三类方程解的适定性：存在、唯一、稳定三类方程解的适定性：存在、唯一、稳定 性；解的正则性、渐近性性；解的正则性、渐近性( (衰减性衰减性) )等等2022-3-9北京科技大学数力系23l存在性存在性：Step1Step1、形式解形式解假定定解问题的解具有非常好假定定解问题的解具有非常好的性质的性质( (如光滑性如光滑性) )，进而求出定解问题的解的表达式，进而求出定解问题的解的表达式. . 这样的这样的解称为形式解解称为形式解. . Step2 Step2、严格证明在定解条件满足一定的要求时，所得、严格证