积分不等式的证明方法

1、积分不等式的证明 摘要 :本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式,利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。关键词：积分不等式 单调性 拉格朗日中值定理 taylor 公式 二重积分 凹凸性 柯西不等式 英文题目: to study integral inequality proof: using the monotonous integral inequality, use l Schwartz inequality certificate

2、 integral inequality, using Lagrange's mean value theorem of integral inequality, l using integral mean value theorem of integral inequality, l Taylor formula to card integral inequality, use the concave and convex function sex to card integral inequality, use the double integral to card integra

3、l inequality.Key word: Integral inequality， monotonous ,Lagrange's mean value theorem, Taylor formula, double integral, Cauchyinequality1引言：数学分析是数学专业的一门重要的专业基础课，其中很多问题的解决都离不开不等式。而积分不等式是数学分析中应用较广的一类不等式。它的证明方法与应用是数学分析的中的一个难点。它的证明，使数学不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。它的应用及推广也是很灵活巧妙的，使一些较为困难的问题迎刃而解。因此，深

4、刻理解和掌握积分不等式的证明方法，及其在数学分析中不同方面的应用，有助于我们对理论知识的理解和应用，同时也对我们以后的学习有所帮助，对提高我们的思维能力和技能、技巧也是很有益的。2 研究问题及结果1）函数的单调性在证明积分不等式上的应用例1若在上可积，则 证：将改写为，并设， = = 从而知为减函数，于是有，又=0，所以因此有 注：利用函数的单调增减性证明积分不等式，先将定积分改写成变上限的积分，移项使不等式一端为0，另一端设为，再验证的单调增减性。2）利用拉格朗日中值定理来证积分不等式1定理4: 设函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得。注：称

5、为拉格朗日公式例1设在上有一阶连续导数，且，证明：（）证明：（）令，由拉氏中值定理知从而所以（）证明：），则故注：如果积分不等式的条件中有一阶可导,则我们常常可以用拉格朗日中值定理来证积分不等式.3）. 利用积分中值定理来证积分不等式 6定理设在上连续，在上可积且不变号，则存在，使得特别地，当时，存在，使得例(1)设在上可导，证明对于，有 证：由积分中值定理，知，其中，又对任意的，有，即，当时， 当时， +从而当时，4）利用Taylor公式来证积分不等式例1：设，求证证明：将在处展开成一阶泰勒公式由于将上式两边在上对积分得，即 =即。5）利用函数的凹凸性来证积分不等式例1.设是的连续函数，而且

6、是非负和下凸的，求证：。证明：令，则，由于下凸的，故。所以，在上单调增加，从而即，其中，特 别，当时，。6）利用二重积分来证积分不等式例1设函数为上的单调减少且大于0的连续函数，求证：证明：令 =同理I=两边相加整理得2I=，命题得证。7）柯西不等式中证明积分不等是式例1柯西不等式的证明。 证明:柯西不等式为。设显然在上连续，在内可导，且 所以在上单调减少，则，即 得到结论。8)利用线性变换证明积分不等式.例1：设为上单调增加的可积函数，则证明：当时结论成立，只需证，经线性变换后，即证，由于上单调增加，利用定积分的单调性知结论成立。结束语：从以上文章分析可见，根据不同积分不等式特征，采取不同的方法 .它使高等数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。通过这次的实践课论文，我学到很多知识，跨越了传统方式下的教与学的体制束缚，通过查资料和搜集有关文献培养了自学能力，在写论文的过程中也学到了一些做事情的心态和态度 参考文献1李治飞 赤峰学院报（自然科学版）J2斐礼文 数学分析的典型问题与方法M。北京：高等教育出版社，1993 3王艳红 积分不等