《我认为好的数学问题应该具备以下几个特点》

1、我认为好的数学问题应该具备以下几个特点(1)、这个数学问题学生易于接受,有解决的冲动；(2)、这个数学问题应该不止一种解决方法；(3)、这个数学问题要蕴含重要的数学思想；(4)、这个数学问题不要人为设置陷阱刁难学生；(5)、这个数学问题的解决能激起学生探究下一个数学问题的兴趣；(6)、这个数学问题的解决能充分暴露学生的数学思维过程.下面我从几何和代数的角度列举两个我认为的好题：好题(一)(2021?嘉兴中测试题)小明在做课本目标与评定中的一道题：如图1,直线a,b所成的角跑到画板外面去了,你有什么方法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2,画PC/a,量出直线b与PC的夹角度数,即

2、直线a,b所成角的度数.(1)请写出这种做法的理由；(2)小明在此根底上又进行了如下操作和探究(如图3):以P为圆心,任意长为半径画圆弧,分别交直线b,PC于点A,D;连结AD并延长交直线a于点B,请写出图3中所有与/PAB相等的角,并说明理由；3请在图3画板内作出“直线a,b所成的跑到画板外面去的角的平分线画板内的局部,只要求作出图形,并保存作图痕迹.考点：作图一应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质.分析：1根据平行线的性质得出即可；2根据题意,有3个角与/PABffi等.由等腰三角形的性质,可知/PABhPDA又对顶角相等,可知/BDCMPDA由平行线性质,可知/PDA=1,因此

3、/PAB=/PDA=BDC=1;3作出线段AB的垂直平分线EF,由等腰三角形的性质可知,EF是顶角的平分线,故EF即为所求作的图形.解答：解：1PC/la两直线平行,同位角相等；/PABhPDA=BDC=1,如图,:PA=PD./PAB=/PDA /BDCMPDA对顶角相等,又PC/1a, /PDAh1, ./PAB=/PDAhBDCM1;3如图,作线段AB的垂直平分线EF,那么EF是所求作的图形.b好题(二)(2021摩枝花中考题)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(1.0),C(0,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)假设点P为第三象限内抛物线上的一点,设PAC勺面

4、积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;(3)设抛物线的顶点为D,DHx轴于点E,在y轴上是否存在点M使得4AD牌直角三角形？假设存在,请直接写出点M的坐标；假设不存这两道题的第一、二问题的设计学生都容易上手,有解题的冲动.对于问题的解决方法较多,能培养学生的发散思维水平.这两个题目表达了转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等重要的数学思想方法.两个题目都源于课本,没有人为地刁难学生.这两个题目的解决能引发学生更深层次的数学思考,对下一个问题的解决有很大帮助.通过学生对这两个问题的解决,能充分暴露学生的思维过程.所以,我认为这是两道好的数学题.附：我认为通过一个好的数学问题的解决,从而发现学

5、生的思维过程我觉得是至关重要的,那么在日常教学中怎样进行“过程化教学？我有一篇小论文,请同行指教！基于数学课堂观察下的初中数学“过程化教学模式的一些思考湖州市吴兴区织里镇中学董志武【摘要】：本文所要探究的问题是从我所在学校教师教学和学生学习现状出发,基于数学课堂观察下探求如何把建构主义的教学观和学习观运用到初中数学教学的实际中,从学生认知过程中探索基于建构主义的初中数学“过程化教学模式.【关键词】：“过程化教学模式建构主义思维过程“教育作为一种培养人的活动,是以过程的形式存在,并以过程方式展开的,离开过程就无法理解教育活动,更无法实现教育目标,过程属性是教育的根本属性.“单纯追求知识的教育是一

6、种结果的教育,这种教育要走在时代的前面是不可能的.智慧并不表现在经验的结果上,也不表现在思考的结果上,而是表现在经验的过程,表现在思考的过程中".但是中学数学课堂的现状仍然是只注重知识的传授,无视知识的发生过程,把知识塞给学生,搞题海战术,对数学教学的过程缺乏重视和理解,与新课程标准所倡导的“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三维目标背道而驰,强调数学教学的过程特征是?数学课程标准?的突出特色之一.本文所探究的“过程化教学模式,主要是指在建构主义理论的指导下,从学生认知的角度出发,首先是在新知识教学时促进和强化学生“图式形成过程,运用“最近开展区理论采用“情境教学法以及“操作和

7、活动教学法；其次优化设计揭示师生思维过程,“数学是思维的体操,没有什么课程象数学一样提供应学生进行大量的思维活动,因此要重视在教学中如何把问题解决的整个过程暴露给学生,使学生学会思考问题和探索问题的方法；最后是数学教学中思想方法的渗透过程,数学思想方法是数学的灵魂,数学的教学不应该只教给学生冰冷的知识,要让数学课有“数学味就必须要对学生渗透数学思想方法,这对学生怎样看待数学也就是学生数学观的形成很有帮助.一、“过程化教学模式的实践探索1、重视知识形成过程的“情境化数学中的很多知识如概念和定理往往都比拟抽象,学生概念的形成和定理的掌握有一定的困难,教师假设把概念当成“文字抛给学生,让学生去记忆背

8、诵,我认为这是舍本逐末的做法.教师应努力创设良好的情境,把概念、定理的教学与学生的生活实际联系起来,找到概念的载体,帮助学生正确认知和建构.例如,八年级数学中学生第一次接触“函数的概念,如果教师直接告诉学生,学生对函数仍一无所知,也没有任何思维活动,只有机械地接受.我在教学中创设这样的情境,三角形的面积一定时,它的底发生变化时,高的变化情况；一天的气温的变化与时间的关系；市场上菜的价格随时间的变化而变化等等.这些问题都与学生的生活或已有的知识经验密切联系,同时也都有两个变量,其中一个量变化时,引起另一个量的变化,有效地给出函数的生活模型,便于学生接受和掌握,然后再让学生自己寻找生活中的这些模型

9、,充分调动他们的积极性,从而形成对函数概念的主动建构.再如：八年级数学?勾股定理?一节可创设这样的问题情境：1小明用一张长为3厘米的正方形纸片,按对角线折叠重合,你知道折痕多长吗？2如果把折叠成的直角三角形放在如下图的格点中每个小正方形的边长均为1个单位,你能知道斜边的长吗？3观察图形,完成表格,思考：图中A、B、C之间有什么关系？从图中你发现什么？引导学生通过面积关系发现直角三角形三边之间的关系,这样情境的设置,利用学生已有的生活经验和知识背景,贴近学生的“最近开展区,易于学生对新知识的建构.2、重视数学操作和活动加速学生认知过程新课程标准强调学生学习数学不仅是简单的模仿和练习,动手操作实践

10、在“做数学中体验数学和“用数学,新教材在这方面给教师和学生都提供了较为广阔的空间.例如,判断三角形全等的各节教学中,通过动手操作不仅让学生更快地掌握全等的判定方法,还为提升学生的探索水平提供很好的素材.在边角边定理一节教学中,我把学生分成几个小组,要求动手画出两边分别为5cm、7cm,有一个角为60度的三角形,请各个小组展示所画的三角形,发现它们并不一定全等；教师再要求学生画出两边分别为5cm、7cm,且夹角为60度的三角形,结果发现各组所画的三角形都能完全重合即全等,从而得出结论：两个三角形有两边对应相等,且他们的夹角也相等,这两个三角形全等.通过学生的操作体验,小组的合作与交流,得出结论,

11、学生不仅掌握了这个定理,同时还发现有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.再如,七年级数学抛一枚硬币探究出现正面朝上或反面朝上的可能性大小就是一堂典型的操作、合作探究课,先把学生分成假设干个小组,小组的任务是在条件根本相同的情况下抛一枚硬币,记录出现正面超上的次数,各个小组要有操作员、记录员、监督员、发言代表,他们必须各司其职、通力合作才能准确及时地完成任务.最后把全班各组数据进行汇总,得出结论：在抛硬币次数相当多的情况下,出现正面朝上的可能性约为50%.如果让学生动手操作就可以化抽象为具体,起到事半而功倍的效果.这些操作加速学生对新知识的正确和快速认知,对培养学生的动手水平、探索水平、合

12、作精神都是有百利而无一害的.3、重视暴露师生思维过程初中数学新课程标准指出：数学的教学应从学生的生活经验和已有知识出发,创设生动有趣的情境,引导学生观察、操作、猜测,要让动手实践、自主探索、合作交流成为学习数学的主要方式,我在讲授用待定系数法求二次函数解析式时,改变了以往老师讲例,学生练习稳固的教学方式,采用了开放式的教学策略,其中的一些做法和思考对同行或许有些启示.例如用待定系数法求二次函数的解析式,我作了如下的设计：问题1:写出一个经过点(1,2)的二次函数的解析式.学生1:可以为尸之也教师：(紧追不舍地)如何思考的？学生1:当x=1时,y=2,很容易凑出来.学生2:还可以为尸+2,把(1

13、,2)看成抛物线的顶点,二次项系数为1就可以了.教师：看来经过直角坐标系中的一个点不止作一条抛物线,那么可以作多少条呢？学生3:可以作无数条,由于在直角坐标系中经过点(1,2)画抛物线一定可以画无数条.教师：很好,有此可见经过一点的抛物线不是唯一确定的.我的思考：问题1是一个简单的开放题,三个学生是从不同的角度答复的,具思维都具有一定的发散性和创造性,如果教师在平时的教学中能经常设计些开放性问题,我认为对培养学生思维发散性和创造性会大有裨益；同时在问题的多种解法中开阔视野,增强解题水平.要让学生真正参与课堂教学,从低起点的开放题入手,提倡多角度看问题,多渠道解决问题,这可能是一个比拟好的方法,

14、可以让不同思维层次的学生得到不同的开展.问题2:写出经过(1,2),(2,-3)的抛物线(至少写出三个).学生4:和学生2的方法一样,假设分别把(1,2),(2,-3)看成顶点,分别设它们的解析式为y=a(x-1)2+2或y=b(x-2)2-3,再把(2,-3)和(1,2)代入求出待定系数就可以分别确定二个解析式为：y=-5(x-1)2+2或y=5(x-2)2-3.教师：还有一个解析式呢？学生的思维受阻.问题3:由此可知,一般来说,任给两个点也不能唯一确定一条抛物线,那么有没有方法把所有的抛物线一网打尽呢？学生5:可设y=ax2+bx+c,把(1,2),(2,-3)代入解析式得+e=2(1)+

15、c=-3(2)L可是三个未知数,两个方程不可解呀！教师：解不出a、b、c,难道不能得出它们之间的关系吗？学生6:可以用(2)-(1)得：3a+b=-5(3),假设令a=1,那么b=-8,c=9,其实a取无数个值,由(3)知b也可取无数个值,由(1)知c也有无数个值教师：正由于(3)是二元一次方程,解不惟一,取一个不为零的a,那么b、c也随之确定,所有的抛物线就“一网打尽.我的思考：学生5的想法是难能可贵的,在老师没有示范的前提下,可能是受到学生4的做法的启示用待定系数法来解决问题,该同学方程的思想意识已经不错了,而学生6能求出其解那么更显功底,利用消元的思想得出a、b的关系,从而问题得到解决.

16、在教的过程中,比拟遗憾的是没有学生能把学生4、学生5和学生6的做法综合起来发现：当给出两个点中有一个顶点时,抛物线是惟一确定的；当给出两点的连线不与坐标轴平行时,抛物线有无数条.问题4:一般情况下,经过几个点的抛物线才惟一确定呢？学生7:由学生5的解法可知三个未知数列出三个方程就可惟一确定一条抛物线了.教师追问：你会求出经过(1,2),(2,-3),(0,1)三点的抛物线解析式吗？学生7:可设y=ax2+bx+c,把(1,2),(2,-3),(0,1)代入解析式,解方程组即得一组惟一解.问题5:一般情况下三个点可惟一确定一条抛物线,四点(1,2),(2,-3),(0,1),(4,5)一定在同一

17、抛物线上吗？学生8:根据学生7的做法,三个点可惟一确定一条抛物线,只要任取三个点用学生7的方法,求出抛物线的解析式,再判断第四个点是否在抛物线上即可.教师总结：由上述解决问题过程可知,要待定三个系数,一般要三个独立的条件,也就是说要列出三个方程,如果给出两个或一个独立条件得到的方程组就可能有无数组解,而给出顶点那么相当于给了两个独立条件,再给出一个点抛物线就可以确定了,通过画图和用代数方法去解得出的结果是一致的,表达了“数与“形的统一性.而问题5给出四个独立条件(四个点)转化为三个点的情形,再把第四个点代入,充分运用了转化的数学思想来解决问题.我的思考：在整个解决问题的过程中,运用了很多的数学

18、思想如：方程的思想、转化思想、消元思想、类比思想,教师在教学中假设能深入挖掘,久而久之学生的数学素养和数学水平会有长足的进步.由于知识结构和思维水平限制,学生思考问题往往有较大的局限性,而教师为了节约上课时间,总喜欢带着学生走“捷径,直接告诉学生解题思路,这样教师的思路没有充分暴露,学生也没有认真思考,学会了解题,但思维水平没有提升,课堂教学实际上变成了解题技能练习,课堂仍然是淹没在“题海中.我认为：教师应选择有思维价值的课题,精心设计,开放课堂,让学生真正成为课堂的主人,教师在把自己的思维活动方法展示给学生的同时暴露学生的思维过程,从而有的放矢地对学生进行思维练习,让学生学会了知识又培养了水

19、平.实际上教师的数学教学工作,不管是教学设计还是具体的课堂教学实施都应该把提高学生的思维水平、创新水平、合作精神放在首要位置,这与新课程标准的理念是非常吻合的,建构主义也强调学生在合作交流的根底上建构自己的知识体系,提升自身的数学素养.4、重视数学思想和方法的渗透过程数学教材中很多定理的证实及例题和习题含有丰富的数学思想和数学方法,对培养学生的思维水平和创新水平都很有好处,有的老师为了追求课堂容量,完成教学任务,往往把这些定理慷慨地“奉送给学生,而无视对教材所蕴含数学思想的充分挖掘.例如九年级关于圆周角的性质一节,我作了如下安排：首先类比圆心角的概念,让学生感性熟悉圆周角的概念,通过新旧知识的

20、比照,强化了对圆周角的认知.对圆周角性质的探究,引导学生从特殊的圆周角出发直径或半圆所对的圆周角,得出本课的第一个定理：直径半圆所对的圆周角都相等,都等于90090°的圆周角所对的弧是半圆,所对的弦是直径.在讲解此定理的过程中,注意引导学生发现半圆所对的圆心角和圆周角之间的关系,为一般圆周角性质的知识类比和迁移作准备.对于一般的圆周角的性质可让学生先动手画出一条弧所对的圆心角只有一个和圆周角无数个,可动手测量这两种角的数量关系,再让学生猜测结论,而类比特殊情形时的结论,学生很快就可以得出结论：同弧等弧所对的圆周角都相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；这个结论与前述特殊情形下的结论是一

21、致的,在语言的表达上也是高度一致的,充分表达了特殊和一般的辨证关系,即普遍性寓于特殊性之中.这样做不但易于学生的知识建构,找到知识之间的内在关系,同时教会学生研究问题方法和培养了学生辨证的世界观.有了这个合理的猜测,还需对结论作进一步的证实,课本又是从特殊情形入手,即圆周角的一边正好经过圆心如图1,教师可引导学生根据圆周角的边和圆心的位置关系画出另外两种情况如图1,而后两种情形的证实通过构造直径转化为图1的特殊情况,定理的证实再次表达了把一般情形转化为特殊情形,充分蕴含了分类讨论的数学思想,同时也教会学生数学中解决问题的方法：先类比、猜测,再归纳、证实.看1教科书中这种例子俯拾皆是,教师应注意

22、挖掘,让学生在知识的普遍联系中建构,在获得知识的同时培养水平和研究数学问题及熟悉世界的方法.教师在教学中要把隐含的,有思想价值、思维价值的内容展示出来,将发现和探索过程让学生参与进来,才能最大限度地培养学生的探索精神和创造性思维.二、“过程化教学模式的反思1、建构主义理论与传统教学理念发起挑战传统教学的理论根底为行为主义心理学,强调“强化的特殊作用,反映数学的学习和教学上就是“满堂灌和“题海战.教师的教学就是使学生做大量的数学习题,学生完全处于被动的地位,主动性、积极性、创造性得不到充分的发挥.而建构主义那么从学生已有的知识经验出发主动对所学知识建构,所以说建构主义一开始就成认了学生个体之间的

23、差异,让学生在相互合作中或在老师的帮助下积极建构自己的知识体系.学生自己是学习的主人,教师是学生学习的组织者、促进者、协作者,建构义的立场实际上是教学思想的直接支持.诺丁斯说：“建构主义的特殊力量就在于使我们对教学过程作出批判性和富有想象力的思考.相信建构主义的前提,这就使我们不在单纯地寻找答案,而是拥有对教学方法的可能选择做出判断的有力准那么.2、不能全盘否认传统教法学法对学生知识理解和掌握的作用传统的讲授式教学法在中国的教学中已经实施了相当长的一段时间,形成了相对固定的一整套教和学的理论,在这种体系下学生“双基扎实,通过适量的练习稳固所学的知识,也还是取得了相当不错的教学效果,至于到底选用什么教学模式来组织教学那么取决于所学的知识本身和学生已有的知识经验,比方有的教学内容学生理解已经到达抽象思维