三次函数专题

1、三次函数专题一、定义：定义1、形如yax3bx2cxd(a0)的函数,称为“三次函数(从函数解析式的结构上命名).22te义2、二次函数的导致y3ax2bxc(a0),把4b12ac叫做三次函数导函数的判别式.由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点.二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性.232一般地,当b3ac0时,三次函数yaxbxcxd(a0)在R上是单倜函数；当b23ac0时,三次函数yax3bx2cxd(a0)在R上有三个单调区间.(根据a0,a0两种不同情况进行分类讨论)2、对称中央.三次函数f(

2、x)ax3bx2cxd(a0)是关于点对称,且对称中央为点bb(,f(),此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标.3a3a证实：设函数的称中央为(3n).按向量将函数的图象平移,那么所得函数是奇函数,所以化简得：上式对恒成立,故,得,所以,函数的对称中央是().可见,y=f(x)图象的对称中央在导函数y=的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二阶导为零的点.3、三次方程根的问题.2(1)当4=4b12ac0时,由于不等式f(x)0恒成立,函数是单调递增的,所以原方程仅有一个实根.(2)当=4b212ac0时,由于方程f(x)0有两个不同的实根为区,不妨设xiX2,可知,(xi,f(xi)为

3、函数的极大值点,(X2,f(X2)为极小值点,且函数yf(x)在(,xi)和(x2,)上单调递增,在xi,x2上单调递减.此时：假设f(xi)f(x2)0,即函数yf(x)极大值点和极小值点在x轴同侧,图象均与x轴只有一个交点,所以原方程有且只有一个实根.假设f(xi)f(x2)0,即函数yf(x)极大值点与极小值点在x轴异侧,图象与x轴必有三个交点,所以原方程有三个不等实根.假设f(xi)f(x2)0,即f(xj与f(x2)中有且只有一个值为0,所以,原方程有三个实根,其中两个相等.4、极值点问题.假设函数f(x)在点x°的附近恒有f(x0)>f(x)(或f(x0)<f

4、(x),那么称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值),称点x0为极大值点(或极小值点).当0时,三次函数yfx在,上的极值点要么有两个.当0时,三次函数yfx在,上不存在极值点.5、最值问题.函数假设,且,那么：fmaxxfm,f兄,fn;o三、例题讲解：例i、(函数的单调区间、极值及函数与方程的)函数f(x)=x-3ax+3x+i.(I)设a=2,求f(x)的单调期间；(n)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.解：式无解,式的解为,因此的取值范围是.2例2、函数f(x)潴足f(x)x3f-x2xC(其中C为常数).3(i)求函数f(x)的单调区问；(2)假设方

5、程f(x)0有且只有两个不等的实数根,求常数C;13在2的条件下,假设f10,求函数f(x)的图象与x轴围成的封闭3图形的面积.解：(1)由f(x)x3f'-x2xC,得f'(x)3x22f'2x1.332取x2,得f'23-2f'221解之得f'Z1333333.f(x)x3x2xC.1从而f'(x)3x22x13x-x1,3列表如下：x(,3)13(口)1(1,)f'(x)十0一0十f(x)/有极大值有极小值/f(x)的单调递增区间是(1一3)和(1,)；f(x)的单调递减区间是3,1)(2)由(1)知,f(x)极大值f527

6、C；_32_f(x)极小值f(1)13121c1C.方程f(x)0有且只有两个不等的实数根,等价于f(x)极大值0或f(x)极小值0.8分常数C5或C1.27(3)由(2)知,f(x)x3x2x且或f(x)x3x2x1.27一1而f0,所以f(x)x3x2x1.3令f(x)x3x2x10,得(x1)2(x1)0,x11,x21.1所求封闭图形的面积1x3x2x1dx1x4-x3-x2x1432例3、(恒成立问题)函数有极值.(1)求的取值范围；(2)假设在处取得极值,且当时,包成立,求的取值范围.解：(1)要使有极值,那么方程有两个实数解,从而=,(2)二在处取得极值, 当时,函数单调递增,当

7、时,函数单调递减. 时,在处取得最大值,;时,恒成立, ,即,或,即的取值范围是.例4、(信息迁移题)对于三次函数.定义：(1)的导数(也叫一阶导数)的导数为的二阶导数,假设方程有实数解,那么称点为函数的“拐点；定义：(2)设为常数,假设定义在上的函数对于定义域内的一切实数,都有恒成立,那么函数的图象关于点对称.(1)己知,求函数的“拐点的坐标；(2)检验(1)中的函数的图象是否关于“拐点对称；(3)对于任意的三次函数写出一个有关“拐点的结论(不必证实).解：(1)依题意,得：,.由,即.,又,的“拐点坐标是.(2)由(1)知“拐点坐标是.而=,由定义(2)知：关于点对称.(3)一般地,三次函

8、数的“拐点是,它就是的对称中央.或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中央；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.例5、(与线性规划的交汇问题)设函数,其中,是的导函数.(1)假设,求函数的解析式；(2)假设,函数的两个极值点为满足.设,试求实数的取值范围.解：(I)据题意,由知,是二次函数图象的对称轴又,故是方程的两根.设,将代入得比拟系数得：故为所求.另解：,据题意得解得故为所求.(2)据题意,那么又是方程的两根,且那么那么点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点,A到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是例6:(1)函数f(x)=x3-x,其图像记

9、为曲线C.(i)求函数f(x)的单调区间；(ii)证实：假设对于任意非零实数xi,曲线C与其在点Pi(xi,f(xi)处的切线交于另一点P2(x2,f(x2),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3),线段PiP2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为5, 3,那么S1为定值；S2(2)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),请给出类似于(I)(ii)的正确命题,并予以证实.解法一：(I) (i)有f(x)=x3-x得f'(x)=3x2-1=3(x-3)(x+-3).当x(,/)和(、,)时,f'(x)>0;当x(,4)时,

10、f'(x)<0o(ii)曲线C在点Pi处的切线方程为y=(3xi2-1)(x-xi)+xi3-xi,即y=(3xi2-1)x-2x由得x3-x=(3xi2-1)x-2xi3即(x-xi)2(x+2xi)=0,解得x=xi或x=-2xi,故x2=-2xi.进而有27,用x2代替xi,重复上述计算过程,可得x3=-2x2和S2=x4.427I64八s,i又x22xi0,所以S2xi0,因止匕有o4S2I6(2)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C',类似于(I)(ii)的正确命题b为：右对于任息不等于一的头数xi,曲线C'与其在点Pi(xi,

11、g(xi)处的切线交于力一3a点心(x2,g(x2),曲线C'与其在点B处的切线交于另一点P3(x3,g(x3),线段PiP2、P2P3与曲线C'所围成封闭图形白面积分别记为Si,S2,那么包为定值.S2证实如下：由于平移变换不改变面积的大小,故可将曲线y=g(x)的对称中央平移至解法二：(I)同解法一.(2)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C,类似于(i)(ii)的正确命题为：b右对于任息不等于一的头数x1曲线C'与其在点P(xi,g(xi)处的切线交于另一点P23a(x2,g(x2),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,g(x

12、3),线段PiP2、P2P3与曲线C'所围成封闭图形白面积分别记为Si,S2,那么"S为定值.S2证实如下：b(3ax2b)用x2代替xi,重上述计算过程,可信x3=2x和S2；ai2a3b又x2=一2x1且x1ab3a所以S2(3ax2b)(6axi2b)412a312a316(3axi12a3b)40,故生S2116三次函数作业1、设是函数f(x)的导函数,的图象如下图,那么y=f(x)的图象最有可能是()2、函数在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是()A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-193、设函数.(1)假设的两个极值点为,且,求实数的值；(2)是否

13、存在实数,使得是上的单调函数？假设存在,求出的值；假设不存在,说明理由考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识4、设定函数,且方程的两个根分别为1,4.(I)当a=3且曲线过原点时,求的解析式；(n)假设在无极值点,求a的取值范围.5、函数f(x)=,其中a>0.(I)假设a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(n)假设在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.6、函数(其中常数a,bCR),是奇函数.(I)求的表达式；(n)讨论的单调性,并求在区间上的最大值与最小值7、在函数f(x)mx3x的图象上以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为,4(1)求mn的值；

14、(2)是否存在最小的正整数k,使不等式f(x)k1992对于x1,3恒成立？求出最小的正整数k,假设不存在说明理由；1(3)求证：|f(sinx)f(cosx)|2f(t)(xR,t0).2t8、函数f(x)(xa)2(a-b)(a,bR,a<b).(I)当a=1,b=2时,求曲线yf(x)在点(2,f(x)处的切线方程.(II)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3x1,x3x21329、函数f(x)=Xxaxb的图像在点P(0,f(0)处的切线方程为y=3x-23(I)求实数a,b的值；(n)tsig(x)=f(x)+_m是2,上的增函数.x1(i)求实

15、数m的最大值；(II) 当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线假设能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,那么这两个封闭图形的面积总相等？假设存在,求出点Q的坐标；假设不存在,说明理由.作业：1、解：根据图象特征,不妨设f(x)是三次函数.那么的图象给出了如下信息：；导方程两根是0,2,(f(x)对称中央的木K坐标是1);在(0,2)上；在(一,0)或(2,)上.由和性质1可排除日D;由和性质1确定选Co2、解：函数的导方程是,两根为1和一1,由性质2得：O应选Co3、【解析】(1)由有,从而,所以；(2)由,所以不存在实数,使得是上的单调函数.4、5、【解析】(I)解：当a=1时,f(

16、x)=,f(2)=3;f'(x)=,f'(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.(n)解：f'(x)=.令f'(x)=0,解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：假设,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表：X0f'(x)+0-f(x)极大值当等价于,解不等式组得-5<a<5.因此.假设a>2,那么.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:X0f'(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时,f(x)>0等价于即,解不等式组得或.因此2<a<5.综合(1)和(2),可知a的取值范围为0<a<5.6、7、解：(1)f(x)3mx21,21f(1)tan1,m一,n一433.2、22(2)令f(x)2(x：)(x-y)0,那么x,在1,3中,、21,Tw,f(x)0,f(x)在此区间为增函数r.22gxT,TBtf(x)0,f(x)在此区间为减函数2.