待定系数法求特殊数列的通项公式

1、待定系数法求特殊数歹!1的通项公式时间:2021.02. 1 1创作：欧阳计靖州一中蒋利在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通 项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是 一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为 一道重大的试题。因此，在教学中，针对这类问题， 提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面 掌握这类问题及求解的一般方法。求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所 给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数 列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公 式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要 在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上 相同的数或相

2、同性质的量，构造数列的每一项都加上 相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数 列。具体的求解过程详见示例。第一类别：an=Aan-l+B例1设x产2,且x”=5x”“+7求数列的通项公式解：所给的递推公式可变形为xn + m = 5xn 1+7+m = 5(xm= - + .贝lj m =-5 5554于是+ l =5(x_1 + l), X + 1 是等比数列，其首 444项为X.+ 4E公比为 q = 5于是 xn + l=12.5-4444所以x”=E5心一？44例2 设 xl = l,且 xn= 3V1( n = 2, 3, 4,)2% + 5求数列 xn 的通项公式解：所给的递推

3、公式可变为：丄叫 3心“3丄+?+芻，令m二？+芻则m = l&3 兀 I 5555于是丄+1/(丄+1)。丄+1是等比数列，心 3 X-心其首项是丄+ 1二2,公比是q = ?西3于是丄+ 1=2 ( |) rvl o 所求的xn二 丄 “ 兀325"“一3心第二类别：an=Aan-l+Ban-2彳歹I3 设 xl = l, x2 = 5,xn = 13xn-l-22xn2, (n = 3,4,)求数列 xn 的通项公式解：所给的递推公式可变为xn + mxn：1= ( m + 13 ) xnl-22xn-2= ( m + 13 )(xnl22 -xn2)m +13令m=-

4、22加+13则 m= 2,或 m= 11xn-2xn-l=ll(xn-l-xn-2) ,xn-llxn-l = 2(xn-l-xn-2) xn-2xn-l, xn-llxn-1都是等比数列，其首项与公 比分另I为x22x1 = 3,q = llo X211x1=6,q：=2。于是 xn-2xn-l= 3-lln-2, xn-llxn-l=-6*2n-2o由此消去 xn-1 可得 xn = (lln-l + 2n)/3彳列 4：设 xl = l,x2 = 2o 且 xn = 7xnl+18xn2( n二3,4,.)求数列 xn 的通项公式解：所给的递推公式可变为xn + mxn ：l = (m+

5、7)x l+18xn 2 = (m+7)(x n：L+1877?+ 7xn2令 m = ,贝lj m = 2,或 m=-9m + 7xn + 2x n2 = 9(x l + 2x n 2),x n9xn l=-2(xn l9xn 2)xn + 2xn-l与xn-9xn-l都是等比数列，其首项与公比分别为 x2+2xl=4, q=9o X2-9xl=7, q=-2xn + 2xnl.：=49n2, xn9xnl=7(2)n2由此消去 xnl.可得 xn二(4«9n-l+7-(-2)n-l) /II第三类别:an=Aan-l+f(n)彳列5设xl = l,且xn = 3xn1 + 5n+

6、1 ( n = 2,3,.) (1)求数列 xn 的通项公式解：x2 = 14,于是(1)把n改成nl得xn-l=3xn-2+5(n-l)+l(2)两式相减得 xn-xn-l=3(xn-l-xn-2)+5 xnxn l + m = 3(x2)+5 + m = 3(x-2 +5 m 一+ )3 3令 m= ? + 丫 ，贝Im= o 于是xnxri l+| = 3(x n 1-x n 2+|) xn-xn-l+- 是等比数列，2其首项为x2-xl+| = 其公比q=3o于是 xn-xn-l+- = -311-2 (3 )2 2由(1)与(3)消去xn-1得xn = (31-3 nl：10n1.7

7、)/4彳列6： 设xl=4,且xn=5xnl + 7n-3 ( n二2,3,)(1)求数列 xn 的通项公式方法1解：x2 = 31,于是(1)把n改成nJ得 xn-l=5xn-2 + 7(n-l)-3 (2)两式相减得 xn-xn-l=5(xn-l-xn-2) + 7xn-xn + m = 5(x nlxn-2) + 7 + m = 5(x nlxn2 +7 + m 5令 m=贝lj m = -o xn-xnl+? = 5(xnlxn2+ -)5444xn-xn-1 + 1是等比数列，其首项为x2-xl+I = l?4 44其公比 q = 5。于是 xn-xn-l+- = -5n-2（3）4

8、4由（1）与（3）消去xn-1得xn二吕（235 n28n 23） 方法2：所给的递推公式可变为xn + A n + B = 5（x n2 +» + 刀二、）设A（nl）+B二型兰+ S5 5比较系数得A=A±2 ,A+B二匕2 由此求得A二？，B= o于是416%门+空注二5（xnl+型匸心），于是16 16xn+型日是等比数列，其首项为16X1+里二丄，其公比q = 5。于是 xn + 16 1628n + 23_lJ5.5n,116 xn 二 £（235n 28n 23）16所以例 7,设 xl = 2z且 xn = 3xn：l+2n2+l,求数列 xn 的

9、 通项公式解：所给的递推公式可变为xn + An2+ B n + C=3(xnl+)设 A(n-l)2+B(n-l) + C=|2±£ + r£±l比较系数得：A=, -2A+B=-, A-B+C= o333由此求得A=l, B = 3, C=lo于是2xn+ 加+6“ + 7=3(xnj+ 2(n-l)2+6(n-l) + 7 2 2xn+2，r+6 + 7是等比数列，其首项为= Z 2 2 2其公比 q = 3。于是 xn + 2n +? + 7 = y-3n-lo所以 xn=i(19-3 n l-2n2-6n-7)2彳列 8：设 xl = l,且

10、xn二-xn 1+3-2n, ( n二2,3,.) (1)求数列xn的通项公式解：x2=-xl+12 = llo于是(1)把n改成得xnl=-xn2+32n：L, 2xnl=-2xn2+32n( 2 )(1)( 2 )得 xn-2xn-l=-xn-l + 2xn-2。即xn=xnl+2xn2xn + mxn：l=(m + l.)(xri：l+xn2)。 令 m= ?,则 m +1rn + 1m = lzm=-2于是:xn+xn-l = 2(xn-l+xn-2) ； xn-2xn-l=-(xn-l-2xn-2) xn+xn-1与 xn-2xn-l都是等比数列，其首项与 公比分别为首项x2+xl = 12,公比q = 2。首项x2-2xl=9, 公比q=l.。于是xn+xn 1 = 1.22n2, xn-2xn-l=9(-l)n-2由此消去 xn-1 得 xn=2n+l+3(-l)n练习：1 设 xl = 5 ,且 xn = 7xn-l+8n+3, (n = 2,3,.)求数歹 lj xn 的通项公式答案 xn二(1517n：L24n37)/：L82 设 xl=l,且 x